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湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


宜昌市部分市级示范高中教 学协作体 2015 年秋期中联考 高二(文科)数学试题
(卷面满分:150 分 考试时间:120 分钟)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知一组数据为 20、30、40、50、60、60、70,则这组数据的众数、中位数、平均数的大

小关系为( ) B. 众数 >中位数 >平均数 D. 平均数 >众数 >中位数

A. 中位数 >平均数 >众数 C. 众数 >平均数 >中位数

2.某大学中文系共有本科生 5000 人,其中一、二、三、四年级的学生比为 5:4:3:1, 要 用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 260 的样本,则应抽二年级的学生 ( ) A.80 人 B. 60 人 C. 100 人 D. 20 人

3. 设有一个回归直线方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时 ( A. y 平均增加 1.5 个单位 C. y 平均减少 2 个单位 B. y 平均增加 2 个单位 D. y 平均减少 1.5 个单位

^

^

)

4. 过点 M(-2,a)和点 N(a,4)的直线的倾斜角为 45 ,则 a 的值为( A . 1或4 B. 4 C. 1 或 3

0

) D. 1

5. 若已知 A(1,1,1) ,B(-3,-3,-3) ,则线段 AB 的长为( A.4 2 B.2 3 C.4 3

) D.3 2

6.已知一组数据 X1,X2,X3,?,Xn 的方差是 S ,那么另一组数据 2X1-1,2X2-1,2X3-1,?,2Xn-1 的方差是( A . 2s ? 1
2

2


2 B . 2s

C .

s2

2 D. 4 s

7. 已知点 M( a , b )在圆 O : x ? y ? 1 外,则直线 ax ? by ? 1 与圆 O 的位置关系是(
2 2



-1-

A. 相离

B. 相切

C. 相交

D. 不确定

8. 已知某运动员每次投篮命中的概率都是 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投 篮恰有一次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示 命中,5,6 ,7 ,8 ,9 ,0 表示不命中;再以每三个随机数作为一组,代表三次投篮的结果 . 经随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907, 966, 191, 925, 271, 932, 812,458, 569, 683, 431, 257, 393, 027, 556, 488, 730, 113, 537, 989. 据此估计,该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为 ( A. D. ) 0.25 0.4 B. 0.2 C. 0.35

9. 两圆 x ? y ? 2 y - 3 ? 0 与 x ? y ? 1 的位置关系是 (
2 2 2 2



A. 相交

B. 内含

C.

内切

D. 外切

10. 执行右面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于( A. [-3,4] B. [-5,2] C. [-4,3] D.

).

[-2,5]

11. 如图,在边长为 25cm 的正方形中挖去边长为 23cm 的两个等腰直角三角形,现有均匀的 粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是( )

529 A. 625 23 C. 25

96 B. 625 2 D. 25

2 12. 直线 l : y ? x ? m 与曲线 C : x ? 1 ? y 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是



) A . (? 2,2 ) B. (- 2 ,1]

-1 ] C .(- 2,

D.

[1, 2 )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在答题卡横线上)
-2-

13. 若直线 l1: 3x ? y ? 3 ? 0 与 l2 : 3x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为

.

14. 一个总体的 60 个个体的编号为 0,1,2,3,?,59,现采用系统抽样的方法从中抽取一个 容量为 10 的样本,请根据编号被 6 除余数为 3 的方法取组样本,则抽取的样本最大的一个号 码为 .

15. 读右边的程序: 程序在执行时,如果输入 6,那么输出的结果为 .

INPUT N i=1 s=1 WHILE i< = N

16. 设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴 交于点 A,与 y 轴交于 点 B,且 l 与圆 x ? y ? 4 相交所得的弦长为 2,O 为坐标原点,则 ?ABO
2 2

s=s*i i=i+1 WEND PRTNT s

的面积的 最小值为 .

END

三、 解答题(本大题共 6 小题, 共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元) ,有统计数
, 2, 3, 4, 5) ,由资料知 y 对 x 呈线性 相关,并且统计的五组数据的平均值分别为 据 ( xi,yi )(i ? 1

? ? bx ? a 去估计,使用 8 年的维修费用 x ? 4 , y ? 5.4 ,若用五组数据得到的线性回归方程 y
比使用 7 年的维修费用多 1.1 万元. (1)求回归直线方程; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?

18.(本小题满分 12 分)一个盒子中装有 5 个编号依次为 1、2、3、4、5 的球,这 5 个球除 号码外完全相同,有放回的连续抽取两次,每次任意地取出一个球. (1)求事件 A=“取出球的号码之和不小于 6”的概率; (2)设第一次取出的球号码为 x,第二次取出的球号码为 y,求事件 B=“点(x,y)落在直线 y = x+1 上方”的概率.

19.(本小题满分 12 分)某中学高二年级举行数学竞赛,共有 800 名学生参加.为了了解本次 竞赛成绩,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分 100 分)进行统计。 请你根据频率分布表,解答下列问题:
-3-

(1)填充下列频率分布表中的空格; (2)估计众数、中位数和平均数; (3)规定成绩不低于 85 分的同学能获奖, 请估计在参加的 800 名学生中大概有多少名学 生获奖? 分组(分数) [60,70] [70,80] [80,90] [90,100] 合计 ③ ④ 50 ⑤ 1 ① 20 ② 0.24 频数 频率 0.12

20.(本小题满分 12 分)已知圆 C: x ? y - 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 ,点 A(3,5)求:
2 2

(1)过点 A 的圆的切线方程; (2)O 是坐标原点,连接 OA,OC,求 ? AOC 的面积 S.

