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高中数学知识点总结


上海高中数学——知识点总结
一、集合与常用逻辑
1.集合概念 2.集合运算 元素:互异性、无序性 全集 U:如 U=R

交集: A ? B ? {x x ? A且x ? B} 并集: A ? B ? {x x ? A或x ? B} 补集: CU A ? {x x ?U且x ? A} 3.集合关系 空集 ?

?A

/>x?B

子集 A ? B :任意 x ? A ?

A? B ? A ? A ? B
注:数形结合---文氏图、数轴 4.四种命题 原命题:若 p 则 q 否命题:若 ? p 则 ? q 原命题 ? 逆否命题 5.充分必要条件 p 是 q 的充分条件: P ? q p 是 q 的必要条件: P ? q

A? B ? B ? A ? B

逆命题:若 q 则 p 逆否命题:若 ? q 则 ? p 否命题 ? 逆命题

p 是 q 的充要条件:p?q 6.复合命题的真值 ①q 真(假)?“ ? q ”假(真) ②p、q 同真?“p∧q”真 ③p、q 都假?“p∨q”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ??M, p(x)否定为: ??M, ?p ( X ) ??M, p(x)否定为: ??M, ?p ( X )

二、不等式
1.一元二次不等式解法
2 若 a ? 0 , ax ? bx ? c ? 0 有两实根 ? , ? (? ? ? ) ,则

ax2 ? bx ? c ? 0 解集 (? , ? )

ax2 ? bx ? c ? 0 解集 (??, ? ) ? (? ,??)
注:若 a ? 0 ,转化为 a ? 0 情况 2.其它不等式解法—转化

x ? a ? ?a ? x ? a ? x 2 ? a 2

x ? a ? x ? a 或 x ? ?a ? x 2 ? a 2

f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 g ( x)

a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ( a ? 1)
? ? f ( x) ? 0 ( 0 ? a ? 1) loga f ( x) ? loga g ( x) ? ? ? f ( x ) ? g ( x ) ?
3.基本不等式 ① a ? b ? 2ab
2 2

②若 a, b ? R ,则

?

a?b ? ab 2

注:用均值不等式 a ? b ? 2 ab 、 ab ? ( 求最值条件是“一正二定三相等”

a?b 2 ) 2

三、函数概念与性质
1.奇偶性 f(x)偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f(x)图象关于 y 轴对称 f(x)奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f(x)图象关于原点对称 注:①f(x)有奇偶性 ? 定义域关于原点对称 ②f(x)奇函数,在 x=0 有定义 ? f(0)=0 ③“奇+奇=奇” (公共定义域内) 2.单调性 f(x)增函数:x1<x2 ? f(x1)<f(x2) 或 x1>x2 ? f(x1) >f(x2) 或

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

f(x)减函数:? 注:①判断单调性必须考虑定义域 ②f(x)单调性判断 定义法、图象法、性质法“增+增=增”

③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3.周期性
T 是 f ( x) 周期 ? f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立(常数 T ? 0 )

4.二次函数 2 2 解析式: f(x)=ax +bx+c,f(x)=a(x-h) +k f(x)=a(x-x1)(x-x2) 对称轴: x ?

?b 2a

顶点: ( ?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

单调性:a>0, ( ?? , ?

b b , ?? ) 递增 ] 递减, [ ? 2a 2a

当x ?

?b 4ac ? b 2 ,f(x)min ? 2a 4a
2

奇偶性:f(x)=ax +bx+c 是偶函数 ? b=0 闭区间上最值: 配方法、图象法、讨论法--注意对称轴与区间的位置关系 注:一次函数 f(x)=ax+b 奇函数 ? b=0

四、基本初等函数
1.指数式

a 0 ? 1 (a ? 0) a ? n ?

