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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 3.1数乘向量课件 新人教A版必修4


第二章

平面向量

§3

从速度的倍数到数乘向量
3. 1 数 乘 向 量

1.问题导航 (1)若 λa= 0(λ∈ R),则 λ= 0 是否成立? (2)实数与向量的数乘、数乘之间的和差运算等 (比如化简 3(3a 1 + 5b)- (a- 8b- c)+ 3b)与多项式的运算有什

么相同之处? 2 (3)若向量 a, b 不共线,且 λa= μb,则 λ, μ 的值如何?为什 么?

2.例题导读

P83例1.通过本例学习,学会向量的线性运算.
试一试:教材P87习题2-3 A组T1你会吗? P84例2,例3.通过此两例的学习,学会利用向量共线的判定与

性质解决向量共线问题.
试一试:教材P87习题2-3 A组T2你会吗?

1.数乘向量 (1)一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa.它的长

相同 ; 度为 |λa|= |λ||a|,它的方向:当 λ>0 时,λ a 与 a 的方向 _____ 相反 当 λ<0 时, λ a 与 a 的方向____________ ; 当 λ= 0 时, λ a= 0,
方向任意. (2)几何意义 λ a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段在原方向 (λ>0) 缩短 伸长 或反方向 (λ<0)上 ____________ (|λ|>1)或____________ (|λ|<1) 为原来的 |λ|倍.

(3)运算律 设 a, b 为向量, λ ,μ 为实数.

(λμ)a ① λ (μ a)= ____________ ; λa+μa ② (λ+ μ)a= ____________ ;

λa+λb ③ λ (a+ b)=____________ ;
-(λa) ④特别地 (- λ)a=____________ ;

λa-λb λ (a-b)= ____________ .

(4)线性运算 向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算,通常叫作向量 的线性运算(或线性组合). a (5) 表示 a 方向上的单位向量. |a|

2.向量共线定理


定 定 a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa, 则向量b与非零向量a共线


性 质 若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得 b=λa 定 理

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)实数与向量数乘,结果仍是一个向量.( )√ (2)共线向量定理中,条件a≠0可以去掉.( ) ×

(3)λa的方向与a的方向一致.(

) × (4)对于任意实数m和向量a,b若ma=mb,则a=b.( 量数乘,结果仍是一个向量.

)× 解析:(1)正确.根据实数与向量数乘的定义,可知实数与向 (2)错误.若条件a≠0去掉,当b≠0,a=0时,λ 不存在. (3)错误.当λ>0时,λ a的方向与a的方向一致;当λ<0时,λa的

方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意.
(4)错误.当m=0时,ma=mb,a与b可以不相等.

1→ → 2.在四边形 ABCD 中,若AB=- CD ,则此四边形是( C ) 2 A.平行四边形 C.梯形
1→ → 解析:因为AB=- CD , 2 1 所以 AB∥ CD,且 AB= CD, 2 所以四边形 ABCD 为梯形.

B.菱形 D.矩形

3.已知向量a与b不共线,向量c=3a-b,d=6a-2b,则向 共线 量c与d的关系是________ .(填“共线”或“不共线”)

解析:d=6a-2b=2(3a-b)=2c,
所以向量c与d共线.

1?1 2b-a . 4. 2( 2a+8b)-(4a-2b) ?=________ 3? ?

1?1 解析: 2( 2a+8b)-(4a-2b) ? 3? ? 1 1 = (2a+ 8b)- (4a-2b) 6 3 1 4 4 2 = a+ b- a+ b=2b- a. 3 3 3 3

1.从两个角度看数乘向量 (1)代数角度 ① λ 是实数, a 是向量,它们的积仍然是向量; ② λ a= 0 的条件是 λ= 0 或 a=0. (2)几何角度 ①当 |λ|> 1 时,有 |λa|> |a|,这意味着表示向量 a 的有向线段在 原方向 (λ>1)或反方向 (λ<- 1)上伸长到 |a|的 |λ|倍; ②当 0< |λ|< 1 时,有 |λa|< |a|,这意味着表示向量 a 的有向线 段在原方向 (0< λ< 1)或反方向(-1< λ<0)上缩短到 |a|的 |λ|倍.

