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江西省南昌三中2015届高三上学期第四次月考数学试卷(理科)


江西省南昌三中 2015 届高三上学期第四次月考数学试卷(理科)
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项. 1. (5 分)设全集 U=Z,集合 M={1,2},P={x|﹣2≤x≤2,x∈Z},则 P∩(?UM)等于() A.{0} B.{1} C.{﹣2,﹣1,0} D.? 2. (5 分

)已知直线 l1:3mx+(m+2)y+1=0,直线 l2: (m﹣2)x+(m+2)y+2=0,且 l1∥l2, 则 m 的值为() A.﹣1 B. C. 或﹣2
*

D.﹣1 或﹣2

3. (5 分)在数列{an}中,若 a1=﹣2,且对任意的 n∈N 有 2an+1﹣2an=1,则数列{an}前 15 项 的和为() A. B.30 C. 5 D.

4. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.7

B.

C.

D.

5. (5 分)过点(5,2)且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是() A.2x+y﹣12=0 B. 2x+y﹣12=0 或 2x﹣5y=0 C. x﹣2y﹣1=0 D.x﹣2y﹣1=0 或 2x﹣5y=0 6. (5 分)若{an}为等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 A. B. C. ,则 tana6 的值为() D.

7. (5 分)若直线

通过点 M(cosα,sinα) ,则()

A.a +b ≤1

2

2

B.a +b ≥1

2

2

C.

D.

8. (5 分)已知 a>0,x,y 满足约束条件

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=

() A. B. C. 1 D.2

9. (5 分) 已知 F1, F2 是椭圆 则|AF1|﹣|BF2|等于() A.3 B. 8

的两个焦点, 过 F2 的直线交椭圆于点 A, B, 若|AB|=5,

C.13

D.16

10. (5 分)若函数 y=f(x)在 R 上可导且满足不等式 xf′(x)>﹣f(x)恒成立,且常数 a, b 满足 a>b,则下列不等式一定成立的是() A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)

11. (5 分)已知动点 P(x,y)在椭圆 C:

=1 上,F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足

|

|=1 且

=0,则|

|的最小值为() C. D.1

A.

B. 3

12. (5 分)已知定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) ,当 x∈[0,2)时,f (x)=﹣2x +4x.设 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an(n∈N ) ,且{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn=() A. B. C. D.
2 *

二.填空题:本大题共四小题,每小题 5 分,共 20 分. . 13. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=. 14. (5 分)过点 A(0,3) ,被圆(x﹣1) +y =4 截得的弦长为 2 15. (5 分)若直线 x+y=k 与曲线 y=
2 2

的直线方程是.

恰有一个公共点,则 k 的取值范围是.

16. (5 分)已知实数 x、y 满足 =x﹣y,则 x 的取值范围是.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知△ ABC 的面积 S 满足 (Ⅰ)求角 A 的取值范围; (Ⅱ)若函数 ,求 f(A)的最大值. ,且 =﹣8.

18. (12 分)某学校举行投篮比赛,比赛规则如下:每次投篮投中一次得 2 分,未中扣 1 分, 每位同学原始积分均为 0 分,当累积得分少于或等于﹣2 分则停止投篮,否则继续,每位同学 最多投篮 5 次.且规定总共投中 5、4、3 次的同学分别为一、二、三等奖,奖金分别为 30 元、 20 元、10 元.某班甲、乙、丙同学相约参加此活动,他们每次投篮命中的概率均为 ,且互 不影响. (1)求甲同学能获奖的概率; (2)记甲、乙、丙三位同学获得奖金总数为 X,求 X 的期望 EX. 19. (12 分) 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AB=AC=AA1=BC1=2, ∠AA1C1=60°, 平面 ABC1⊥ 平面 AA1C1C,AC1 与 A1C 相交于点 D. (1)求证:BD⊥平面 AA1C1; (2) (理)设点 E 是直线 B1C1 上一点,且 DE∥平面 AA1B1B,求平面 EBD 与平面 ABC1 夹 角的余弦值.

20. (12 分)已知圆 M: (x+1) +y =1,圆 N: (x﹣1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长 时,求|AB|. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣2acoskπ?lnx(k∈N ,a∈R,且 a>0) . (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 k=2010,关于 x 的方程 f(x)=2ax 有唯一解,求 a 的值.
2 *

2

2

2

2

四、请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,△ ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,PA 是过点 A 的直线,且∠PAC=∠ABC. (Ⅰ) 求证:PA 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求 sin∠BCE.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (坐标系与参数方程选做题) 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ,点 F1、F2 为其左,右焦点,直线 l

的参数方程为

(t 为参数,t∈R) .