1 a m ? m an an

n

2.对数式

loga N ? b ? a b ? N (a>0,a≠1)

loga MN ? loga M ? loga N
log a M ? log a M ? log a N N

loga M n ? n loga M
loga b ? logm b lg b ? logm a lg a 1 logb a
loga a ? 1
a loga N ? N

loga b ? logan bn ?
注:性质 loga 1 ? 0

常用对数 lg N ? log10 N , lg 2 ? lg 5 ? 1

自然对数 ln N ? loge N , ln e ? 1 3.指数与对数函数 y=a 与 y=logax
x

定义域、值域、过定点、单调性? x 注:y=a 与 y=logax 图象关于 y=x 对称(互为反函数) 4.幂函数

y ? x 2 , y ? x3 , y ? x 2 , y ? x ?1

1

y ? x? 在第一象限图象如下:

五、函数图像与方程
1.描点法 函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调) 取特殊点如零点、最值点等 2.图象变换 平移: “左加右减,上正下负”

y ? f ( x) ? y ? f ( x ? h)
?? y ? f ( 伸缩: y ? f ( x) ?? ? ? ? ? ? ?
对称: “对称谁,谁不变,对称原点都要变”
x轴 y ? f ( x) ??? y ? ? f ( x) y轴 y ? f ( x) ??? y ? f (? x)
每一点的横坐标变为原 来的 ?倍

1

?

x)

y ? f ( x) ?原点 ? ?? y ? ? f (? x)
注: y ? f ( x)
直线 x ? a

?

y ? f (2a ? x)

翻折: y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | 保留 x 轴上方部分, 并将下方部分沿 x 轴翻折到上方

? ?1

0?? ?1

? ?0

y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

y ? f ( x) ? y ? f (| x |) 保留 y 轴右边部分,
并将右边部分沿 y 轴翻折到左边
y

y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

3.零点定理 若 f (a) f (b) ? 0 ,则 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内有零点 (条件: f ( x) 在 [ a, b] 上图象连续不间断) 注:① f ( x) 零点: f ( x) ? 0 的实根 ②在 [ a, b] 上连续的单调函数 f ( x) , f (a) f (b) ? 0 则 f ( x) 在 ( a, b) 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点--- f (a) f (b) ? 0 ?

六、三角函数
1.概念 第二象限角 ( 2k? ? 2.弧长

?
2

,2k? ? ? ) ( k ? Z )

l ? ? ?r
sin ? ? y r

扇形面积 S ?

1 lr 2

3.定义

cos ? ?

x r

tan ? ?

y x

其中 P ( x, y ) 是 ? 终边上一点, PO ? r 4.符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5.诱导公式: “奇变偶不变,符号看象限” 如 Sin(2? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? / 2 ? ? ) ? ? sin ? 6.特殊角的三角函数值

?
sin ?

0

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2
1

?
0

3? 2
?1

0

cos ?

1

3 2

0

?1

0

tg ? 7.基本公式

0

3 3

1

3

/

0

/

同角 sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?

和差 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

倍角 sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
降幂 cos α =
2

tan 2? ?

1 ? cos 2? 2

sin α =

2

叠加 sin ? ? cos ? ?

) 4 ? 3 sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) 6

2 sin(? ?

?

1 ? cos 2? 2

a a sin ? ? b cos? ? a2 ? b2 sin(? ? ?) (tan ? ? ) b
8.三角函数的图象性质

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图 象

单调性:

? ? (? , ) 增 2 2
sinx

(0, ? ) 减
cosx [-1,1] 偶函数 2π

? ? (? , ) 增 2 2
tanx 无 奇函数 π 无

值域 奇偶 周期 对称轴 中心 2π

[-1,1] 奇函数

x ? k? ? ? / 2

x ? k?

?k? ,0?

?? / 2 ? k? ,0?

?k? / 2,0?

注: k ? Z

9.解三角形 基本关系:sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 正弦定理:

sin

A? B C ? cos 2 2

a b c = = sin A sin B sin C

a ? 2 R sin A
2 2 2

a:b:c ? s i n A:s i n B:s i n C

余弦定理:a =b +c -2bccosA(求边) cosA= 面积公式:S△=
b2 ? c2 ? a2 (求角) 2bc

1 absinC 2
A ? B ? sin A ? sin B
a2>b2+c2 ? ∠A>

注: ?ABC 中,A+B+C=?

? 2

七、数 列
1、等差数列 定义: a n ?1 ? a n ? d 通项: a n ? a1 ? (n ? 1)d 求和: S n ? 中项: b ?

n(a1 ? a n ) 1 ? na1 ? n(n ? 1)d 2 2

a?c ( a, b, c 成等差) 2

性质:若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 2、等比数列 定义:
a n ?1 ? q ( q ? 0) an

通项: an ? a1qn ?1

? na1 (q ? 1) ? n 求和: S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? ? 1? q
中项: b ? ac ( a, b, c 成等比)
2

性质:若 m ? n ? p ? q

则 am ? an ? a p ? aq

3、数列通项与前 n 项和的关系
?s1 ? a1 (n ? 1) an ? ? ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

4、数列求和常用方法 公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法

八、平面向量

1.向量加减

三角形法则,平行四边形法则

AB ? BC ?

