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[中学联盟]福建省福州市第八中学2015届高三上学期第二次质量检查数学(理)试题


1.设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A (CR B) ? A. (?3, 0) B. (?3, ?1] C. (?3, ?1) D. (?3,3)

2.以下说法错误的是 A.命题“若 x 2-3 x +2=0,则 x =1”的逆否命题为“若 x ≠1,则 x 2-3 x +2≠

0” B.“ x =1”是“ x 2-3 x +2=0”的充分不必要条件 C.若 p ∧ q 为假命题,则 p , q 均为假命题 D.若命题 p :? x 0∈R,使得 x0 2 + x 0+1<0,则﹁ p :? x ∈R,则 x 2+ x +1≥0 3.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A.(0,1) B.(1,2)

2 ( x ? 0) 的零点所在的大致区间是 x
C.(2,e) D.(3,4)

4. 若 a ∈R, m ? R 且 m ? 0 ,则“ a ≠ m ”是“| a |≠ m ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.实数 a ? 0.3 2 , b ? log A. a ? c ? b

2

0.3 , c ? ( 2)0.3 的大小关系正确的是
C. b ? a ? c D. b ? c ? a

B. a ? b ? c

6.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 1, x ? 1, 2 a ? 若 f [ f (0)] ? 4a ,则 ? dx = 2 1 x ? ? x ? ax, x ? 1,
1 ln 2 3
C. 3 ln 2 D. 9 ln 2

A. 2 ln 2

B.

? 7. 若函数 f ( x) ? 2 cos( 2 x ? ? )是奇函数 , 且在 (0, )上是增函数 , 则? 的一个值为 4
A. ?

?

2

B.0

C.

? 2

D. ?

8.已知函数 y ? f ? x ?? x ? R ? 满足 f ? x ? 3? ? f ? x ? 1? ,且 x ∈ [-1,1]时, f ? x ? ? x ,则 函数 y ? f ? x ? ? log5 x, ? x ? 0? 的零点个数是 A.3 B.4 C.5 D.6

9.已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 在[0,2]上是单调减函数,则 A. f (?1) ? f (2) ? f (0) C. f (2) ? f (?1) ? f (0) B. f (?1) ? f (0) ? f (2) D. f (0) ? f (?1) ? f (2)

?2 x ? 1, x ? 2 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若 a, b, c 互不相等,且满足 ?? x ? 6, x ? 2 ? 2
f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值范围是
A. (1,10) B. (5, 6) C. (2,8) 共 100 分) D. (0,10)

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.已知幂函数 f ( x) ? (m2 ? 3m ? 3) xm?1 为偶函数,则 m ? 12.函数 f ( x) ? . .

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是

13.定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? xe? x ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? ___ 14.函数 f ( x) ? x 3 ?

3 2 x ? 6 x ? m 的图象不过第Ⅱ象限,则 m 的取值范围是___. 2

15.某同学在研究函数 f ( x) ?

ax ( x ? R, a ? 0) 时,分别给出下面几个结论: 1? x

①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立; ②函数 f ( x) 的值域为 [?a, a] ; ③函数 f ( x) 为 R 上的单调函数; ④ 若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ⑤ 函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在 R 上有三个零点。 其中正确结论的序号有______________.(请将你认为正确的结论的序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos 2

x ? ,其中 a 为常数,且 x ? 是函数 f ( x) 的一个零点。 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和所有对称轴方程; (Ⅱ )当 x ? [0, ? ] 时,求函数 f ( x) 的值域。 17. (本小题满分 13 分) 已知命题 P : 函数 f ( x) 为 (0,??) 上单调减函数,实数 m 满足不等式 f (m ? 1) ? f (3 ? 2m) . 命题 Q :当 x ? [0,

?
2

] ,函数 m ? sin 2 x ? 2 sin x ? 1 ? a 。若命题 P 是命题 Q 的充分不必要条

件,求实数 a 的取值范围。

18. (本小题满分 13 分) 某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元。为了增加企业竞争力,决定优化 产业结构,调整出 x( x ? N* ) 名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为

10(a ?

