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湖北省八校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


湖北省八校联考 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知复数 z1=2+ai(a∈R) ,z2=1﹣2i,若 A. B. C. 2 为纯虚数,则|z1|=() D.

2. (5 分)如图给出的是计算

是()

的值的程序框图,其中判断框内应填入的

A.i≤2013

B.i≤2015

C.i≤2017

D.i≤2019

3. (5 分)设 a= 系数是() A.﹣192

dx,则二项式(a



) 展开式中含 x 项的

6

2

B.193

C.﹣6

D.7

4. (5 分)棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是()

A.

B. 4

C.

D.3

5. (5 分)“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既非充分条件也非必要条件

6. (5 分)已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn,则下列一定成立的是() A.若 a3>0,则 a2013<0 B. 若 a4>0,则 a2014<0 C. 若 a3>0,则 S2013>0 D.若 a4>0,则 S2014>0 7. (5 分)用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数,定义|A﹣ B|= . 若 A={1, 2}, B={x||x +2x﹣3|=a, 且|A﹣B|=1,
2

由 a 的所有可能值构成的集合为 S,那么 C(S)等于() A.1 B. 2 C. 3
2

D.4
2 2

8. (5 分)已知 x,y,z∈R,且 x﹣2y+2z=5,则(x+5) +(y﹣1) +(z+3) 的最小值是 () A.20 B.25 C.36 D.47 9. (5 分) 已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ, 点 R 在直线 PQ 上, 且满足 R 在抛物线准线上的射影为 S,设 α,β 是△ PQS 中的两个锐角,则下列四个式子 ①tanαtanβ=1;②sinα+sinβ≤ 中一定正确的有() A.1 个 B. 2 个 ;③cosα+cosβ>1;④|tan(α﹣β)|>tan ,

C. 3 个

D.4 个

10. (5 分)设定义在 D 上的函数 y=h(x)在点 P(x0,h(x0) )处的切线方程为 l:y=g(x) , 当 x≠x0 时,若
2

>0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y=h(x)的“类对称点”,

则 f(x)=x ﹣6x+4lnx 的“类对称点”的横坐标是() A.1 B. C. e

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上, 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分. (一) 必考题 (11-14 题) 11. (5 分)随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小 于 1 的概率是.

12. (5 分)已知直线 l:x=my+n(n>0)过点

,若可行域



外接圆直径为 20,则 n=.

13. (5 分)已知函数 f(x)= 封闭图形绕 x 轴旋转一周,则所得旋转体的体积为.

,将 f(x)的图象与 x 轴围成的

14. (5 分)以(0,m)间的整数(m>1,m∈N)为分子,以 m 为分母组成分数集合 A1, 2 2 其所有元素和为 a1;以(0,m )间的整数(m>1,m∈N)为分子,以 m 为分母组成不属 n 于集合 A1 的分数集合 A2,其所有元素和为 a2;…,依此类推以(0,m )间的整数(m>1, n m∈N)为分子,以 m 为分母组成不属于 A1,A2,…,An﹣1 的分数集合 An,其所有元素和 为 an;则 (1)a1=; (2)a1+a2+…+an=.

三、 【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,每小题 3 分,满分 3 分) 15. (3 分)如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一点,过 C 的直线交直线 AB 于 E,交 过 A 点的切线于 D,BC∥OD.若 AD=AB=2,则 EB=.

四、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 2 16.在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ρ ﹣2ρ(cosθ﹣2sinθ)+4=0,以极点为原点,极 轴方向为 x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 (t 为参数) .设点 P 为曲线 C2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,则这 两条切线所成角余弦的最小值是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.上的 最大值,求 t 的取值范围; x (Ⅲ)若 f(x)≤xe ﹣m+2(e 为自然对数的底数)对任意 x∈=2,

∴二项式(a
﹣r



) =(2

6



) ,它的展开式的通项公式为 Tr+1=

6

?(﹣1) ?2

r

6

?x

3﹣r

, ﹣ ) 展开式中含 x 项的系数是﹣
6 2

令 3﹣r=2,可得 r=1,故二项式(a

?2 =﹣192,

5

故选:A. 点评: 题主要考查定积分的运算法则和二项式定理的应用,属于基础题. 4. (5 分)棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是()

A.

B. 4

C.

D.3

考点: 专题: 分析: 积. 解答:

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 由三视图知几何体是正方体的一半,已知正方体的棱长为 2,由此可得几何体的体 解:由三视图知:余下的几何体如图示:

∵E、F 都是侧棱的中点, ∴上、下两部分的体积相等, ∴几何体的体积 V= ×2 =4. 故选 B. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状是解答此类问题的关键. 5. (5 分)“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件
3