AC 首尾相接, OB ? OC = CB 共始点
a ? b ? cos? x x ? y y 1 2 = 1 2
0 0

中点公式: AB ? AC ? 2 AD ? D 是 BC 中点 2. 向量数量积

a?b=

注:① a, b 夹角:0 ≤θ ≤180 ② a, b 同向: a ? b ? a ? b

3.基本定理 a ? ?1e1 ? ?2 e2 ( e1 , e2 不共线--基底) 平行: a // b ? a ? ? b ? x1 y 2 ? x2 y1 ( b ? 0 ) 垂直: a?b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 模: a =

?

?

?

? ?

?

x2 ? y2

a ? b ? (a ? b)2 ? ?

2

夹角: cos ? ?

a ?b | a || b |

注:① 0 ∥ a

?

② a ? b ? c ? a ? b ? c (结合律)不成立

? ? ? ?

③ a ? b ? a ? c ? b ? c (消去律)不成立

九、复数与推理证明
1.复数概念 复数: z ? a ? bi (a,b ? R) ,实部 a、虚部 b 分类:实数( b ? 0 ) ,虚数( b ? 0 ) ,复数集 C 注: z 是纯虚数 ? a ? 0 , b ? 0 相等:实、虚部分别相等 共轭: z ? a ? bi 模: z ?

a2 ? b2

z?z ? z

2

复平面:复数 z 对应的点 ( a, b) 2.复数运算 加减: (a+bi)±(c+di)=? 乘法: (a+bi) (c+di)=? 除法:

a ? bi (a ? bi)(c ? di) = ==… c ? di (c ? di)(c ? di)
2

乘方: i ? ?1 , i ? i
n

4k ?r

? ir

3.合情推理 类比:特殊推出特殊 归纳:特殊推出一般 演绎:一般导出特殊(大前题→小前题→结论) 4.直接与间接证明 综合法:由因导果 比较法:作差—变形—判断—结论 反证法:反设—推理—矛盾—结论 分析法:执果索因 分析法书写格式: 要证 A 为真,只要证 B 为真,即证……, 这只要证 C 为真,而已知 C 为真,故 A 必为真 注:常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程 5.数学归纳法: (1) 验证 当 n=1 时命题成立 , (2) 假设 当 n=k(k ? N* , k ? 1) 时命题成立 , 证 明 当 n=k+1 时命题也成立 由 (1)(2) 知这命题对所有正整数 n 都成立 注:用数学归纳法证题时,两步缺一不可,归纳假设必须使用

十、直线与圆
1、倾斜角 范围 ?0, ? ?

斜率

k ? tan ? ?

y2 ? y1 x2 ? x1

注:直线向上方向与 x 轴正方向所成的最小正角 倾斜角为 90 ? 时,斜率不存在 2、直线方程 点斜式 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,斜截式 y ? kx ? b 两点式

y ? y1 x ? x1 ? , y 2 ? y1 x2 ? x1

截距式

x y ? ?1 a b

一般式 Ax ? By ? C ? 0 注意适用范围:①不含直线 x ? x0 ②不含垂直 x 轴的直线 ③不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系(注意条件) 平行 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 垂直 ? k1k2 ? ?1 4、距离公式 两点间距离:|AB|= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2 2

垂直 ? A 1A 2 ?B 1 B2 ? 0

点到直线距离: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

5、圆标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

圆心 ( a , b ) ,半径 r

圆一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 (条件是?) 圆心 ? ?