2.对数乘向量的运算律的两点说明 (1)数乘向量运算律满足的条件: 三种运算律中的 λ 与 μ 都是实 数. (2)对运算律 λ(a+ b)=λa+ λb 的几点说明 ①当 a, b 中有一个等于 0,或 λ= 0 或 1 时,等式显然成立; ②若 a, b 都不等于 0 且 λ≠ 1,λ ≠0, 当 λ> 0 且 λ≠ 1 时,如图,

→ → → → OA= a,AB= b,OA1= λa,A1B1= λb,

→ → OB= a+ b,OB1= λa+ λb, → → 由作法知AB∥A1B1, → → 所以 |A1B1|= λ|AB|, → → 所以 |OB1|= λ|OB|, → → 且OB1与 OB方向也相同, 故有 λ(a+ b)= λa+ λb 成立. 当 λ< 0 时,同理可证. 综上,λ (a+b)= λa+ λb 成立.

3.正确理解向量共线的判定定理和性质定理 (1)向量共线的判定定理和性质定理实际上是由实数与向量的 积推出的.两个定理分别从正、反两方面加以论述,即当 a≠ 0 时,a∥ b? b= λa. (2)定理中,之所以限定 a≠ 0,是由于若 a= b= 0,虽然 λ 仍然 存在,但 λ 不唯一,定理的正反两个方面不成立. (3)由于零向量的方向不确定, 在处理有关向量共线问题时, 一 般规定零向量与任何一个向量平行.a, b 都不是零向量时, 若 a= λb,则 λ> 0 时,a 与 b 同向; λ< 0 时, a 与 b 反向. (4)若 a, b 不共线,且 λa= μb,则必有 λ= μ=0.

(5)向量共线的判断(证明 )可把两向量用共同的已知向量来表 示,进而互相表示,从而判断共线;向量共线的应用是存在实 数,使两向量可以互相表示,利用向量共线的条件列式,通过 计算得出结论.

向量的线性运算
(1)计算下列各式: ① 3(a-2b+ c)- (2c+ b- a); 2 1 2 ② (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b). 5 3 15

(2)设 x, y 是未知向量. ①解方程 5(x+a)+ 3(x- b)=0;

? ②解方程组? 1 ?x-2y=b.
(链接教材 P83 例 1)

1 x- y= a, 2

[解 ]

(1)①原式= 3a-6b+ 3c-2c-b+ a= 4a-7b+ c.

2 2 2 4 4 26 ?2 2 4 ? ②原式= a- b- a- b+ a+ b= 5- 3+ 15 a+ 5 5 3 3 15 15 ? ?

?-2-4+26 ?b=0×a+0×b=0. ? 5 3 15 ?
(2)①原方程可变为 5x+5a+ 3x-3b= 0, 5 3 即 8x=- 5a+3b,所以 x=- a+ b. 8 8

②把第一个方程的左、右两边同乘-2,然后与第二个方程相 加, 3 4 2 得 y=-2a+ b,从而 y=- a+ b. 2 3 3 2 4 代入原来第二个方程得 x=- a+ b. 3 3

? 所以? 4 2 ?y=-3a+3b.

2 4 x=- a+ b, 3 3

方法归纳 向量线性运算的基本方法 (1)类比方法: 向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算. 例 如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变 形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类 项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. (2)方程方法: 向量也可以通过列方程来解, 把所求向量当作未 知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意 观察,恰当运用运算律,简化运算.

1 ? 1 ? 1.(1)若 2 y-3a - (c+b- 3y)+b=0,其中 a,c,b 为已知 ? ? 2

4 1 1 a- b+ c 21 7 7 向量,则未知向量 y=__________________________. a+7b . (2)化简 4(a+b)-3(a-b)=________ 1 ? 1 2 1 1 ? 解析: (1)由 2 y-3a - (c+ b- 3y)+b= 0 得 2y- a- c- b ? ? 2 3 2 2
3 7 2 1 1 + y+ b= 0,即 y- a- c+ b=0, 2 2 3 2 2 4 1 1 所以 y= a- b+ c. 21 7 7 (2)4(a+ b)-3(a-b)= 4a-3a+ 4b+3b= a+ 7b.

向量共线的判定定理和性质定理
设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB= a+ b,BC= 2a+ 8b,CD = 3(a-b),求证: A, B, D 三点共线; (2)已知 ka+ b 和 a+kb 共线,求实数 k 的值. (链接教材 P84 例 2,例 3)
[解 ] → → → (1)证明:因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD =3(a-b),

→ → → 所以BD =BC+CD =2a+8b+3(a-b)

→ = 2a+8b+ 3a-3b= 5(a+ b)=5AB. → → 所以AB,BD 共线. 又因为它们有公共点 B,所以 A, B, D 三点共线. (2)因为 ka+ b 与 a+kb 共线, 所以存在实数λ ,使 ka+ b= λ(a+kb), 即 ka+ b= λa+ λkb. 所以(k- λ)a=(λk- 1)b. 因为 a, b 是不共线的两个非零向量, 所以 k- λ= λk-1=0,所以 k2-1=0.所以 k= ± 1.

