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湖北省八校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


湖北省八校联考 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知复数 z1=2+ai(a∈R) ,z2=1﹣2i,若 A. B. C. 2 为纯虚数,则|z1|=() D.

2. (5 分)如图给出的是计算

是()

的值的程序框图,其中判断框内应填入的

A.i≤2013

B.i≤2015

C.i≤2017

D.i≤2019

3. (5 分)设 a= 系数是() A.﹣192

dx,则二项式(a



) 展开式中含 x 项的

6

2

B.193

C.﹣6

D.7

4. (5 分)棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是()

A.

B. 4

C.

D.3

5. (5 分)“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既非充分条件也非必要条件

6. (5 分)已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn,则下列一定成立的是() A.若 a3>0,则 a2013<0 B. 若 a4>0,则 a2014<0 C. 若 a3>0,则 S2013>0 D.若 a4>0,则 S2014>0 7. (5 分)用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数,定义|A﹣ B|= . 若 A={1, 2}, B={x||x +2x﹣3|=a, 且|A﹣B|=1,
2

由 a 的所有可能值构成的集合为 S,那么 C(S)等于() A.1 B. 2 C. 3
2

D.4
2 2

8. (5 分)已知 x,y,z∈R,且 x﹣2y+2z=5,则(x+5) +(y﹣1) +(z+3) 的最小值是 () A.20 B.25 C.36 D.47 9. (5 分) 已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ, 点 R 在直线 PQ 上, 且满足 R 在抛物线准线上的射影为 S,设 α,β 是△ PQS 中的两个锐角,则下列四个式子 ①tanαtanβ=1;②sinα+sinβ≤ 中一定正确的有() A.1 个 B. 2 个 ;③cosα+cosβ>1;④|tan(α﹣β)|>tan ,

C. 3 个

D.4 个

10. (5 分)设定义在 D 上的函数 y=h(x)在点 P(x0,h(x0) )处的切线方程为 l:y=g(x) , 当 x≠x0 时,若
2

>0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y=h(x)的“类对称点”,

则 f(x)=x ﹣6x+4lnx 的“类对称点”的横坐标是() A.1 B. C. e

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上, 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分. (一) 必考题 (11-14 题) 11. (5 分)随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小 于 1 的概率是.

12. (5 分)已知直线 l:x=my+n(n>0)过点

,若可行域



外接圆直径为 20,则 n=.

13. (5 分)已知函数 f(x)= 封闭图形绕 x 轴旋转一周,则所得旋转体的体积为.

,将 f(x)的图象与 x 轴围成的

14. (5 分)以(0,m)间的整数(m>1,m∈N)为分子,以 m 为分母组成分数集合 A1, 2 2 其所有元素和为 a1;以(0,m )间的整数(m>1,m∈N)为分子,以 m 为分母组成不属 n 于集合 A1 的分数集合 A2,其所有元素和为 a2;…,依此类推以(0,m )间的整数(m>1, n m∈N)为分子,以 m 为分母组成不属于 A1,A2,…,An﹣1 的分数集合 An,其所有元素和 为 an;则 (1)a1=; (2)a1+a2+…+an=.

三、 【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,每小题 3 分,满分 3 分) 15. (3 分)如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一点,过 C 的直线交直线 AB 于 E,交 过 A 点的切线于 D,BC∥OD.若 AD=AB=2,则 EB=.

四、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 2 16.在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ρ ﹣2ρ(cosθ﹣2sinθ)+4=0,以极点为原点,极 轴方向为 x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 (t 为参数) .设点 P 为曲线 C2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,则这 两条切线所成角余弦的最小值是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.上的 最大值,求 t 的取值范围; x (Ⅲ)若 f(x)≤xe ﹣m+2(e 为自然对数的底数)对任意 x∈=2,

∴二项式(a
﹣r



) =(2

6



) ,它的展开式的通项公式为 Tr+1=

6

?(﹣1) ?2

r

6

?x

3﹣r

, ﹣ ) 展开式中含 x 项的系数是﹣
6 2

令 3﹣r=2,可得 r=1,故二项式(a

?2 =﹣192,

5

故选:A. 点评: 题主要考查定积分的运算法则和二项式定理的应用,属于基础题. 4. (5 分)棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是()

A.