(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.选修 4﹣5:不等式选讲 设不等式|2x﹣1|<1 的解集为 M,且 a∈M,b∈M. (Ⅰ) 试比较 ab+1 与 a+b 的大小; (Ⅱ) 设 maxA 表示数集 A 中的最大数,且 ,求 h 的范围.

江西省南昌三中 2015 届高三上学期第四次月考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项. 1. (5 分)设全集 U=Z,集合 M={1,2},P={x|﹣2≤x≤2,x∈Z},则 P∩(?UM)等于() A.{0} B.{1} C.{﹣2,﹣1,0} D.? 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 P 中解集的整数解确定出 P,求出 M 的补集,找出 P 与 M 补集的交集即可. 解答: 解:∵全集 U=Z,集合 M={1,2}, ∴?UM={x∈Z|x≠1 且 x≠2}, ∵P={x|﹣2≤x≤2,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2}, ∴P∩(?UM)={﹣2,﹣1,0}. 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知直线 l1:3mx+(m+2)y+1=0,直线 l2: (m﹣2)x+(m+2)y+2=0,且 l1∥l2, 则 m 的值为() A.﹣1 B. C. 或﹣2 D.﹣1 或﹣2

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由平行关系可得 3m(m+2)=(m﹣2) (m+2) ,解方程代入验证可得. 解答: 解:∵直线 l1:3mx+(m+2)y+1=0,直线 l2: (m﹣2)x+(m+2)y+2=0,且 l1∥l2, ∴3m(m+2)=(m﹣2) (m+2) ,解得 m=﹣1 或 m=﹣2, 经验证当 m=﹣1 或 m=﹣2 时,都有两直线平行. 故选:D 点评: 本题考查直线的平行关系,属基础题. 3. (5 分)在数列{an}中,若 a1=﹣2,且对任意的 n∈N 有 2an+1﹣2an=1,则数列{an}前 15 项 的和为() A. B.30 C. 5 D.
*

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 易得数列{an}是首项为﹣2 公差为 的等差数列,代入求和公式计算可得. 解答: 解:∵在数列{an}中,若 a1=﹣2,且对任意的 n∈N 有 2an+1﹣2an=1, ∴an+1﹣an= ,∴数列{an}是首项为﹣2 公差为 的等差数列, ∴数列{an}前 15 项的和 S15=15×(﹣2)+ × =
*

故选:A 点评: 本题考查等差数列的判定和求和公式,属基础题. 4. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.7

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个棱长为 2 的正方体,截去两个长,宽,高均 为 1 的三棱锥得到的组合体,分别计算出正方体和棱锥的体积,相减可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个棱长为 2 的正方体,截去两个长,宽, 高均为 1 的三棱锥得到的组合体, 正方体的体积为:2×2×2=8, 每个棱锥的体积为: × ×1×1×1= , 故组合体的体积 V=8﹣2× = ,

故选:D 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 5. (5 分)过点(5,2)且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是() A.2x+y﹣12=0 B. 2x+y﹣12=0 或 2x﹣5y=0 C. x﹣2y﹣1=0 D.x﹣2y﹣1=0 或 2x﹣5y=0 考点: 直线的截距式方程. 专题: 计算题. 分析: 当直线过原点时,由斜截式求出直线的方程,当当直线不过原点时,设直线的方程 为 ,把点(5,2)代入解得 k 值,即可得到直线的方程,由此得出结论.

解答: 解:当直线过原点时,再由直线过点(5,2) ,可得直线的斜率为 ,

故直线的方程为 y= x,即 2x﹣5y=0. 当直线不过原点时,设直线在 x 轴上的截距为 k,则在 y 轴上的截距是 2k,直线的方程为 , 把点(5,2)代入可得 故直线的方程为 ,解得 k=6. ,即 2x+y﹣12=0.

故选 B. 点评: 本题主要考查用截距式求直线方程的方法,体现了分类讨论的数学思想,属于基础 题.

6. (5 分)若{an}为等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 A. B. C.

