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高三数学直线的交点坐标与距离公式


8.3

直线的交点坐标与距离公式

? (能用解方程组的方法求两直线 的交点坐标/掌握两点间的距离 公式/点到直线的距离公式/会求

两条平行直线间的距离)

? 1.两条直线是否相交的判断 ? 两直线是否有公共点,要看它们的方程是 否有公共解.因此只要将两条直线L1和L2的

方程联立
? (1)若方程组无解,则L1//L2;

? 2.点到直线距离公式

? 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
为: ? 3.两平行线间的距离公式 ? 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1:

? 1.过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y =x+m平行,则|AB|的值为( )

?

A. 6 D.不能确定

B.

C.2

?

答案:B

? 3.直线l1经过点A(3,0),直线l2经过点B(0,4),

且l1∥l2,用d表示l1,l2间的距离,则(
? A. d ≥ 5 D.0<d≤5 ? 答案:D B.3≤d≤5

)

C . 0≤d≤5

? 4.直线l过点(2,1),且原点到l的距离是1,

? 直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 与直线 l2 : A2x +

B2y+C2=0的交点:
? 1.可通过解方程组 若方程组有唯一解,则l1与l2相 ? 交;若方程组无解,则直线 l ∥l ;若方 求得,

? 【例 1】 直线 l 被两条直线 l1 : 4x + y + 3 = 0

和 l2 : 3x - 5y - 5 = 0 截得的线段的中点为
P(-1,2),求直线l的方程. ? 解 答 : 解 法 一 : 设 直 线 l 与 l1 的 交点为 A(x0 , y0) ,由已知条件,则直线 l 与 l2 的交

点为B(-2-x0,4-y0),并且满足

? 解法二:设直线l的方程为 y - 2 =k(x+1) , 即kx-y+k+2=0. ? 由 ? 由 ? 则 得x= 得x= =-2,解得k=-3.

? 变式 1. 如图,设一直线过点 (-1,1),它被 两平行直线l1:x+2y-1=0, ? l2:x+2y-3=0所截的线段的中点在直

线l3:x-y-1=0上,求其方程.
? 解答: 与 l1 、 l2 平 行 且距离相等的直线 方程为x+2y-2=0.

? 1. 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距 离 d= ? 在使用点到直线距离公式时,要注意将

直线方程化为一般式,
? 利用点到直线的距离公式可求三角形的

【例2】

?

求过点P(-1,2)且与点A(2,3)和B(-4,5)

的距离相等的直线l的方程. ? 解答:解法一:设直线l的方程为y-2=k(x +1),

? 即kx-y+k+2=0.由题意知=

? 解法二:当AB∥l时,有k=kAB=-

,直

线l的方程为y-2=- (x+1),
? 即x+3y-5=0.当l过AB中点时,线段AB中 点为(-1,4). ? ∴直线AB方程为x=-1,故所求直线l的方

? 变式2. 如图所示,正方形的中心点为C(-1, 0),一条边所在的直线方程 ? 是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的

方程.
? 解答: 设与 x + 3y - 5 =0 平行的直线为 x + 3y+ C = 0,

? 如直线 l:(1+3λ)x +(1+2λ)y-(2+5λ)= 0 ,无论 λ 取任何实数直线 l 恒过一定点, 定点坐标的求法大致有两种:

? (1)将直线方程转化为(x+y-2)+λ(3x+2y
-5)=0,通过解方程组

? 【例3】 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a =0(a∈R). ? (1) 若 l 在两坐标轴的截距相等,求 l 的方

程;
? (2) 若 l不经过第二象限,求实数 a 的取值 范围.

? (2)由(a+1)x+y+2-a=0得a(x-1)+(x+y +2)=0.

? 无论a取何值,直线l过A(1,-3)点, ? 则直线l的斜率k≥0,即-(a+1)≥0.解得a≤-

? 变式3.点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1

+2λ)y=2+5λ的距离为d,
? 则d的取值范围是( )

?

解析:本题考查数形结合思想,以及分

?将直线 l 的方程变为: x + y - 2 + λ(3x + 2y -5)=0,它表示过直线l1:x+y-2=0,l2: 3x + 2y - 5 = 0 的交点且不包含第二条直线

的所有直线.显然当直线过点P时距离最小

【方法规律】

? 1.求两直线交点坐标就是解方程组.即把 几何问题转化为代数问题. ? 2.要理解“点点距”、“点线距”、“线

线距”之间的联系及各公式的特点.
? 特别提示:求两平行线间的距离时,一

? (本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已
知矩形 ABCD 的长为 2, 宽为 1, AB、 AD边 分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原 点重合 ( 如图所示 ) . 将矩形折叠 , 使A 点落

在线段DC上.

【答题模板】

? 解答:(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A′, 则折痕EF所在直线的斜率

? k≤0.当k=0时,A′与D重合,EF所在直线方程 为 y=
? 当k<0时,线段EF垂直平分OA′.故直线OA′的

? (2) 由 (1) 知 线 段 EF 的 方 程 为 y = kx +
(-2≤k≤0)① ? 当 E 与 D 重合时, E 点坐标为 (0,1) ,由①式 得k=-1.

? 当 F 与 B 重合时, F 点坐标为 (2,0) ,由①式
得k=-2+

? 当k∈[-2+ 大值为f(-2+

,0]时,f(k)递减,f(k)的最 )=32-16 ;

? 当k∈[-1,-2+
- ? 在 [- 2<f(-2+ ]上递减; ,-2+

)时,可证f(k)在[-1,

)上递增,f(-1)= .

)=32-16

【分析点评】

? 本题对直线方程,两点间的距离公式和分段 函数问题进行了综合考查,在考查

? 直线方程时是以折叠为背景,实质是考查对 称问题.
? (1)点与点关于点对称,图形与图形关于点对 称,主要利用中点坐标公式解决. ? (2)图形与图形对称问题可转化为点与点对称 解决,对于点与点关于直线x=0,
点击此处进入 作业手册 ? y=0,y= x , y =- x 对称,要记忆对称点之 间坐标的关系,对于点与点关于一

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