B. 4

C.

D.3

考点: 专题: 分析: 积. 解答:

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 由三视图知几何体是正方体的一半,已知正方体的棱长为 2,由此可得几何体的体 解:由三视图知:余下的几何体如图示:

∵E、F 都是侧棱的中点, ∴上、下两部分的体积相等, ∴几何体的体积 V= ×2 =4. 故选 B. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状是解答此类问题的关键. 5. (5 分)“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件
3

B. 必要不充分条件 D.既非充分条件也非必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义,分别证明其充分性和必要性,从而得到答案. 解答: 解:a≠5 且 b≠﹣5 推不出 a+b≠0,例如:a=2,b=﹣2 时 a+b=0, a+b≠0 推不出 a≠5 且 b≠﹣5,例如:a=5,b=﹣6, 故“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件, 故选:D. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了不等式问题,是一道基础题. 6. (5 分)已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn,则下列一定成立的是() A.若 a3>0,则 a2013<0 B. 若 a4>0,则 a2014<0 C. 若 a3>0,则 S2013>0 D.若 a4>0,则 S2014>0 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 对于选项 A,B,D 可通过 q=﹣1 的等比数列排除,对于选项 C,可分公比 q>0, q<0 来证明即可得答案. 解答: 解:对于选项 A,可列举公比 q=﹣1 的等比数列 1,﹣1,1,﹣1,…,显然满足 a3>0,但 a2013=1>0,故错误; 对于选项 B,可列举公比 q=﹣1 的等比数列﹣1,1,﹣1,1…,显然满足 a4>0,但 a2014=1, 故错误; 对于选项 D,可列举公比 q=﹣1 的等比数列﹣1,1,﹣1,1…,显然满足 a4>0,但 S2014=0, 故错误; 对于选项 C,因为 a3=a1?q > 0,所以 a1>0. 2013 当公比 q>0 时,任意 an>0,故有 S2013>0;当公比 q<0 时,q <0,故 1﹣q>0,1﹣ 2013 q >0, 仍然有 S2013 = >0,故 C 正确,
2

故选:C. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质, 通过给变量取特殊值, 举反例来说明某个命 题不正确,是一种简单有效的方法,属于中档题. 7. (5 分)用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数,定义|A﹣ B|= . 若 A={1, 2}, B={x||x +2x﹣3|=a, 且|A﹣B|=1,
2

由 a 的所有可能值构成的集合为 S,那么 C(S)等于() A.1 B. 2 C. 3 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 集合.

D.4

分析: 先根据已知条件可判断出 B 含 3 个元素,所以方程|x +2x﹣3|=a 有三个实根,进一 2 步判断出方程 x +2x﹣3+a=0 有两个二重根,所以根据△ =0 即可求得 a 的值,从而求出集合 S,这样便可判断出集合 S 所含元素的个数. 2 2 解答: 解:由|x +2x﹣3|=a 得:x +2x﹣3±a=0,a≥0; 2 2 对于 x +2x﹣3﹣a=0,△ =4+4(3+a)>0,∴方程 x +2x﹣3±a=0 至少有两个实数根,即集 合 B 至少含 2 个元素; ∵|A﹣B|=1,∴B 含 3 个元素; ∴方程 x +2x﹣3+a=0 有二重根,∴△=4﹣4(﹣3+a)=0,∴a=4; ∴S={4},∴C(S)=1. 故选 A. 点评: 考查元素与集合的概念, 描述法表示集合, 一元二次方程的实数根的情况和判别式 △ 的关系. 8. (5 分)已知 x,y,z∈R,且 x﹣2y+2z=5,则(x+5) +(y﹣1) +(z+3) 的最小值是 () A.20 B.25 C.36 D.47 考点: 柯西不等式在函数极值中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接利用柯西不等式求解即可. 解答: 解:由于≥ =324,
2 2 2 2 2 2

2

则(x+5) +(y﹣1) +(z+3) (当且仅当

2

2

,即

时取等号.