,则 tana6 的值为() D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先利用等差数列的求和公式根据前 11 项的和求得 a1+a11 的值,进而根据等差中项的 性质求得 a6 的值,代入 tana6 求得答案. 解答: 解:S11= ∴a1+a11= ∴tana6=tan =2a6 , =tan =﹣ , = ,

故选 C. 点评: 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列前 n 项的和,考查了学生对等差数列基 础知识的把握和理解,属于中档题

7. (5 分)若直线 A.a +b ≤1
2 2

通过点 M(cosα,sinα) ,则() B.a +b ≥1
2 2

C.

D.

考点: 恒过定点的直线. 专题: 计算题. 2 2 2 2 2 2 2 2 分析: 由题意可得 (bcosα+asinα) =a b , 再利用 (bcosα+asinα) ≤ (a +b ) ? (cos α+sin α) , 化简可得 .

解答: 解:若直线

通过点 M(cosα,sinα) ,则
2 2 2



∴bcosα+asinα=ab,∴(bcosα+asinα) =a b . 2 2 2 2 2 2 2 ∵(bcosα+asinα) ≤(a +b )?(cos α+sin α)=(a +b ) , ∴a b ≤(a +b ) ,∴ 故选 D. 点评: 本题考查恒过定点的直线,不等式性质的应用,利用 (bcosα+asinα) ≤(a +b )? 2 2 (cos α+sin α) ,是解题的难点.
2 2 2 2 2 2 2



8. (5 分)已知 a>0,x,y 满足约束条件

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=

() A. B. C. 1 D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直 线 z=2x+y 过可行域内的点 B 时,从而得到 a 值即可. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=2x+y, 将最大值转化为 y 轴上的截距, 当直线 z=2x+y 经过点 B 时,z 最小, 由 故选:B. 得: ,代入直线 y=a(x﹣3)得,a=

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化 归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.

9. (5 分) 已知 F1, F2 是椭圆 则|AF1|﹣|BF2|等于() A.3 B. 8

的两个焦点, 过 F2 的直线交椭圆于点 A, B, 若|AB|=5,

C.13

D.16

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆的定义可知:|AF1|+|AF2|=8,由|AB|=5,可知|AF2|+|BF2|=5,从而可求|AF1|﹣ |BF2|. 解答: 解:∵过 F2 的直线交椭圆 ∴由椭圆的定义可知:|AF1|+|AF2|=8, ∵|AB|=5, ∴|AF2|+|BF2|=5 ∴|AF1|﹣|BF2|=|AF1|+|AF2|﹣(|AF2|+|BF2|)=8﹣5=3, 故选 A. 点评: 本题考查椭圆的定义,考查学生的计算能力,正确运用椭圆的定义是关键. 10. (5 分)若函数 y=f(x)在 R 上可导且满足不等式 xf′(x)>﹣f(x)恒成立,且常数 a, b 满足 a>b,则下列不等式一定成立的是() A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a) 考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 计算题. 分析: 由题意构造函数 g(x)=xf (x) ,再由导函数的符号判断出函数 g(x)的单调性, 由函数 g(x)的单调性得到结合常数 a,b 满足 a>b 即可得出正确选项. 解答: 解:设 g(x)=xf(x) ,则 g'(x)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=xf′(x)+f(x)> 0, ∴函数 g(x)在 R 上是增函数, ∵常数 a,b 满足 a>b, 则有 af(a)>bf(b) , 故选 B. 点评: 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性,利用函数的单调 性的关系对不等式进行判断. 于点 A,B,

11. (5 分)已知动点 P(x,y)在椭圆 C:

=1 上,F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足

|

|=1 且

=0,则|

|的最小值为() C. D.1

A.

B. 3

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 依题意知,该椭圆的焦点 F(3,0) ,点 M 在以 F(3,0)为圆心,1 为半径的圆上, 当 PF 最小时,切线长 PM 最小,作出图形,即可得到答案. 解答: 解:依题意知,点 M 在以 F(3,0)为圆心,1 为半径的圆上,PM 为圆的切线, 2 2 2 ∴|PM| =|PF| ﹣|MF| ,而|MF|=1, ∴当 PF 最小时,切线长 PM 最小.

由图知,当点 P 为右顶点(5,0)时,|PF|最小,最小值为:5﹣3=2. 此时|PM|= = .

故选:A. 点评: 本题考查椭圆的标准方程、圆的方程,考查作图与分析问题解决问题的能力,属于 中档题. 12. (5 分)已知定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) ,当 x∈[0,2)时,f 2 * (x)=﹣2x +4x.设 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an(n∈N ) ,且{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn=() A. B. C. D.

