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(2012年11月30日两直线的位置关系、夹角公式及点线距离)高二数学TTT-学案 王建华


中小学 1 对 1 课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号 学员编号: 学员姓名: 课 题 T 两直线位置关系 年 级:高二 辅导科目:数学 T 两直线夹角公式 课时数:3 学科教师: T 点到直线距离

授课时间 教学内容

两直线位置关系
知识导入 一、两直线位置关系 平面上两条直线有几种位置关系?各有什么几何特征? 解答:两条直线有三种位置关系:相交、平行、重合。 从几何特征上看: 相交 ? 有唯一的公共点; 平行 ? 没有公共点; 重合 ? 至少有两个公共点, 进而有无数个公共点。 在直角坐标系中,这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢? 一般地,设两条直线的方程分别为

l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 ( a1 ,b1 不全为零)??①
l 2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 ( a 2 ,b2 不全为零)??②
两条相交直线的交点坐标 思考并回答:如何求直线 l1 、 l 2 的交点? 由直线与直线方程的对应关系,若两条直线相交,由于交点同时在两条直线上,则交点的坐标一定是两个方程联立起 来组成的方程组;反之,若两个二元一次方程有公共解,那么以这解为坐标的点必是两条直线的交点。 二、两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系 直线 l1 、 l 2 的三种位置关系:相交、平行、重合,对于直线 l1 、 l 2 的方程联立的方程组是:有唯一解、无解、无数 多个解。因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线 l1 、 l 2 的位置关系。 回忆解方程组的过程,计算由方程的系数构成的行列式: D ?

a1 a2

b1 b2

, Dx ?

? c1 ? c2

b1 b2

, Dy ?

a1 a2

? c1 ? c2

.则

当D ?

a1 a2

当D ?

a1 a2

Dx ? ?x ? D ? D Dy ? ? ? 0 时,方程组(Ⅰ)有唯一的解为 ? ,此时 l1 、 l 2 相交于一点,交点坐标是 ? x , ? D D ?。 ? Dy b2 ? ? ?y ? ? D ? b1 ? 0 且 Dx , Dy 中至少有一个不为零时,方程组(Ⅰ)无解,此时 l1 、 l 2 没有公共点,直线 l1 与 l 2 平行。 b2
b1

当 D ? Dx ? Dy ? 0 时,方程组(Ⅰ)有无穷多个解,此时 l1 、 l 2 有无数多个公共点,即直线 l1 与 l 2 重合。 结论:两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 ① l1 与 l 2 相交 ? 方程组(Ⅰ)有唯一解 ? D ? 0 即 a1b2 ? a2 b1 ; ② l1 与 l 2 平行 ? 方程组(Ⅰ)无解 ? D ? 0 且 Dx , Dy 中至少有一个不为零; ③ l1 与 l 2 重合 ? 方程组(Ⅰ)有无穷多解 ? D ? Dx ? Dy ? 0 。

D?

a1 a2

b1 b2

? 0 时 , l1 与 l 2 平 行 或 重 合 , 即 D ?

a1 a2

b1 b2

? 0 是 l1 与 l 2 平 行 的 必 要 非 充 分 条 件 。 换 言 之 ,

a2 b1 ? a1b2

l1 ∥ l 2 ;若两条直线不重合,则 a1b2 ? a2 b1 ? l1 // l 2

三、向量分析两直线位置关系 从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢? 一个法向量分别是 n1 ? (a1 ,b1 ) , n2 ? (a2 ,b 2 ) , l1 与 则 l1 与 l 2 的一个方向向量分别是 d1 ? (b1 ,?a1 ) , d 2 ? (b2 ,?a2 ) ;

l 2 有如下关系:
① l1 和 l 2 相交 ? d1 不平行 d 2 ? d1 不垂直 n2 ? a2 b1 ? a1b2 ? 0 ; 特别地,直线 l1 ⊥ l 2 ? d1 ⊥ d 2 ? a1a2 ? b1b2 ? 0 ; ② l1 // l 2 ? d1 平行 d 2 ? d1 垂直 n2 ? a2 b1 ? a1b2 ? 0 ; ③ l1 和 l 2 重合 ? d1 平行 d 2 ? d1 垂直 n2 ? a2 b1 ? a1b2 ? 0 。 四、三种位置关系可以用直线的斜率表示吗? 由于不是所有的直线都有斜率,因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论。 若 l1 和 l 2 都没有斜率,则 l1 与 l 2 平行或重合。 若 l1 和 l 2 中有一条没有斜率而另一条斜率为 0,则 l1 ⊥ l 2 。 若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为 l1 : y ? k1 x ? d1 , l 2 : y ? k 2 x ? d 2 ,则有: ① l1 // l 2 ? k1 ? k 2 且 d1 ? d 2 ; ② l1 和 l 2 重合 ? k1 ? k 2 且 d1 ? d 2 ; ③ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k 2 ; 特别地,直线 l1 ⊥ l 2 的充要条件是 k1 ? k 2 ? ?1 。 [说明] 判断直线位置关系的方法并不唯一,可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的 选择。一般情况,采用计算行列式的方法比较单纯,这种方法更具一般性,便于使用。