故选:C. 点评: 本题考查柯西不等式的应用,基本知识的考查.

9. (5 分) 已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ, 点 R 在直线 PQ 上, 且满足 R 在抛物线准线上的射影为 S,设 α,β 是△ PQS 中的两个锐角,则下列四个式子 ①tanαtanβ=1;②sinα+sinβ≤ 中一定正确的有() A.1 个 B. 2 个 ;③cosα+cosβ>1;④|tan(α﹣β)|>tan



C. 3 个

D.4 个

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 由已知中抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ,点 R 在直线 PQ 上,且满足 ,R 在抛物线准线上的射影为 S,设 α,β 是△ PQS 中的两个锐角,可得

△ PQS 是直角三角形,则 进而得到答案. 解答: 解:∵ ∴△PQS 是直角三角形,则 当 PQ 垂直对称轴时

,进而可得①②③正确;举出反倒可判断④错误,

,R 在抛物线准线上的射影为 S, ,故①②③都对, ,

故一定正确的命题有 3 个, 故选 C 点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了抛物线的几何性质,三角函数的图象和性质, 难度不大,属于基础题. 10. (5 分)设定义在 D 上的函数 y=h(x)在点 P(x0,h(x0 ) )处的切线方程为 l:y=g(x) , 当 x≠x0 时,若
2

>0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y=h(x)的“类对称点”,

则 f(x)=x ﹣6x+4lnx 的“类对称点”的横坐标是() A.1 B. C. e 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;新定义;导数的概念及应用;导数的综合应用.

D.

分析: 函数 y=H(x)在其图象上一点 P(x0,f(x0) )处的切线方程为 y=g(x)=(2x0+ ﹣6) (x﹣x0)++x02﹣6x0+4lnx0.由此能推导出 y=h(x)存在“类对称点”, 对称点”的横坐标. 解答: 解:函数 y=h(x)在其图象上一点 P(x0,h(x0) )处的切线方程为: y=g(x)= (2x0+ ﹣ 6) (x﹣x0)+x0 ﹣6x0+4lnx0,
2 2

是一个“类

设 m(x)=h(x)﹣g(x)=x ﹣6x+4lnx﹣(2x0+ 则 m(x0)=0. m′(x)=2x+ ﹣6﹣(2x0+ 若 x0< ,m(x)在( x0, ﹣6)=2(x﹣x0) (1﹣ )上单调递减,

﹣6) (x﹣x0)﹣x0 +6x0﹣4lnx0,

2

)= (x﹣x0) (x﹣



∴当 x∈(x0, 若 x0 ∴当 x∈(

)时,m(x)<m(x0)=0,此时 ,x0)上单调递减,

<0;

,φ(x)在(

,x0)时,m(x)>m(x0)=0,此时

<0;

∴y=h(x)在(0, 若 x0= , (x﹣

)∪( ) >0,
2

,+∞)上不存在“类对称点”.

∴m(x)在(0,+∞)上是增函数, 当 x>x0 时,m(x)>m(x0)=0, 当 x<x0 时,m(x)<m(x0)=0,故 >0.

即此时点 P 是 y=f(x)的“类对称点” 综上,y=h(x)存在“类对称点”, 是一个“类对称点”的横坐标. 故选 B. 点评: 本题考查函数的单调增区间的求法, 探索满足函数在一定零点下的参数的求法, 探 索函数是否存在“类对称点”.解题时要认真审题,注意分类讨论思想和等价转化思想的合理 运用,此题是难题. 二、填空题:本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上, 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分. (一) 必考题 (11-14 题) 11. (5 分)随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小 于 1 的概率是 .

考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型. 计算题;作图题;概率与统计. 本题符合几何概型,由题意作图,求面积比即可. 解:本题符合几何概型,由题意作图如下,

则点 P 应落在黑色阴影部分,

S△ = ×6×

=12,

三个小扇形可合并成一个半圆,故其面积 S= π,

故点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率 P= 故答案为: .

=



点评: 本题考查了几何概型概率的求法, 属于基础题.