方法归纳 (1)证明三点共线问题可用向量共线来解决, 但应注意向量共线 与三点共线的区别与联系,当两个向量共线且有公共点时,才 能得出三点共线. (2)注意当两个向量共线时, 通常只有非零向量才能表示与之共 线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想的运用.

→ → → 2. (1)已知向量 a, b,且AB= a+ 2b,BC=- 5a+6b,CD = 7a- 2b,则一定共线的三点是 ( C ) A. B, C, D C. A, B, D B. A, B, C D. A, C, D

→ → (2)已知 A, B, P 三点共线, O 为直线外任意一点, 若OP= xOA → 1 + yOB,则 x+ y= ________ .

→ → → → → → 解析: (1)因为BD =BC+CD = 2a+ 4b= 2AB, 所以向量BD , BA 共线,故 A, B, D 三点共线. (2)由于 A, B, P 三点共线, → → 所以向量AB,AP在同一条线上, → → 由共线向量定理可知,必定存在实数 λ 使AP= λAB, → → → → 即OP- OA= λ(OB- OA), → → → 所以OP= (1- λ)OA+ λOB, 故 x= 1- λ,y= λ,即 x+ y=1.

用已知向量表示其他向量
→ → (1)如图, ABCD 是一个梯形, AB∥CD 且 → → |AB|= 2|CD |, M, N 分别是 DC, AB 的中点, → → 已知AB= e1,AD = e2,试用 e1,e2 表示下列向 量. 1 e2 + e1 2 → ①AC= ________; 1 → e1 - e2 . ②MN= ________ 4 (2)如图所示,已知? ABCD 的边 BC, CD → → 的中点分别为 K, L,且AK= e1,AL= e2, → → 试用 e1, e2 表示BC,CD . (链接教材 P87 习题 2- 3 A 组 T5, T6)

[解 ]

→ → → → (1)①因为AB∥CD , |AB|= 2|CD |,

→ → → 1→ 所以AB=2DC, DC= AB, 2 1 → → → 所以AC=AD +DC= e2+ e1. 2 → → → → ②MN= MD+DA+AN 1 → → 1→ =- DC-AD + AB 2 2 1 1 =- e1- e2+ e1 4 2 1 = e1 - e 2 . 4

1 1 故①填 e2+ e1;②填 e1-e2. 2 4 1 → → 1 → (2)设BC= x,则BK= x,AB= e1- x, 2 2 1 → 1→ 1→ 1 DL= DC= AB= e1- x. 2 2 2 4 → → → 由AD + DL=AL 1 1 得 x+ e1- x= e2, 2 4 4 2 解方程得 x= e2- e1, 3 3

2 → 4 即BC= e2- e1. 3 3 1 → → → 由CD =-AB,AB= e1- x, 2 2 ? 1?4 → 1 得CD = x- e1= 3e2-3e1 - e1 2 2? ? 4 2 =- e1+ e2. 3 3

→ → → 本例(1)中,若BC=e1,AD=e2,试用 e1,e2 表示向量MN.

→ → → → 解:因为MN=MD+ DA+AN , → → → → MN=MC+ CB+BN , → → → → → → → 所以 2MN= (MD+ MC)+DA+CB+ (AN +BN ), 又因为 M, N 分别是 DC, AB 的中点, → → → → 所以MD+MC= 0,AN +BN = 0. → → → 所以 2MN= DA+CB, 1 1 → 1 → → 所以MN= (-AD -BC)=- e2- e1. 2 2 2

方法归纳 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法

(2)方程法 当直接表示比较困难时, 可以首先利用三角形法则和平行四边 形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系, 然后解关于 所求向量的方程.

3. (1)如图所示, D, E 分别是△ ABC 中边 AB, → → AC 的中点,已知BC= a,BD = b,试用 a,b → → 分别表示DE,CE. → (2)如图, 四边形 OADB 是以向量OA= a, → → 1 OB= b 为边的平行四边形.又BM= 3 → → 1→ → → BC, CN = CD , 试用 a, b 表示OM, ON, 3 → MN.