考点: 数列与函数的综合. 专题: 综合题.

分析: 根据定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) ,可得 f(x+2)= f(x) , 从而 f(x+2n)= f(x) ,利用当 x∈[0,2)时,f(x)=﹣2x +4x,可求(x)在[2n﹣2,2n)
2

上的解析式,从而可得 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an,进而利用等比数列的求和公式, 即可求得{an}的前 n 项和为 Sn. 解答: 解:∵定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) , ∴f(x+2)= f(x) , ∴f(x+4)= f(x+2)= f(x) ,f(x+6)= f(x+4)= f(x) ,…f(x+2n)= f(x)

设 x∈[2n﹣2,2n) ,则 x﹣(2n﹣2)∈[0,2) ∵当 x∈[0,2)时,f(x)=﹣2x +4x. 2 ∴f[x﹣(2n﹣2)]=﹣2[(x﹣(2n﹣2)] +4[x﹣(2n﹣2)]. ∴
1﹣n 2

=﹣2(x﹣2n+1) +2
2

2

∴f(x)=2 [﹣2(x﹣2n+1) +2],x∈[2n﹣2,2n) , 2﹣n ∴x=2n﹣1 时,f(x)的最大值为 2 2﹣n ∴an=2 ∴{an}表示以 2 为首项, 为公比的等比数列

∴{an}的前 n 项和为 Sn=

=

故选 B. 点评: 本题以函数为载体,考查数列的通项与求和,解题的关键是确定函数的解析式,利 用等比数列的求和公式进行求和. 二.填空题:本大题共四小题,每小题 5 分,共 20 分. . 13. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=﹣2. 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的前 n 项和. 计算题. 由题意可得,q≠1,由 S3+3S2=0,代入等比数列的求和公式可求 q 解:由题意可得,q≠1

∵S3+3S2=0 ∴ ∴q +3q ﹣4=0 2 ∴(q﹣1) (q+2) =0 ∵q≠1 ∴q=﹣2
3 2

故答案为:﹣2 点评: 本题主要考查了等比数列的求和公式的应用,解题中要注意公比 q 是否为 1 14. (5 分)过点 A(0,3) ,被圆(x﹣1) +y =4 截得的弦长为 2 ﹣ x+3.
2 2

的直线方程是 x=0 或 y=

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 设出直线的斜率,由弦长公式求得圆心到直线的距离,再根据点到直线的距离公式 求出圆心到直线的距离,求出斜率即得直线的方程. 解答: 解: 当直线的斜率不存在时, 直线方程是 x=0, 截圆得到的弦长等于 2 , 满足条件; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为 y﹣3=k(x﹣0) , 则由弦长公式得 2 ∴d=1. 根据圆心(1,0)到直线的距离公式得 d=1= , =2 =2 ,

∴k=﹣ ,故直线方程为 y=﹣ x+3. 综上,满足条件的直线方程为 x=0 或 y=﹣ x+3. 故答案为:x=0 或 y=﹣ x+3 点评: 本题考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式的应用,弦长公式的应用.由 弦长公式求出圆心到直线的距离是解题的关键,体现了分类讨论的数学思想. 15. (5 分)若直线 x+y=k 与曲线 y= k= . 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是﹣1≤k<1 或

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: 曲线 y= 表示一个半圆,如图所示.当直线过点 A(﹣1,0)时,直线 y=﹣

x+k 与半圆只有一个交点;当直线过点 B(1,0) ,C(0,1)时,直线 y=﹣x+k 与半圆有两 个交点,此时 k=1;当直线位于此两条直线之间时满足题意.当直线 y=﹣x+k 与半圆相切时只 有一个公共点,也满足条件. 解答: 解:曲线 y= 表示一个半圆,如图所示.

当直线过点 A(﹣1,0)时,直线 y=﹣x+k 与半圆只有一个交点,此时 k=﹣1; 当直线过点 B(1,0) ,C(0,1)时,直线 y=﹣x+k 与半圆有两个交点,此时 k=1; 当直线 y=﹣x+k 与半圆相切时只有一个公共点,k= .

因此当﹣1≤k<1 时,或 k= 故答案为﹣1≤k<1,或 k=

,直线 x+y=k 与曲线 y= .

恰有一个公共点.