12. (5 分)已知直线 l:x=my+n(n>0)过点

,若可行域



外接圆直径为 20,则 n=10 考点: 专题: 分析: 解答:



简单线性规划;圆的标准方程. 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 2 由题意作出其平面区域,则(5 ﹣n) +25=100,从而求 n. 解:由题意作出其平面区域,

由题意可得, (5 ﹣n) +25=100, 解得,n=10 . 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.

2

13. (5 分)已知函数 f(x)=

,将 f(x)的图象与 x 轴围成的

封闭图形绕 x 轴旋转一周,则所得旋转体的体积为



考点: 球的体积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 判断旋转体的特征,求出相关数据,利用几何体的体积公式求解即可. 解答: 解:将 f(x)的图象与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周,所得旋转体为一个 圆锥和一个半个球的组合体, 其中球的半径为 2,棱锥的底面半径为 2,高为 1, 所以所得旋转体的体积为= 故答案为: 点评: 本题考查旋转体的结构特征, 几何体的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能 力. 14. (5 分)以(0,m)间的整数(m>1,m∈N)为分子,以 m 为分母组成分数集合 A1, 2 2 其所有元素和为 a1;以(0,m )间的整数(m>1,m∈N)为分子,以 m 为分母组成不属 n 于集合 A1 的分数集合 A2,其所有元素和为 a2;…,依此类推以(0,m )间的整数(m>1, n m∈N)为分子,以 m 为分母组成不属于 A1,A2,…,An﹣1 的分数集合 An,其所有元素和 为 an;则 (1)a1= + +…+ ; .

(2)a1+a2+…+an=



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意写出即可; (2)写出 a2,a3 总结规律即可得出结论. 解答: 解: (1)由题意得 a1= + +…+ ,

(2)又 a2=

+

+…+

+

+ …+

+

+…+

=

+

+…+

﹣( + +…+

)=

+

+…+

﹣a1,

a3=

+

+…+

﹣a1﹣a2,

an=

+

+…+

﹣a1﹣a2﹣…﹣an﹣1,

∴a1+a2+…+an=

+

+…+

=

(1+2+…+m ﹣1)=

n



故答案为(1) + +…+

, (2)



点评: 本题考查学生新概念题的阅读能力及归纳思想的运用能力, 考查学生分析问题, 解 决问题的能力,属中档题. 三、 【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,每小题 3 分,满分 3 分) 15. (3 分)如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一点,过 C 的直线交直线 AB 于 E,交 过 A 点的切线于 D,BC∥OD.若 AD=AB=2,则 EB= .

考点: 与圆有关的比例线段;相似三角形的判定. 专题: 立体几何. 分析: 连接 OC,证明△ AOD≌△COD,设 EB=x,通过 ,列出方程求出 x 即可.

解答: 解:连接 OC 则∠DOA=∠CBO=∠BCO=∠COD 则△ AOD≌△COD, 则 OC⊥CD,则 CD 是半圆 O 的切, 设 EB=x,由 BC∥OD 得,△ EBC∽△EDO ∴ ,
2

则 EC=2x,则(2x) =x?(x+2) , 则 .

故答案为: .

点评: 本题考查三角形的全等与相似,考查逻辑推理能力. 四、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 2 16.在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ρ ﹣2ρ(cosθ﹣2sinθ)+4=0,以极点为原点,极 轴方向为 x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为

(t 为参数) .设点 P 为曲线 C2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,则这

两条切线所成角余弦的最小值是 .

考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题;直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 运用代入法化简可得曲线 C2 的普通方程,由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,可化 简曲线 C1 的方程,求出圆心到直线的距离,设两条切线所成角为 2α,考虑当 P 为圆心到直 线的垂线的垂足时,两条切线所成角最大.求出 sinα,再由二倍角的余弦公式,即可得到. 解答: 解:曲线 C1 的直角坐标方程为:x +y ﹣2x+4y+4=0,即(x﹣1) +(y+2) =1, 圆心为(1,﹣2) ,半径为 1. 曲线 C2 的普通方程为:3x+4y﹣15=0, 圆心到直线的距离为:d= =4.
2 2 2 2

