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2.3函数的单调性 教学设计(北师大版必修1)[1]


2.3.1 函数的单调性
一、教学内容解析 1.教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》 (必修 1)第二章第 3 节函数单调性的第一课时, 主要学习用符号语言 (不等式) 刻画函数的变化趋势 (上升或下降) 及简单应用。 它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质,为后继学习奠 定了理性思维基础。如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质,包 括导函数内容等;在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函 数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用。 因此,它是高中 数学核心知识之一,是函数教学的战略要地。 2.教学重点 函数单调性的概念,判断和证明简单函数的单调性。 3.教学难点 函数单调性概念的生成,证明单调性的代数推理论证。 二、学生学情分析 1.教学有利因素 学生在初中阶段,通过学习一次函数、二次函数和反比例函数,已经对函数 的单调性有了“形”的直观认识,了解用“ y 随 x 的增大而增大(减小) ”描述 函数图象的上升(下降)的趋势。亳州一中实验班的学生基础较好,数学思维活 跃,具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力。 2.教学不利因素 本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象, 从直观到抽 象、 从有限到无限是个很大的跨度。 而高一学生的思维正处在从经验型向理论型 跨越的阶段,逻辑思维水平不高,抽象概括能力不强。另外,他们的代数推理论 证能力非常薄弱。这些都容易产生思维障碍。 三、课堂教学目标 1.理解函数单调性的相关概念。掌握证明简单函数单调性的方法。 2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨 越,体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法。

3.通过探究函数单调性,让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到 整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程,体验数学的理性精神和力量。 4.引导学生参与课堂学习,进一步养成思辨和严谨的思维习惯,锻炼探究、概 括和交流的学习能力。 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难:一是如何把“y 随 x 的增大而增大(减小) ”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言,尤 其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象;二是用定义证明单调性的代数推理 论证。对高一学生而言,作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度。 为达成课堂教学目标,突出重点,突破难点,我们主要采取以下形式组织学 习材料: 1.指导思想。 充分发挥多媒体形象、动态的优势,借助函数图象、表格和 几何画板直观演示。在学生已有认知基础上,通过师生对话自然生成。 2.在“创设情境”阶段。 观察并分析沙漠某天气温变化的趋势,结合初中 已学函数的图象,让学生直观感受函数单调性,明确相关概念。 3.在“引导探索”阶段。 首先创设认知冲突,让学生意识到继续学习的必 要性;然后设置递进式“问题串” ,借助多媒体引导学生对“y 随 x 的增大而增 大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结,并回顾已有知识经验,实现函数单调 性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越。 4.在“学以致用”阶段。 首先通过 3 个判断题帮助学生从正、反两方面辨 析,逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识。 然后教师示范用定义证明函数 单调性的方法,一起提炼基本步骤,强化变形的方向和符号判定方法。接着请学 生板演实践。 五、教学过程 (一)创设情境,引入课题 实例 科考队对沙漠气候进行科学考察,下图是某天气温随时间的变化曲线。 请

你根据曲线图说说气温的变化情况?

预设:学生的关注点不同,如气温的最值,某时刻的气温,某时间段气温的 升降变化(若学生没指明时间段,可追问) ,等。 图象在某区间上(从左往右) “上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性(板书课题) 。 设计说明: 从科考情境导入新课, 了解 “早穿棉袄午穿纱, 围着火炉吃西瓜” 这一独特的沙漠气候,直观形象感知气温变化,自然引入函数的单调性。 函数是描述事物变化规律的数学模型。 如果清楚了函数的变化规律,那么 就基本把握了相应实物的变化规律。在事物变化过程中,保存不变的特征就是这 个事物的性质。因此,研究函数的变化规律是非常有意义的。 问题 1 :观察下列函数图象,请你说说这些函数有什么变化趋势?

设计说明:学生回答时可能会漏掉“在某区间上” ,规范表达“函数在哪个 区间上具有怎样的单调性” 。 借此强调函数的单调性是相对某区间而言的,是函 数的局部性质。 设函数的定义域为 I ,区间 D ? I 。在区间 D 上,若函数的图象(从左向右)总是
上升的,即 y 随 x 的增大而增大,则称函数在区间 D 上是递增的,区间 D 称为函数的单调 增区间; (学生类比定义“递减” ,接着推出下图,让学生准确回答单调性。 )

设计说明:从图象直观感知到文字描述,完成对函数单调性的第一次认知。 明确相关概念,准确表述单调性。学生认为单调性的知识似乎够用了,为下面的 认知冲突做好铺垫。 (二)引导探索,生成概念 问题 2(1)下图是函数 y ? f ( x) 的图象(以 f ( x) ? 0.001x ? 1为例) ,它在定义域 R 上是递增的吗? (2)函数 f ( x) ? x ?
1 在区间 (0, +?) 上有何单调性? x

