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2015-2016学年高中数学人教A版必修4课时训练:2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(含答案)


第二章 平面向量
数学· 必修 4(人教 A 版)

2. 4
2.4.2

平面向量的数量积

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

基 础 提 升 1.设 m,n 是两个非零向量,m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以 下不等式与 m⊥n 等价的个数有( )
<

br />①m· n = 0 ;②x1· x2 =- y1y2 ;③|m + n| = |m - n| ;④|m + n| = m2+n2. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

答案:D 2.已知 a=(2,-2),b=(-1,0),向量 λa+b 与 a-2b 垂直, 则实数 λ 的值为( 1 A. 3 ) B.- 1 3 1 C.- 6 D. 1 6

答案:A

第二章 平面向量
3. 已知向量 a=(1,-1), b=(-1,x), 若 a+b 与 2b-a 平行, 则实数 x 的值是( A.-2 ) B.0 C.1 D.2

答案:C π 4.(2013· 江西卷)设 e1,e2 为单位向量,且 e1,e2 的夹角为 ,若 3 a=e1+3e2,b=2e1,则向量 a 在 b 方向上的射影为________.

解析:由于 a=e1+3e2,b=2e1, 1 所以|b|=2,a· b=(e1+3e2)· 2e1=2e2 e2=2+6× =5, 1+6e1· 2 所以 a 在 b 方向上的射影为|a|· cos〈a,b〉= 答案: 5 2 a· b 5 = . |b | 2

5.已知 a=(4,2),则与 a 垂直的单位向量坐标为________.
? 5 2 5? ? 5 2 5? ?或?- , ? ,- 5 ? ? 5 5 ? ? 5

答案:?

6.已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= ________. 答案:3 2

第二章 平面向量
巩 固 提 高 7. 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(2,5), B(5,2), C(10,7), 判断三角形的形状.

解析:由 A(2,5),B(5,2),C(10,7)得 → =(-3,3),BC → =(5,5), BA →· → =0. ∴BA BC ∴∠B=90° , ∴△ABC 为直角三角形.

8.已知向量 a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中 e1=(1,0),e2=

(0,1).
(1)求 a· b; (2)求|a+b|;

(3)求 a 与 b 的夹角的余弦值. 解析:(1)由 e1=(1,0),e2=(0,1)得 a=3e1-2e2=(3,-2),b=4e1+e2=(4,1), ∴a· b=12-2=10. (2)a+b=(7,-1), ∴|a+b|=5 2.

第二章 平面向量

(3)cos〈a,b〉=

a· b 10 10 221 = = . 221 |a||b| 13× 17

9.已知向量 a=(1,2),b=(x,1), (1)当 x 为何值时,使(a+2b)∥(2a-b)? (2)当 x 为何值时,使(a+2b)⊥(2a-b)?

解析:由 a=(1,2),b=(x,1),得 a+2b=(2x+1,4),2a-b=(2-x,3). (1)∵(a+2b)∥(2a-b), 1 ∴3(2x+1)-4(2-x)=0,解得 x= . 2 (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), 7 ∴(2x+1)(2-x)+12=0,解得 x=-2 或 x= . 2

10.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

第二章 平面向量
→ ⊥AD →; (1)求证:AB (1)证明:由 A(2,1),B(3,2),D(-1,4), → =(1,1),AD → =(-3,3), 得AB →· → =1×(-3)+1×3=0, 又AB AD → ⊥AD →. ∴AB

(2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.

(2)解析:∵四边形 ABCD 为矩形,且 AB⊥AD, → =BC →. ∴AD 设点 C(x,y),则(-3,3)=(x-3,y-2),
? ?-3=x-3, ∴? ?3=y-2, ? ? ?x=0, ∴? ?y=5. ?

∴点 C 的坐标为(0,5). → =(-2,4),BD → =(-4,2), 又AC →· → =8+8=16,而? → ?=2 5,? → ?=2 5, ∴AC BD ?AC? ?BD? → 与BD → 的夹角为 θ,则 设AC →· → AC BD 16 4 cos θ=? ?? ?= = . 5 → → ?AC??BD? 2 5×2 5


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