设两条切线所成角为 2α, 当 P 为圆心到直线的垂线的垂足时,两条切线所成角最大. 则 sin ,
2

则这两条切线所成角余弦的最小值是 cos2α=1﹣2sin α =1﹣2×( ) = . 故答案为: . 点评: 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化,考查直线和圆相切的条件,考 查点到直线的距离公式和二倍角的余弦公式,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.展开 即可求出 cosB 的值,从而可求出 sinB,由正弦定理即可求出 a:b:c 的值; (Ⅱ)由正弦定理和已知可求出 a,b,c 的值,即可求出△ ABC 的面积. 解答: 解: ( I )依题设:sinA= = = ,
2

sinC=

=

=



故 cosB=cos =﹣cos (A+C) =﹣(cosAcosC+sinAsinC) =﹣( = . ﹣ )

故 sinB=

=

=



从而有:sinA:sinB:sinC=





=4:5:6

再由正弦定理易得:a:b:c=4:5:6. ( II ) 由( I )知:不妨设:a=4k,b=5k,c=6k,k>0.故知:| 依题设知:| | +|
2

|=b=5k,|

|=a=4k.

| +2|

2

||

|cosC=46?46k =46,又 k>0?k=1.

2

故△ ABC 的三条边长依次为:a=4,b=5,c=6. 故有 S△ ABC= absinC= = .

点评: 本题主要考察了两角和与差的余弦函数, 同角三角函数间的基本关系, 正弦定理余 弦定理的综合应用,考察学生的计算能力,属于基础题. 18. (12 分)有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编 码规则如下表, 明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位, 第二排取 的字符放在第二位, 第三排取的字符放在第三位, 对应的密码由明文对应的数字按相同次序 排列组成. 第一排 明文字符 A B C D 密码字符 11 12 13 14 第 二排 明文字符 E F G H 密码字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密码字符 1 2 3 4 设随机变量 ξ 表示密码中不同数字的个数, (Ⅰ)求 P(ξ=2) ; (Ⅱ)求 ξ 的概率分布列和它的数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (Ⅰ) 密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字, 注意到密码的第 1,2 列分别总是 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码,由此可求 P(ξ=2) ; (Ⅱ)取得 ξ 的取值,分别求出相应的概率,即可得到 ξ 的概率分布列和它的数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,注意到密码 的第 1, 2 列分别总是 1, 2, 即只能取表格第 1, 2 列中的数字作为密码, 所以 P (ξ=2) = = ;

(Ⅱ)由题意可知,ξ 的取值为 2,3,4 三种情形. 若 ξ=3, 注意表格的第一排总含有数字 1, 第二排总含有数字 2 则密码中只可能取数字 1, 2, 3 或 1,2,4. ∴P(ξ=3)= =

P(ξ=4)=1﹣P(ξ=2)﹣P(ξ=3)= ∴ξ 的分布列为: ξ2 3 4 p ∴Eξ=2× +3× +4× = .

点评: 本题考查概率的求解, 考查离散型随机变量的分布列与数学期望, 确定变量的取值, 求出相应的概率是关键. 19. (12 分)如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称,∠A=60°,∠C= 90°,CD=2,把△ ABD 沿 BD 折起(如图 2) ,使二面角 A﹣BD﹣C 为直二面角.如图 2, (Ⅰ)求 AD 与平面 ABC 所成的角的余弦值; (Ⅱ)求二面角 B﹣AC﹣D 的大小的正弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)以 BD 的中点 O 为原点,OC 所在的直线为 x 轴,OD 所在的直线为 y 轴, OA 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系,求出面 ABC 的法向量,利用向量的夹角公式 求 AD 与平面 ABC 所成的角的余弦值; (Ⅱ)求得面 ACD 的法向量,利用向量的夹角公式求二面角 B﹣AC﹣D 的大小的正弦值. 解答: 解:如图所示,以 BD 的中点 O 为原点,OC 所在的直线为 x 轴,OD 所在的直线 为 y 轴,OA 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则 O(0,0,0) ,D(0, ,0) ,B (0,﹣ ,0) ,C( ,0,0) ,A(0,0, ) (Ⅰ)设面 ABC 的法向量为 ∵ ∴由 =(0,﹣ ,﹣ ,可得 ) , =( , , , ,0)