预设:学生会不置可否,或者凭感觉猜测,可追问判定依据。 设计说明:函数图象虽然直观,但是缺乏精确性,必须结合函数解析式;但 仅凭解析式常常也难以判断其单调性。 借此认知冲突,让学生意识到学习符号 化定义的必要性。 自然开始探索。 问题 3 (1)如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征,即“y 随 x 的增大 而增大 ”? .. 以二次函数 f ( x) ? x2 在区间 [0, ??) 上的单调性为例,用几何画板动画演示 “y 随 x 的增大而增大” ,生成表格(每一秒生成一对数据) 。 设计说明:先借助图形、动画和表格等直观感受“y 随 x 的增大而增大” , 然后让学生思考、讨论得出,若 x1 ? x2 ,则必须有 y1 ? y2 。

(2)已知 a ? x1 ? x2 ? b ,若有 f (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (b) 。能保证函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上递增吗? 拖动“拖动点”改变函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象,可以递增,可以先 增后减,也可以先减后增。 (3)已知 a ? x1 ? x2 ? x3 ? b ,若有 f (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f (b) ,能保证函 数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上递增吗? 拖动“拖动点” ,观察函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象变化。 设计说明:先让学生讨论交流、举反例,然后借助几何画板动态说明验证两 个定点不能确定函数的单调性, 三个点也不行,无数个点行不行呢?引导学生过 渡到符号化表示,呈现知识的自然生成。 (4)已知 a ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ??? ? b ,若有

f (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ? ??? ? f (b) , 能保证函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b]
上递增吗? 设计说明:可先请持赞同观点的同学说明理由,再请持反对意见的学生画出 反驳,然后追问:无数个 x 也不能保证函数递增,那该怎么办呢?若学生回答全 部取完或任取,追问“总不能一个一个的验证吧?” 紧接着师生一起回顾子集的概念, (PPT 展示教材上子集定义)再次体验对 “任意一个”进行操作,实现“无限”目标的数学方法,体会用“任意”来处理 “无限”的数学思想。 问题 4:如何用数学语言准确刻画函数 y ? f ( x) 在区间 D 上递增呢?

预设:请学生自愿尝试概括定义。 板书“任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都

有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 y ? f ( x) 在区间 D 上递增” ,则突出关键词“任意” 和“都有” ;若缺少关键词“任取”或“任意” ,则追问“验证两个点就能保证函 数在区间 D 上递增吗” 。 问题 5:请你试着用数学语言定义函数 y ? f ( x) 在区间 D 上是递减的。 预设:为表达准确规范,要求学生先写下来,然后展示。 并有意引导使用 “任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 y ? f ( x) 在区间 D 上递减” ,以此打破必须“ x1 ? x2 ”的思维定势。 (三)学以致用,理解感悟 判断题:你认为下列说法是否正确,请说明理由。 (举例或者画图) (1)设函数 y ? f ( x) 的定义域为 [a, ??) ,若对任意 x ? a ,都有 f ( x) ? f (a) ,则
y ? f ( x) 在区间 [a, ??) 上递增;

(2)设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,若对任意 x1 , x2 ? (a, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 y ? f ( x) 是递增的;
(3)反比例函数 f ( x) ?
1 的单调递减区间是 (??,0) ? (0, ??) 。 x

设计说明:让学生分组讨论,然后作展示性回答。若学生认为正确,则要求 说明理由;若学生认为错误,则要求学生到黑板上画出反例(题(3)可追问怎 么修改) 。通过构造反例,逐步完善和加深对函数单调性的理解。 例题:判断并证明函数 f ( x) ? 0.001x ? 1的单调性。 设计说明:对照定义板书示范,指明变形的目的是变出因式 ( x1 ? x2 ) 等,并让 学生提炼证明的基本步骤。
1 练习:证明函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的单调性: x

(1)在 (0,1) 上递减; (2)在 (1, ??) 上递增。 设计说明:回答“问题 2”悬而未决的问题。先请两位学生板演,然后由其 他学生完善步骤。

思考题:物理学中的玻意耳定律 p ?

k ( k 为正常数)告诉我们,对于一定 V

量的气体,当其体积 V 减小时,压强 p 将增大。试用函数的单调性证明。 设计说明:引导学生用数学知识解释其他学科的规律,培养学生应用数学的 意识和能力。 (四)回顾反思,深化认识 课堂小结: 通过本节课的学习,你的主要收获有哪些? (关键词:三种语言,证明方法,数学思想,情感体验,等。 ) 设计说明:先给出问题,要求学生自主小结,再推出引导性关键词,使得总 结简明、到位、拔高。 (五)布置作业 课堂作业: (1)第 38 页习题 2-3 A 组:3,5;

1 (2)判断并证明函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的单调性。 x

探究题:向一杯水中加一定量的糖,糖加得越多糖水越甜。 请你运用所学的数 学知识解释这一现象。 设计说明:课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法,完善对“对钩函数”的认 识。 探究题是为培养学生运用数学的意识 (从地理情境开始, 中间解答物理定律, 最后以化学实验结束) ,感受数学的实用性和人文性。 (六)板书设计 函数的单调性 递增: (板书定义) 递减: (学生类比) 六、教后反思 反思“三个理解”的理解程度、教学策略和落实情况,等。 例题(提炼步骤,明确变形方向) 练习(学生板演)


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