3x ) 万元 (a ? 0) ,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2 x 0 0 . 500

(Ⅰ)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最 多调整出多少名员工从事第三产业?

(Ⅱ )在(Ⅰ)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年 总利润,则 a 的取值范围是多少? 19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处切线的斜率; (Ⅱ )求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ )当 a ? 0 时,求 f ( x) 在区间 (0, e] 上的最小值。

21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与 (0,-2). (Ⅰ )求矩阵 M; (Ⅱ )设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:2x-y=4,求 l 的方程.

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程

在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? 1 ? 2 ,圆 C 的圆心是

C( 2 ,

?
4

),半径为 2 。

(Ⅰ )求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ )求直线 l 被圆 C 所截得的弦长。

(3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 3 | 。 (Ⅰ )解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ )已知关于 x 的不等式 a ? 3 ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

稿



福州八中 2014—2015 学年高三毕业班第二次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. BCBBC AABDC 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11. 1 12. ( ? ,1)

1 3

13. xe x

14. (- ∞ ,-10]

15.①③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)

x?

?

2

是方程 f ( x) ? 0 的解,

? f ( x) ? sin x ? 2 cos 2

3? (k ? Z ) 4 ? ? 3? ], (Ⅱ ) x ? [0, ? ], ? x ? ? [ ? , 4 4 4 ? 2 ? sin( x ? ) ? [? ,1], 4 2 ? y ? [?2, 2 ? 1]
对称轴方程为: x ? k? ? 17. (本小题满分 13 分) 17.

? T ? 2?

x ? ? sin x ? 1 ? cos x ? 2 sin( x ? ) ? 1 ……………4 分 2 4
……………………5 分 ……………………7 分 ……………………9 分 ……………………11 分 ……………………13 分

? f ( ) ? 0,? a ? ?2 2

?

……………2 分

………4 分

…………8 分

… … … … 13 分

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得 10(1000- x )(1+0.2 x %)≥10×1000,……………………3 分 即 x 2-500 x ≤0,又 x >0,所以 0< x ≤500. 即最多调整出 500 名员工从事第三产业. ……………………5 分 (Ⅱ ) 从事第三产业的员工创造的年总利润为 10(a ? 利润为 10(1000- x ) (1+0.2 x %)万元,

3x ) x 万元,从事原来产业的员工创造的年总 500

3x ) x ≤10(1000- x ) (1+0.2 x %), ……………………8 分 500 3x 2 1 2 2 x2 ? 1000 ? 2 x ? x ? x ,所以 ax ? ? 1000 ? x , 所以 ax ? 500 500 500 2 x 1000 ? ? 1 恒成立, 即a ? ……………………10 分 500 x 2 x 1000 2 x 1000 ? ?2 ?4, 因为 500 x 500 x 2 x 1000 ? 当且仅当 ,即 x ? 500 时等号成立.……………………12 分 500 x 所以 a ? 5 ,又 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 5 ,即 a 的取值范围为 (0 , 5] .…………13 分
则 10(a ? 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ?( x) ? 故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处切线的斜率为 (Ⅱ ) f ?( x ) ? a ?

x ?1 ( x ? 0) ,……………………2 分 x
……………………3 分

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) 。 ……………………4 分 x x ① 当 a ? 0 时 , 由 于 x ? 0 , 故 a x? 1 ? 0 , f? ( x )? 。 0 所 以 , f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 (0, ??) 。…………5 分 1 ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 。 a 1 1 在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 。 a a 1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) ,单调递增区间为 ( , ??) 。………7 分 a a 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??) ;当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递减区间为 1 1 (0, ) ,单调递增区间为 ( , ??) 。 ……………………8 分 a a
(Ⅲ )根据(Ⅱ )得到的结论,

1 。 2

1 1 ?e , 即 0?a? e, 上 ] 的 最 小 值 为 f ( e) , 时 , f ( x) 在 区 间 ( 0 a e f (e) ? ae ? 1 。 ……………………10 分 1 1 1 ?e , 即 a? 当 时 , f ( x) 在 区 间 (0, e] 上 的 最 小 值 为 f ( ) , a e a