取 z=1 有 =( ∵

,﹣

,1) ,



, .…(6 分) ,则 .…(12 分)

∴AD 与面 ABC 所成角的余弦值是 (Ⅱ)同理求得面 ACD 的法向量为 则二面角 B﹣AC﹣D 的正弦值为

点评: 本题考查二面角、线面角的求法,考查用向量解决立体几何问题的方法能力,考查 数形结合、空间想象能力,属于中档题. 20. (12 分)已知等比数列{an}的公比 q>1,前 n 项和为 Sn,S3=7,a1+3,3a2,a3+4 成等 * 差数列,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,6Tn=(3n+1)bn+2,其中 n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)设 A={a1,a2,…,a10},B={b1,b2,…,b40},C=A∪B,求集合 C 中所有元素之和. 考点: 等比数列的通项公式;集合的相等;并集及其运算;等差数列的通项公式;等比数 列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式即可得出; (2)利用“n=1 时 b1=T1;n≥2 时,bn=Tn﹣Tn﹣1”和“累乘求积”即可得出. (3)利用等差数列和等比数列的前 n 项和公式可得 S10,T10,又 A 与 B 的公共元素为 1, 4,16,64,其和为 85.即可得出集合 C 中所有元素之和. 解答: 解: (1)∵S3=7,∴a1+a2+a3=7, ∵a1+3,3a2,a3+4 成等差数列,∴6a2=a1+3+a3+4, 联立可得 ,解得 .




*

(2)∵6Tn=(3n+1)bn+2,其中 n∈N .当 n≥2 时,6Tn﹣1=(3n﹣2)bn﹣1+2,b1=1. ∴6bn=(3n+1)bn﹣(3 n﹣2)bn﹣1, 化为 .

∴bn= =



?

?…?

=3n﹣2.

(3)





∵A 与 B 的公共元素为 1,4,16,64,其和为 85. ∴C=A∪B,集合 C 中所有元素之和为 1023+2380﹣85=3318. 点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式、利用“n=1 时 b1=T1; n≥2 时,bn=Tn﹣Tn﹣1”、“累乘求积”、集合运算等基础知识与基本技能方法,属于难题.

21. (13 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

=1(a>b>0)的离心率为

, .

过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时,|AB|+|CD|=3 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求由 A,B,C,D 四点构成的四边形的面积的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用椭圆的离心率,以及,|AB|+|CD|=3 .求出 a、b,即可求椭圆的方程; (Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在,直接求出面积. ②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,且设直线 AB 的方程为 y=k (x﹣1) ,与椭圆方程联立,利用韦达定理以及弦长公式,求出 AB,CD 即可求解面积的表 达式,通过基本不等式求出面积的最值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知, ∴ 所以 c=1.所以椭圆的方程为 ,则 , . ,

(Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在,

由题意知



②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 且设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) , 则直线 CD 的方程为 .
2 2 2 2

将直线 AB 的方程代入椭圆方程 中,并整理得(1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0, 所以 .

同理,



所以 =



∵ ∴ 综合①与②可知,

当且仅当 k=±1 时取等号

点评: 本题考查椭圆方程的求法, 直线与椭圆的位置关系的应用, 弦长公式的求法以及基 本不等式的应用,是综合性比较强的题目.
3

22. (14 分)已知 t>0,设函数 f(x)=x ﹣

+3tx+1.

(Ⅰ)若 f(x)在(0,2)上无极值,求 t 的值; (Ⅱ)若存在 x0∈(0,2) ,使得 f(x0)是 f(x)在上的最大值,求 t 的取值范围; x (Ⅲ)若 f(x)≤xe ﹣m+2(e 为自然对数的底数)对任意 x∈上的最大值. x (Ⅲ)若 f(x)≤xe ﹣m+2(e 为自然对数的底数)对任意 x∈. 点评: 本题考查导数的运用:求单调区间和求极值、最值,考查分类讨论的思想方法,考 查运算能力,属于中档题和易错题.


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