点评: 本题考查了直线与圆的相交于相切的位置关系、数形结合思想方法等基础知识与基 本方法,考查了推理能力和计算能力.

16. (5 分)已知实数 x、y 满足 =x﹣y,则 x 的取值范围是 x<0 或 x≥4.

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 根据 =x﹣y,将之转化为关于 y 的一元二次方程 y ﹣xy+x=0,由方程有实数根知 △ =x ﹣4x≥0,又由于 x=0 时不符合题意故 x 的取值范围是 0<x≤4 解答: 解:由 =x﹣y,得 y ﹣xy+x=0. ∵y∈R,∴△=x ﹣4x≥0. ∴x≤0 或 x≥4. ∵x=0 时 y=0 不符合题意, ∴x<0 或 x≥4. 故答案为:x<0 或 x≥4 点评: 本题考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系,得到△ ≥0,同时还要注意对解 进行检验,属于基础题. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知△ ABC 的面积 S 满足 (Ⅰ)求角 A 的取值范围; (Ⅱ)若函数 ,求 f(A)的最大值. ,且 =﹣8.
2 2 2 2

考点: 平面向量数量积的运算;二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题.

分析: (Ⅰ)利用两个向量的数量积的定义求出 ,可得 .

=

,再由

,根据 A 为三角形的内角,求出

(Ⅱ)利用,二倍角公式及两角和的正弦公式化简 f(A)的解析式为 可得当 时,f(A)取得最大值 . =﹣8,∴ ①. ②,将①代入②得 S=﹣4tanA,由 , 又 A∈(0,π) ,∴ (Ⅱ) = = = , 当 ,即 A= 时, 取得最大值,同时,f(A)取得最大值 . = = . ,得 =﹣8,



解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ ∵ =

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,二倍角公式的应用,两角和的正弦公式, 正弦函数的定义域和值域,化简 f(A)的解析式,是解题的关键. 18. (12 分)某学校举行投篮比赛,比赛规则如下:每次投篮投中一次得 2 分,未中扣 1 分, 每位同学原始积分均为 0 分,当累积得分少于或等于﹣2 分则停止投篮,否则继续,每位同学 最多投篮 5 次.且规定总共投中 5、4、3 次的同学分别为一、二、三等奖,奖金分别为 30 元、 20 元、10 元.某班甲、乙、丙同学相约参加此活动,他们每次投篮命中的概率均为 ,且互 不影响. (1)求甲同学能获奖的概率; (2)记甲、乙、丙三位同学获得奖金总数为 X,求 X 的期望 EX. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计.

分析: (1)由题意,利用互斥事件加法公式能求出甲同学能获奖的概率. (2)记甲同学获得奖金为 Y, Y=0,10,20,30, 分别求出相应的概率能求出 EY,由 EX=3EY 能求出 X 的期望 EX. 解答: 解: (1)由题意知,甲同学能获奖的概率: . (6 分) (2)记甲同学获得奖金为 Y, Y=0,10,20,30, P(Y=0)= P(Y=10)= P(Y=20)= P(Y=30)= = , = = . , = ,

则 Y 的分布列如下: Y 0 10 20 30 P ﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) ∴EY=0× EX=3EY= . (13 分) = , (11 分) ,

点评: 本题考查概率的求法,考查注意离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中 档题,在历年 2015 届高考中都是必考题型. 19. (12 分) 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AB=AC=AA1=BC1=2, ∠AA1C1=60°, 平面 ABC1⊥ 平面 AA1C1C,AC1 与 A1C 相交于点 D. (1)求证:BD⊥平面 AA1C1; (2) (理)设点 E 是直线 B1C1 上一点,且 DE∥平面 AA1B1B,求平面 EBD 与平面 ABC1 夹 角的余弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定.

专题: 空间角. 分析: (1)由已知条件推导出 BD⊥AC1,由此能够证明 BD⊥平面 AA1C1C. (2)以 D 为原点,以 DA1,DA,DB 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 系,利用向量法能求出平面 EBD 与平面 ABC1 夹角的余弦值. 解答: (1)证明:由已知得侧面 AACC 是菱形,D 是 AC1 的中点, ∵AB=AC=AA1=BC1=2,AC1 与 A1C 相交于点 D, ∴BD⊥AC1,∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C,且 BD 不包含于平面 ABC1, 平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1, ∴BD⊥平面 AA1C1C. (2) (理)解:设点 F 是 A1C1 的中点,∵点 D 是 AC1 的中点,∴DF∥平面 AA1B1B, 又∵DE∥平面 AA1B1B,∴平面 DEF∥平面 AA1B1B, 又平面 DEF∩平面 A1B1C1=EF,平面 AA1B1B∩平面 A1B1C1=A1B1, ∴EF∥A1B1,∴点 E 是 B1C1 的中点. 如图,以 D 为原点,以 DA1,DA,DB 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系. 由已知得 AC1=2,AD=1,BD=A1D=DC= ,BC= ∴