解:(1)由三角形中位线定理, 1 知 DE 綊 BC, 2 → 1→ → 1 故DE= BC,即DE= a. 2 2 1 1 → → → → CE=CB+ BD +DE=- a+ b+ a=- a+ b. 2 2 → 1→ 1→ (2)因为BM= BC= BA 3 6 1 → → 1 = (OA-OB)= (a-b), 6 6

→ → → 所以OM=OB+BM 1 1 1 5 = b+ a- b= a+ b. 6 6 6 6 → 1→ 1→ 因为CN = CD = OD, 3 6 → → → 1→ 1→ 所以ON=OC+CN = OD+ OD 2 6 2→ 2 → → 2 = OD= (OA+ OB)= (a+ b). 3 3 3 → → → 所以MN=ON-OM 2 1 5 1 1 = (a+b)- a- b= a- b. 3 6 6 2 6

规范解答

利用向量共线定理解决与共线相 关的问题

(本题满分 12 分 )如图所示,在 △ ABC 中, D, F 分别是 BC, AC 的中点, → 2→ → → AE= AD , AB=a,AC= b. 3 → → → → → (1)用 a, b 表示向量AD , AE,AF,BE, BF; (2)证明: B, E, F 三点共线.

[解 ]

→ (1)如图所示,延长 AD 到 G,使AD =

1→ AG ,连接 BG, CG,得到四边形 ABGC.2 2 分 因为 D 是 BC 和 AG 的中点, 所以四边形 ABGC 是平行四边形, → → → → 1→ 1 → 2→ 1 则AG = AB+AC= a+ b, 所以AD = AG = (a+b), AE= AD = 2 2 3 3 (a+b).5 分

→ 1→ 1 因为 F 是 AC 的中点,所以AF= AC= b. 2 2 → → → 1 所以BE=AE-AB= (a+ b)-a 3 1 = (b-2a).8 分 3 1 → → → 1 BF=AF- AB= b-a= (b- 2a).9 分 2 2 (2)证明:由 (1)可知, → 1 → 1 BE= (b-2a),BF= (b-2a), 3 2 → 2→ → → 所以BE= BF,即BE,BF是共线向量,又因为它们有公共点 3 B,所以 B, E, F 三点共线 .12 分

[规范与警示 ]

(1)由中点联想到平行四边形,作辅助线得



的结论是解答本题的关键; 若在 处不能正确地利用向量的加 → 减法以及已表示出的AE,则易出现运算错误,导致失分;若 未能正确地表示出 分点. (2)①在向量的加减运算中, 需遵循平行四边形法则和三角形法 则,在给出的图形中有时需要借助辅助线构造出相应的图形. ②对于常见图形中的基本量, 要熟练应用三角形法则或平行四 边形法则表示. ③利用向量共线定理可以证明三点共线, 也可以求相关的参数 的值,其基本的关系就是 a= λb(λ ∈ R, b≠ 0). 处的结论, 则无法证得结论, 是又一易失

1.下列说法正确的是( D ) A.平行于同一向量的两个向量是共线向量 B.单位向量都相等 C. a∥ b?存在唯一的实数 λ,使得 a= λb D.与非零向量 a 相等的向量有无数个
解析:若两个向量都与零向量平行,它们可能不共线,所以选 项 A 不正确;单位向量只是长度相等,方向不确定,故选项 B 不正确;“a∥ b?存在唯一的实数 λ,使得 a=λb”需在 b≠0 的前提下才成立,故选项 C 不正确;平移非零向量 a,所得向 量都与 a 相等,故与非零向量 a 相等的向量有无数个.故选 D.

1 2 2.若向量 a=3i-4j,b=5i+4j,则 ( a- b)- 3(a+ b)+(2b 3 3 32 -16i+ j 3 - a)=_________________ .

1 2 1 解析:( a- b)- 3(a+ b)+(2b-a)= a- b- 3a-2b+2b- a 3 3 3 11 11 =- a- b=- (3i- 4j)-(5i+4j) 3 3 44 =-11i+ j- 5i-4j 3 32 =-16i+ j. 3

→ → → → → 3.在△ABC 中,AB=a,AC=b,若BD =2DC,则AD =
1 2 a+ b 3 3 ________( 用 a,b 表示 ).
→ → → → 2→ → 2 → → 1→ 2 解析:AD =AB+ BD =AB+ BC=AB+ (AC- AB)= AB+ 3 3 3 3 2 → 1 AC= a+ b. 3 3


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