1 1 f ( ) ? 1 ? ln ? 1 ? ln a 。……………………12 分 a a 1 1 综上,当 0 ? a ? 时, f ( x) 在区间 (0, e] 上的最小值为 ae ? 1 ,当 a ? , f ( x) 在区间 (0, e ] 上 e e 的最小值为 1 ? ln a 。 ……………………13 分
20. (本小题满分 14 分) 解 :( Ⅰ) 因 为 f (? 1 ) ? , 所 以 a ? b ? 1 ? 0 . 因 为 f ( x) 的 值 域 为 [ 0 , ,所以 0 ?? )

?a ? 0, ……………………………………………………3 分 ? 2 ?? ? b ? 4a ? 0. 所以 b2 ? 4(b ? 1) ? 0 . 解得 b ? 2 , a ? 1 . 所以 f ( x) ? ( x ? 1)2 .
所以 F ( x) ? ?
2 ? ?( x ? 1) x ? 0, 2 ? ??( x ? 1) x ? 0.

………………………………………4 分

(Ⅱ )因为 g ( x) ? f ( x) ? kx ? x2 ? 2x ? 1 ? kx ? x2 ? (2 ? k ) x ? 1 = (x ?

2?k 2 (2 ? k ) 2 ) ?1? 2 4 k ?2 ≥ 2 时 g ( x) 单调递减 所以当 2 k ?2 ≤ ?2 时 g ( x) 单调递增. ……………………… … 8 分 或 2 即 k 的范围是 (??, ? 2] 或 [6, ? ?) 时, g ( x) 是单调函数. ……………9 分
2

2 ? ?ax ? 1 x ? 0, (Ⅲ )因为 f ( x ) 为偶函数,所以 f ( x) ? ax ? 1 . 所以 F ( x) ? ? 10 分 2 ? ?? ax ? 1 x ? 0 因为 mn ? 0 , 依条件设 m ? 0 ,则 n ? 0 .又 m ? n ? 0 ,所以 m ? ?n ? 0 . 所以 m ? ?n . ………………………………………………… 12 分

此时 F (m) ? F (n) ? f (m) ? f (n) ? am ? 1 ? an ?1 ? a(m ? n ) ? 0 .……… 14 分 21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 b? b ? ?1 ? ? ?1? ? a b ? ? ?2 ? ?0 ? ?a ?a 解:(Ⅰ )设 ? ,则有 ? =? ?,? ? ? ? ?=? ?, ? ? d? d ? ? ?1? ? ?1? ?c d? ?c ?c ? ?1 ? ? ?2 ?
2 2 2 2

?a ? b ? ?1 ??2a ? b ? 0, ,且 ? 所以 ? , ……………2 分 ?c ? d ? ?1 ??2c ? d ? ?2 ?a ? 1 ?b ? 2 2? ?1 ? 解得 ? 所以 M= ? ………………4 分 ? ?3 4 ? ?c ? 3 ? ?d ? 4 ? x? ? ?1 2? ? x ? ? x ? 2 y ? (Ⅱ )因为 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 且 m:2 x? ? y ? ? 4 , ? y ? ? ?3 4 ? ? y ? ?3 x ? 4 y ? 所以 2(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+4 =0,这就是直线 l 的方程 高三数学(理)第二次月考试卷答案 第 3 页 共 4 页

…………5 分 ………7 分

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程

解: (Ⅰ )圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 cos(? ?

?
4

)

· · · · · · · · · 3 分 · · · · · · · · · · · 7分 · · · · · · · · · · 3分 · · · · · · · · · · 7分

(Ⅱ )圆心到直线距离为 1 ,圆半径为 2 ,所以弦长为 2 (3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ ) f ( x) ? 0 的解集为: (?? ,?4) ? ( ,?? ) (Ⅱ) a ? ?

2 3

13 2

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附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校 名录参 见:h ttp://w ww.zxxk.com/wxt/list. aspx ? ClassID=3060


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