设平面 EBD 的一个法向量是 由 又 = 由 得 , ,∴ , , ,得 ,



令 x=1,得 y=

∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C,DA1⊥AC1,∴DA1⊥平面 ABC1 ∴平面 ABC1 的一个法向量是 ∵ , ,

∴平面 EBD 与平面 ABC1 夹角的余弦值是



点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用. 20. (12 分)已知圆 M: (x+1) +y =1,圆 N: (x﹣1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长 时,求|AB|. 考点: 轨迹方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (I) 设动圆的半径为 R, 由已知动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切, 可得|PM|+|PN|=R+1+ (3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,4 为长轴长 的椭圆,求出即可; (II)设曲线 C 上任意一点 P(x,y) ,由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2,所以 R≤2,当且仅当 2 2 ⊙P 的圆心为(2,0)R=2 时,其半径最大,其方程为(x﹣2) +y =4.分①l 的倾斜角为 90°, 此时 l 与 y 轴重合,可得|AB|.②若 l 的倾斜角不为 90°,由于⊙M 的半径 1≠R,可知 l 与 x 轴不平行, 设 l 与 x 轴的交点为 Q, 根据 , 可得 Q (﹣4, 0) , 所以可设 l: y=k (x+4) ,
2 2 2 2

与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出. 2 2 2 2 解答: 解: (I)由圆 M: (x+1) +y =1,可知圆心 M(﹣1,0) ;圆 N: (x﹣1) +y =9,圆 心 N(1,0) ,半径 3. 设动圆的半径为 R, ∵动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4, 而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,4 为长轴长的椭圆, 2 2 2 ∴a=2,c=1,b =a ﹣c =3. ∴曲线 C 的方程为 (x≠﹣2) .

(II)设曲线 C 上任意一点 P(x,y) ,

由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2,所以 R≤2,当且仅当⊙P 的圆心为(2,0)R=2 时,其半径 最大,其方程为(x﹣2) +y =4. ①l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= . ②若 l 的倾斜角不为 90°,由于⊙M 的半径 1≠R,可知 l 与 x 轴不平行, 设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 ,可得 Q(﹣4,0) ,所以可设 l:y=k(x+4) ,
2 2

由 l 于 M 相切可得:

,解得





时,联立

,得到 7x +8x﹣8=0.

2

∴ ∴|AB|=

, =

. = 时,也有|AB|= 或 . .

由于对称性可知:当 综上可知:|AB|=

点评: 本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线 与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、 弦长公式等基础知识, 需要较强的推理 能力和计算能力及其分类讨论的思想方法. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣2acoskπ?lnx(k∈N ,a∈R,且 a>0) . (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 k=2010,关于 x 的方程 f(x)=2ax 有唯一解,求 a 的值. 考点: 函数与方程的综合运用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 常规题型;综合题;压轴题. 分析: 对(1)要先对函数求导,然后分 k 为奇偶数讨论导函数大于和小于零时的自变量范 围,由此即可获得解答; 2 对(2)利用 k=2010 先将方程化简,从而得到函数 g(x)=f(x)﹣2ax=x ﹣2axlnx﹣2ax 有 唯一的零点,进而将问题转化为函数的零点问题,然后利用导数知识分析单调性,从而结合 求解即可.
2 *

解答: 解: (1)由已知得 x>0 且 当 k 是奇数时,f′(x)>0,则 f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 k 是偶数时,则





所以当 x∈ 时,f′(x)<0, 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0. 故当 k 是偶数时,f(x)在 上是减函数, 在( ,+∞)上是增函数. 2 * (2)若 k=2010,则 f(x)=x ﹣2alnx(k∈N ) . 2 记 g(x)=f(x)﹣2ax=x ﹣2axlnx﹣2ax, , 若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解; 2 令 g'(x)=0,得 x ﹣ax﹣a=0.因为 a>0,x>0, 所以 (舍去) ,

. 当 x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)是单调递减函数; 当 x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调递增函数. 当 x=x2 时,g'(x2)=0,g(x)min=g(x2) . 因为 g(x)=0 有唯一解,所以 g(x2)=0. 则 即

两式相减得 alnx2+ax2﹣a=0,因为 a>0,所以 2lnx2+x2﹣1=0(*) . 设函数 h(x)=2lnx+x﹣1, 因为在 x>0 时,h(x)是增函数,所以 h(x)=0 至多有一解. 因为 h(1)=0,所以方程(*)的解为 x2=1,从而解得 .

