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常用逻辑用语和椭圆习题


1. 已知 p : x ? 2, q : x ? a ,分别求满足下列条件的实数 a 的取值范围 (1)p 是 q 的充分条件 (2)p 是 q 的必要条件

2. 已知p : ?2 ? x ? 10, q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0?m ? 0?, 若?p是?q的充分不必要条件, 求实数 m 的取值范围

3.已知 p : x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, 若 - a ? x ? 1 ? a 是 p 的一个必要不充分条件,求使 a>b 恒成立的实数 b 的取值范围

4. 已 知 c>0, 设 命 题 p : 指 数 函 数 y ? c x 为 减 函 数 , 命 题 q:
1 1 ?1 ? 当x ? ? ,2?时,不等式x ? ? 恒成立,如果 p ? q为真命题,p ? q为假命题 , 求 x c ?2 ?

c 的取值范围

2 5. 已 知 命 题 p : ?x ? R, x 2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0成立,命题 q : ?x0 ? R, ax0 ? 2ax0 ? 3 ? 0

不成立,若 p 假且 q 真,求实数 a 的取值范围

6.已知 A, B 分别是直线 y ?

3 3 线段 AB 的长为 2 3 , x和y ? ? x上的两个动点, 3 3

P 是 AB 的中点,求动点 P 的轨迹 C 的方程

7.在边长为 1 的正方形 ABCD 中, 边 AB,BC 上分别有一个动点 Q,R, 且|BQ|=|CR|, 求直线 AR 与 DQ 的交点 P 的轨迹方程

选择题 1.若一个椭圆的长轴、短轴和焦距成等差数列,则该椭圆离心率是( 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 2.过椭圆



x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦 a2 b2

点,若 ?F1 PF2 ? 600 ,则椭圆的离心率为( A.
2 2



B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴与短轴的和为 18,一个焦点的坐标是(3,0) , 则椭圆的标准方程为( ) A.
x2 y2 ? ?1 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 25 16

C.

x2 y2 ? ?1 16 25

D.

x2 y2 ? ?1 16 9

4.已知直线 l 过点(3,-1) ,且椭圆 C: 的个数为( ) A.1 个 B.1 个或 2 个

x2 y2 ? ? 1 ,则直线 l 与椭圆 C 的公共点 25 36

C.2 个

D.0 个 )

x2 y2 ? 1 有两个公共点,则 m 的取值范围为( 5.直线 y=x+2 与椭圆 2 ? 3 m

A.m>1

B.m>1 且 m ? 3

C.m>3

D. m>0 且 m ? 3

6.若 AB 为过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的中心的弦, F1 为椭圆的左焦点,则 ?F1 AB 面积的 25 16

最大值为( ) A.6 B.12 C.24

D.36

7. 直 线 y=1-x 交 椭 圆 mx2 ? ny2 ? 1于M , N两点,MN 的 中 点 为 P , 若
k OP ? 2 ?O为原点?,则 m 等于( n 2 2 2



A.

B.

2

C. -

2 2

D.- 2

8.已知椭圆的一个焦点为 F,若椭圆上存在点 P,满足以椭圆短轴为直径的圆与 线段 PF 相切于线段 PF 的中点,则该椭圆的离心率为( ) A.
5 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

5 9

填空题
2 1. 短轴长为 5 ,离心率 e= 的椭圆的两焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 3

A,B 两点,则 ?ABF2 的周长为
x2 y2 2 2. 椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 , 若直线 y=kx 与其一个交点的横坐 2 a b

标为 b,则 k 的值为 3. 过椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 内的一点 P(2,-1)的弦 AB,满足 OP ? OA ? OB ,则这条 6 5 2

?

?

弦所在的直线的方程是 4. 椭圆 x 2 ? my2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 5. 椭圆的焦点在 y 轴上, 一个焦点到长轴的两端点距离之比是 1:4, 短轴长为 8, 则椭圆的标准方程为 6. 若点 O 和点 F 分别为椭圆
x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意 4 3

一点,则 OP ? FP 的最大值为 解答题 1. 已知椭圆 C 的焦点 F1 (-2 2 ,0) , F2 (2 2 ,0) ,长轴长为 6,设直线 l 交
? 9 1? 椭圆 C 于 A,B 两点,且线段 AB 的中点坐标是 P? ? , ? ,求直线 l 的方程 ? 10 10 ?

2. 已知椭圆的两焦点为 F1 (- 3 ,0) , F2 ( 3 ,0) ,离心率 e=

3 2

(1) 求此椭圆的方程 (2) 设直线 l:y=x+m,若 l 与此椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值

3. 已知 F1 ,F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左右焦点,A 是椭圆上位于第一象 a2 b2
2 ,?AOF2 的面积为 2 2 2

限内的一点, 若 AF2 ? F1 F2 ? 0 ,椭圆的离心率等于 (O 为坐标原点) ,求椭圆的方程

4.设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐 a2 b2

标原点. (1)求椭圆 E 的方程;
8 (2) 若直线 y=kx+4 (k>0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 相切, 并且与椭圆 E 相交于 A,B 两点, 3

求证: OA ? OB

5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴长 为 2,离心率为
2 . 2

(1)求椭圆 C 的方程. (2) A,B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为
6 的任意两点, E 为线段 AB 的中点, 4

射线 OE 交椭圆 C 于点 P,设 OP ? t OE ,求实数 t 的值.


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