21.(本小题满分 12 分)某 高级中学共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如下表: 高一年级 女生 男生 373 377 高二年级 高三年级

x
370

y
z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生多的概率.

22.(本小题满分 12 分)设 O 为坐标原点,曲线 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 上有两点 P,Q 关于
2 2

直线 x ? m y ? 4 ? 0 对称. (1)求实数 m 的值;
-4-

(2)是否存在直线 PQ,满足 OP ? OQ ? 0 ,若存在求出直线方程;若不存在,说明理由.

-5-

宜昌市部分市级示范高中教学协作体 2015 年秋期中联考 高二(文科)数学参考答案 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 D 7 C 8 D 9 C 10 A 11 B 12 C

答案 B A D D C 二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 13.

2 10 5

14. 57

15. 720

16.3

三、解答题:

? ? 1.1x ? a 上 17.(1)依题意,b=1.1,(4,5.4)在线性回归直线 y
? 5.4 ? 1.1? 4 ? a
所以回归直线方程为 解得 a ? 1

(3 分 ) (5 分 ) (6 分 ) (9 分) (10 分)

? ? 1.1x ? 1 y

? ? 1.1?10 ? 1 ? 12 (2)当 x ? 10 时, y
答:估计使用年限为 10 年时,维修费用是 12 万元。 18.列表如下: 次数 1 2 3 4 5 (4 分) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

(1)由上表可知基本事件共 25 个,事件 A 共包括 15 个基本事件, 故所求事件 A 的概率为 P(A)=

15 3 ? . 25 5 6 25

(8 分)

(2)由上表可知基本事件共 25 个,事件 B 共包括有(1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,4) , (2,5) (3,5)共 6 个基本事件,故所求的概率为 P(B)= (12

分) 19.(1)? 6 ? 0.4 ? 12 ④ 12 ⑤ 0.24 (2)由频率分布表可知,众数为 75; 设中位数为 x ,则 0.12+0.04( x -70)=0.5 解得 x =79.5 平均数 x ? 65 ? 0.12+75 ? 0.4+85 ? 0.24+95 ? 0.24=81 故众数为 75,中位数为 79.5,平均数为 81. (3) (0.12+0.24) ? 800=288 故在参加的 800 名学生中大概有 288 名学生获奖 . 20.圆 C 化为标准方程为: ,半径 r=1 (x ? 2)? ( y ? 3) ? 1 ,圆心 C(2,3)
2 2

(3 分)

(9 分) (12 分)

(1)当切线的斜率不存在时,直线方程为 x=3,此时圆心与直线的距离 为 1,等于 圆的半径,故 x=3 是圆的切线; (2 分) 当切线的斜率存在时,设直线方程为 y ? 5 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 5 ? 3k ? 0
-6-



2k ? 3 ? 5 ? 3k k 2 ?1

?1得 k ?

3 ,故所求方程为 3x ? 4 y ? 11 ? 0 4

(5 分)

因此所求的切线方程为 x=3 和 3x ? 4 y ? 11 ? 0 (2)直线 OA 的方程为 5 x ? 3 y ? 0 ,圆心 C 到直线 OA 的距离为

(6 分)

5 ? 2 - 3? 3
2 52 ? (- 3)

?

1 2 2 ,而 OA ? 5 ? 3 ? 34 34
(6 分)

1 1 1 ? s?AOC ? ? 34 ? ? 2 34 2
21.(1)因

x ? 0.19 ,故 x ? 380 2000

(3 分)

(2)高三年级人数为 y ? z ? 2000? (373? 377? 380? 370) ? 500, 故应在高三年级抽取 48 ?

500 ? 12 人 2000

(7 分)

(3)设高三年级女生比男生多的事件为 A,高三年级女生、男生数记为(y,z), 由(2)知 y+z=500,且 y、z 为正整数. 基本事件有(245,255),(246,254),(247,253),?,(255,245)共 11 个, 事件 A 包含的基本事件有(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255, 245)共 5 个,所以 P(A)=

5 . 11
2 2

(12 分)

22 (1) 圆的标准方程为 圆心为 (-1,3) , 依题意, 直线 x ? m y ? 4 ? 0 (x ? 1 )? ( y ? 3) ? 9 , 过圆心(-1,3) ,故有 - 1 ? 3m ? 4 ? 0 ,解得

m = -1

(4 分)

(2)因为直线 PQ 与直线方程 x ? m y ? 4 ? 0 垂直,故设直线 PQ 的方程为 x ? y ? b ? 0 且 P( x1 , y1 ) 、Q( x2 , y2 )
2 将 x ? y ? b ? 0 代入 (x ? 1 ) ? ( y ? 3)2 ? 9 中可得 2x 2 ? (2b ? 8) x ? b2 ? 6b ? 1 ? 0

? ? ? 4b2 ? 16b ? 56 ? 0 , 即 b 2 ? 4b ? 14 ? 0
所以 x1 ? x2 ? ?b ? 4, x1 x2 ?

?
(8 分)

b 2 ? 6b ? 1 2

OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (? x1 - b)( ? x2 ? b) = 2x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0

?b2 ? 6b ? 1 ? b(?b ? 4) ? b2 ? 0 ,解得 b ? ?1 ,经检验满足 ?
故存在直线 PQ: x ? y - 1 ? 0 ,满足 OP ? OQ ? 0 。 (12 分)
-7-


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