点评: 本题考查的是函数与方程的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了函数与方程 的思想、分类讨论的思想以及求导的知识.综合应用性强,值得同学们体会反思. 四、请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,△ ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,PA 是过点 A 的直线,且∠PAC=∠ABC. (Ⅰ) 求证:PA 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求 sin∠BCE.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)由 AB 为直径,知 , ,由此能证明 PA 为圆的切

线. (Ⅱ) 设 CE=6k, ED=5k, AE=2m, EB=3m, 由 AE?EB=CE?ED, 得 m= k, 由△ AEC∽△DEB, △ CEB∽△AED,能求出 AB=10, ,由此能求出 sin∠BCE. 解答: (Ⅰ)证明:∵AB 为直径, ∴ ∵ , , ,

∴PA⊥AB, ∵AB 为直径,∴PA 为圆的切线.…(4 分) (Ⅱ)解:CE=6k,ED=5k,AE=2m,EB=3m, ∵AE?EB=CE?ED,∴m= k, ∵△AEC∽△DEB

△ CEB∽△AED ∴AB=10, . , .…(10 分)



在直角三角形 ADB 中, ∵∠BCE=∠BAD,∴

点评: 本题考查与圆有关的比例线线段的应用,解题时要认真审题,注意相交弦定理和相 似三角形性质的合理运用. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (坐标系与参数方程选做题)

已知椭圆 C 的极坐标方程为

,点 F1、F2 为其左,右焦点,直线 l

的参数方程为

(t 为参数,t∈R) .

(Ⅰ)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和. 考点: 椭圆的参数方程;点到直线的距离公式;简单曲线的极坐标方程. 分析: (Ⅰ) 通过两个表达式的消去参数 t,即可将直线 l 的参数方程化简为普通方程.椭 圆 C 的极坐标方程化成:12=3ρ cos θ+4ρ sin θ,最后再化成普通方程即可; (Ⅱ)利用点到直线的距离公式,求出求点 F1、F2 到直线 l 的距离,最后求和即可. 解答: 解: (Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y=x﹣2; …(2 分) 曲线 C 的普通方程为 . …(4 分)
2 2 2 2

(Ⅱ)∵F1(﹣1,0) ,F2(1,0) , ∴点 F1 到直线 l 的距离 点 F2 到直线 l 的距离 ∴ .…(10 分) ,…(6 分) ,…(8 分)

点评: 本题是基础题,考查简单曲线的极坐标方程,椭圆 C 的极坐标方程与普通方程的互 化,点到直线的距离公式,考查计算能力,易考题型. [选修 4-5:不等式选讲] 24.选修 4﹣5:不等式选讲 设不等式|2x﹣1|<1 的解集为 M,且 a∈M,b∈M. (Ⅰ) 试比较 ab+1 与 a+b 的大小; (Ⅱ) 设 maxA 表示数集 A 中的最大数,且 ,求 h 的范围.

考点: 绝对值不等式的解法;不等式比较大小. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)先解不等式得出其解集 M,再利用作差法比较大小即可; (2)不妨设 0<a≤b<1,先找出其最大值,进而即可求出其范围. 解答: 解:由不等式|2x﹣1|<1 化为﹣1<2x﹣1<1 解得 0<x<1, ∴原不等式的解集 M={x|0<x<1}, (Ⅰ)∵a,b∈M,∴0<a<1,0<b<1. ∴(ab+1)﹣(a+b)=(1﹣a) (1﹣b)>0, ∴ab+1>a+b. (Ⅱ)∵a,b∈M,∴0<a<1,0<b<1.

不妨设 0<a≤b<1,则

,∴ .





最大,即

>2.

∴h∈(2,+∞) . 点评: 熟练掌握绝对值不等式的解法、作差法比较数的大小及不等式的基本性质是解题的 关键.


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