? D E? , ? ? 半径 r ? 2? ? 2

D2 ? E 2 ? 4F 2

6、直线与圆位置关系 位置关系 几何特征 代数特征 相切 相交 相离

d ?r
△? 0

d ?r
△? 0

d ?r
△? 0

注:点与圆位置关系 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 P ? x0 , y0 ? 在圆外 7、直线截圆所得弦长

AB ? 2 r 2 ? d 2

十一、圆锥曲线
一、定义 椭圆: |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 双曲线:|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|) 抛物线:与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质(如焦点在 x 轴) 椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a>b>0) a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

双曲线

中心原点 对称轴? 焦点 F1(c,0)、F2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b),双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a?x?a,-b?y?b 双曲线|x| ? a,y?R 焦距:椭圆 2c(c= a 2 ? b 2 ) 双曲线 2c(c= a 2 ? b 2 ) 2a、2b:椭圆长轴、短轴长, 双曲线实轴、虚轴长 离心率:e=c/a 椭圆 0<e<1,双曲线 e>1

x2 y2 b 注:双曲线 2 ? 2 ? 1 渐近线 y ? ? x a a b
方程 mx ? ny ? 1 表示椭圆 ? m ? 0, n ? 0.m ? n
2 2 2 2 方程 mx ? ny ? 1 表示双曲线 ? mn ? 0

抛物线 y =2px(p>0) 顶点(原点) 对称轴(x 轴) 开口(向右) 范围 x?0 离心率 e=1 焦点 F (

2

p ,0 ) 2

准线 x ? ?

p 2

十二、矩阵、行列式、算法初步

十、算法初步
一.程序框图 程序框 名称 起止框 输入、输出框 赋值、计算 起始和结束 输入和输出的信息 功能

处理框

判断框

判断某一条件是否成立

循环框

重复操作以及运算

二.基本算法语句及格式 1 输入语句:INPUT “提示内容” ;变量 2 输出语句:PRINT“提示内容” ;表达式 3 赋值语句:变量=表达式 4 条件语句 “IF—THEN—ELSE”语句 “IF—THEN”语句 IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 5 循环语句 当型循环语句 WHILE 条件 循环体 WEND 当型“先判断后循环” IF 条件 THEN 语句 END IF

直到型循环语句 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 直到型“先循环后判断”

三.算法案例 1、求两个数的最大公约数 辗转相除法:到达余数为 0 更相减损术:到达减数和差相等 2、多项式 f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 的求值 秦九韶算法: v1=anx+an-1 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 vn=vn-1x+a0 注:递推公式 v0=an vk=vk-1X+an-k(k=1,2,…n) 求 f(x)值,乘法、加法均最多 n 次 3、进位制间的转换 k 进制数转换为十进制数:

an an?1.....a1a0 (k ) ? an ? k n ? an?1 ? k n?1 ? .........? a1 ? k ? a0
十进制数转换成 k 进制数: “除 k 取余法” 例 1 辗转相除法求得 123 和 48 最大公约数为 3 5 4 3 2 例 2 已知 f(x)=2x -5x -4x +3x -6x+7,秦九韶算法求 f(5) 123=2×48+27 v0=2 48=1×27+21 v1=2×5-5=5 27=1×21+6 v2=5×5-4=21 21=3×6+3 v3=21×5+3=108 6=2×3+0 v4=108×5-6=534 v5=534×5+7=2677

十三、立体几何
1.三视图 正视图、侧视图、俯视图
0

2.直观图:斜二测画法 ?X 'O'Y ' =45 平行 X 轴的线段,保平行和长度 平行 Y 轴的线段,保平行,长度变原来一半 3.体积与侧面积 V 柱=S 底 h S 圆锥侧= ?rl 4.公理与推论 V锥=

1 S 底h 3

V 球=

4 3 πR 3
2

S 圆台侧= ? ( R ? r )l

S 球表= 4?R

确定一个平面的条件:

①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线

公理:平行于同一条直线的两条直线平行 定理:如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 5.两直线位置关系 相交、平行、异面 异面直线——不同在任何一个平面内 6.直线和平面位置关系

a ??
7.平行的判定与性质

a

??A

a // ?

线面平行:

a ∥ b , b ? ?, a ? ? ? a ∥? a ∥ ? ,a ? ? , ? ? ? ? b ? a ∥ b
面面平行:

?

a b

AB ∥ ? , AC ∥ ? ? 平面 ABC ∥

?

?