B. 必要不充分条件 D.既非充分条件也非必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义,分别证明其充分性和必要性,从而得到答案. 解答: 解:a≠5 且 b≠﹣5 推不出 a+b≠0,例如:a=2,b=﹣2 时 a+b=0, a+b≠0 推不出 a≠5 且 b≠﹣5,例如:a=5,b=﹣6, 故“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件, 故选:D. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了不等式问题,是一道基础题. 6. (5 分)已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn,则下列一定成立的是() A.若 a3>0,则 a2013<0 B. 若 a4>0,则 a2014<0 C. 若 a3>0,则 S2013>0 D.若 a4>0,则 S2014>0 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 对于选项 A,B,D 可通过 q=﹣1 的等比数列排除,对于选项 C,可分公比 q>0, q<0 来证明即可得答案. 解答: 解:对于选项 A,可列举公比 q=﹣1 的等比数列 1,﹣1,1,﹣1,…,显然满足 a3>0,但 a2013=1>0,故错误; 对于选项 B,可列举公比 q=﹣1 的等比数列﹣1,1,﹣1,1…,显然满足 a4>0,但 a2014=1, 故错误; 对于选项 D,可列举公比 q=﹣1 的等比数列﹣1,1,﹣1,1…,显然满足 a4>0,但 S2014=0, 故错误; 对于选项 C,因为 a3=a1?q > 0,所以 a1>0. 2013 当公比 q>0 时,任意 an>0,故有 S2013>0;当公比 q<0 时,q <0,故 1﹣q>0,1﹣ 2013 q >0, 仍然有 S2013 = >0,故 C 正确,
2

故选:C. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质, 通过给变量取特殊值, 举反例来说明某个命 题不正确,是一种简单有效的方法,属于中档题. 7. (5 分)用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数,定义|A﹣ B|= . 若 A={1, 2}, B={x||x +2x﹣3|=a, 且|A﹣B|=1,
2

由 a 的所有可能值构成的集合为 S,那么 C(S)等于() A.1 B. 2 C. 3 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 集合.

D.4

分析: 先根据已知条件可判断出 B 含 3 个元素,所以方程|x +2x﹣3|=a 有三个实根,进一 2 步判断出方程 x +2x﹣3+a=0 有两个二重根,所以根据△ =0 即可求得 a 的值,从而求出集合 S,这样便可判断出集合 S 所含元素的个数. 2 2 解答: 解:由|x +2x﹣3|=a 得:x +2x﹣3±a=0,a≥0; 2 2 对于 x +2x﹣3﹣a=0,△ =4+4(3+a)>0,∴方程 x +2x﹣3±a=0 至少有两个实数根,即集 合 B 至少含 2 个元素; ∵|A﹣B|=1,∴B 含 3 个元素; ∴方程 x +2x﹣3+a=0 有二重根,∴△=4﹣4(﹣3+a)=0,∴a=4; ∴S={4},∴C(S)=1. 故选 A. 点评: 考查元素与集合的概念, 描述法表示集合, 一元二次方程的实数根的情况和判别式 △ 的关系. 8. (5 分)已知 x,y,z∈R,且 x﹣2y+2z=5,则(x+5) +(y﹣1) +(z+3) 的最小值是 () A.20 B.25 C.36 D.47 考点: 柯西不等式在函数极值中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接利用柯西不等式求解即可. 解答: 解:由于≥ =324,
2 2 2 2 2 2

2

则(x+5) +(y﹣1) +(z+3) (当且仅当

2

2

,即

时取等号.

故选:C. 点评: 本题考查柯西不等式的应用,基本知识的考查.

9. (5 分) 已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ, 点 R 在直线 PQ 上, 且满足 R 在抛物线准线上的射影为 S,设 α,β 是△ PQS 中的两个锐角,则下列四个式子 ①tanαtanβ=1;②sinα+sinβ≤ 中一定正确的有() A.1 个 B. 2 个 ;③cosα+cosβ>1;④|tan(α﹣β)|>tan



C. 3 个

D.4 个

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 由已知中抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ,点 R 在直线 PQ 上,且满足 ,R 在抛物线准线上的射影为 S,设 α,β 是△ PQS 中的两个锐角,可得

△ PQS 是直角三角形,则 进而得到答案. 解答: 解:∵ ∴△PQS 是直角三角形,则 当 PQ 垂直对称轴时

,进而可得①②③正确;举出反倒可判断④错误,

,R 在抛物线准线上的射影为 S, ,故①②③都对, ,

故一定正确的命题有 3 个, 故选 C 点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了抛物线的几何性质,三角函数的图象和性质, 难度不大,属于基础题. 10. (5 分)设定义在 D 上的函数 y=h(x)在点 P(x0,h(x0 ) )处的切线方程为 l:y=g(x) , 当 x≠x0 时,若
2

>0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y=h(x)的“类对称点”,

则 f(x)=x ﹣6x+4lnx 的“类对称点”的横坐标是() A.1 B. C. e 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;新定义;导数的概念及应用;导数的综合应用.

D.

分析: 函数 y=H(x)在其图象上一点 P(x0,f(x0) )处的切线方程为 y=g(x)=(2x0+ ﹣6) (x﹣x0)++x02﹣6x0+4lnx0.由此能推导出 y=h(x)存在“类对称点”, 对称点”的横坐标. 解答: 解:函数 y=h(x)在其图象上一点 P(x0,h(x0) )处的切线方程为: y=g(x)= (2x0+ ﹣ 6) (x﹣x0)+x0 ﹣6x0+4lnx0,
2 2

是一个“类

设 m(x)=h(x)﹣g(x)=x ﹣6x+4lnx﹣(2x0+ 则 m(x0)=0. m′(