? ∥ ? , a ?? ? a ∥ ?
8.垂直的判定与性质 线面垂直:

p ? AB, p ? AC ? p ? 面ABC

面面垂直: a ? ? , a ? ? ? ? ? ? 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直; 若两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 三垂线定理:

P
O A

PO ? ? , AO ? a ? PA ? a PO ? ? , PA ? a ? AO ? a
在平面内的一条直线, 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那 条斜线垂直逆定理? 9.空间角、距离的计算 异面直线所成的角 范围(0°,90°] 平移法:转化到一个三角形中,用余弦定理 直线和平面所成的角 范围[0°,90°] 定义法:找直线在平面内射影,转为解三角形 二面角 范围[0°,180°] 定义法:作出二面角的平面角,转为解三角形 点到平面的距离 体积法--用三棱锥体积公式 注:计算过程, “一作二证三求” ,都要写出 10.立体几何中的向量解法 法向量求法:设平面 ABC 的法向量 n =(x,y)
a

?

么它也和这

? ? n ? AB, n ? AC ? ? n ? AB ? 0, n ? AC ? 0
解方程组,得一个法向量 n 线线角:设 n1 , n2 是异面直线 l1 , l2 的方向向量,

A

B

?

C

l1 , l2 所成的角为 ? ,则 cos ? ? cos ? n1 , n2 ?
即 l1 , l2 所成的角等于 ? n1 , n2 ? 或 ? ? ? n1, n2 ?

线面角: 设 n 是平面 ? 的法向量, AB 是平面 ? 的 一条斜线, AB 与平面 ? 所成的角为 ? , 则 sin ? ? cos ? n, AB ??

AB ? n AB ? n

二面角:设 n1 , n2 是面 ? , ? 的法向量,二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,则 cos? ? cos ? n1 , n2 ? 或 ? cos ? n1 , n2 ? 即二面角大小等于 ? n1 , n2 ? 或 ? ? ? n1, n2 ? 点到面距离: 若 n 是平面 ? 的法向量, AB 是平面 ? 的一条斜线段,且 B ? ? , 则点 A 到平面 ? 的距离 d ?

AB ? n n

十四、计数原理
1. 计数原理 2.排列组合 公式 加法分类,乘法分步 差异---排列有序 而组合无序 .. ..

m An = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) =

n! (n ? m)!

m Cn =

n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! = 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)!
m ? m! ? Cn n?m 1 Cn0 ? Cn ? Cn2 ? ? ? Cnn ? 2n

关系: An

m

性质: C n = Cn

m

3.排列组合应用题 原则:分类后分步,先选后排,先特殊后一般 解法:相邻问题“捆绑法” ,不相邻“插空法” 复杂问题“排除法” 4.二项式定理
1 n?1 (a ? b)n ? Cn0an ? Cn a b ? Cn2an?2b2 ? ?? Cnr an?r br ? ?? Cnnbn

特例 (1 ? x) ? 1 ? Cn x ?
n 1

r r ? Cn x ?

? xn

通项 Tr ?1 ? Cn a
r r

n?r

1 , 2?,n) b r (r ? 0,

注 Cn ---第 r ? 1 项二项式系数 性质:所有二项式系数和为 2
n

中间项二项式系数最大

赋值法:取 x ? 0,1,?1 等代入二项式

十五、概率与统计
1.古典概型: P ( A) ?

m A包含的基本事件个数 ( ) n 总的基本事件个数

求基本事件个数:列举法、图表法 2.几何概型: P ? A? ?

A的区域长度(面积或体 积) 区域总长度(面积或体 积)

注:试验出现的结果无限个 3.加法公式:若事件 A 和 B 互斥,则

P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ?

P ? A? ? 1 ? P A

? ?

互斥事件:不可能同时发生的事件 对立事件:不同时发生,但必有一个发生的事件 4 .常用抽样 (不放回) 简单随机抽样:逐个抽取(个数少) 系统抽样:总体均分,按规则抽取(个数多) 分层抽样:总体分成几层,各层按比例抽取(总体差异明显) 5.用样本估计总体 众数:出现次数最多的数据 中位数:按从小到大,处在中间的一个数据(或中间两个数的平均数) 平均数: x ?

1 n ? xi n i ?1

方差 S ?
2

1 n ? ( xi ? x) 标准差 s n i ?1

6.频率分布直方图 小长方形面积=组距×

频率 =频率 组距

各小长方形面积之和为 1 众数—最高矩形中点的横坐标 中位数—垂直于 x 轴且平分直方图面积的直线与 x 轴交点的横坐标 茎叶图:由茎叶图可得到所有的数据信息如 众数、中位数、平均数等


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