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 典型例题 【例 1】已知两条直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l 2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 。当 m 为何值时, l1 与 l 2 : (1)相交,(2)平行,(3)重合。

【例 2】求经过原点且经过直线 l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 l 2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点的直线方程。

【例 3】已知直线 l1 : y ? ?

a 1 x ? 与 l 2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 ,求实数 a 的值,使直线 l1 与 l 2 平行。 3 3

【例 4】若三条直线 l1 : 3x ? y ? 2 ? 0 , l 2 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l 3 : mx ? y ? 0 ,当 m 为何值时,三条直线不能构 成三角形?

【例 5】设直线的方程为 (2m ? 1) x ? (3m ? 2) y ? 18m ? 5 ? 0 ,求证:不论 m 为何值,所给的直线经过一定点。

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 课堂检测 1、等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,底边所在的直线 l2 的方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,点 ? ?2,0 ? 在另 一腰上,求这腰所在直线 l3 的方程.

2、光线沿直线 l 1: 2 x ? y ? 2 ? 0 照射到直线 l 2: x ? 2 y ? 2 ? 0 上后反射,求反射线所在直线 l3 的方程.

3、已知两条直线: l1 :(3+m)x+4y=5-3m, l 2 :2x+(5+m)y=8.m 为何值时, l1 与 l 2 :(1)相交;(2)平行;(3)重合。

4、求满足下列条件的方程: (1)求经过点 A(1,?4) 且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线方程; (2)求过点 A(2,1) ,且与直线 2 x ? y ? 10 ? 0 垂直的直线 l 的方程。

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 5、已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,求直线 l 的方程,使 l 与 l 垂直且 l 与坐标轴围成的三角形面积为 6 .
' ' '

6、 直线 l 过点 M (0,?2) 且与直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 4 ? 0 分别交于点 P, Q , M 恰为线段 PQ 的中点, 若 求直线 l 的方程.

7、已知三角形 ABC 的顶点 A(3,?1) , AB 边的中线所在的直线方程为 6 x ? 10y ? 59 ? 0 , ? B 的平分线所在直线的 方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的方程.

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两条直线夹角公式
知识导入 平面上两条直线 l1 和 l 2 相交构成四个角,它们是两组互补的对顶角,我们规定两条相交直线所成的锐角或直角 为两条直线的夹角。如果两条直线平行或重合,规定它们的夹角为 0。因此,两条直线的夹角的取值范围是 ?0, 而两条相交直线夹角的取值范围是( 0,

? ?? ? , ? 2?

? ]。 2

当给出两条直线的方程时,它们的相对位置就确定了,它们的夹角也随之确定,那么,如何根据直线方程求两 直线的夹角呢? 设两条直线的方程分别为

l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 ( a1 ,b1 不全为零)
l 2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 ( a 2 ,b2 不全为零).
设 l1 与 l 2 的夹角为 ? , l1 与 l 2 的一方向向量分别为 d 1 与 d 2 ,其夹角为 ? ,且 d1 = (b1 ,?a1 ) , d 2 = (b2 ,?a 2 ) , 当 ? ? [0, 于是

?

] 时,则 ? ? ? 如图甲所示;当 ? ? ( , ? ] 时,则 ? ? ? ? ? ,如图乙所示。 2 2

?

得: cos? ?| cos? |?|

d1 ? d 2 | d1 | ? | d 2 |

|?

| a1a 2 ? b1b2 | a1 ? b1 ? a 2 ? b2
2 2 2 2

即为直线 l1 与 l 2 的夹角公式。 特别地,当且仅当 a1a2 ? b1b2 ? 0 时, l1 与 l 2 的夹角为

? ,即 l1 与 l 2 垂直。也就是说: l1 ? l 2 ? d1 垂直 2

d 2 ? n1 垂直 n2 ? a1a2 ? b1b2 ? 0 (其中 n1 , n2 分别为 l1 与 l 2 的一个法向量)

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 典型例题 【例 1】已知直线 l 过点 P(?4,1) ,且与直线 m : 3x ? y ? 1 ? 0 的夹角为 arccos

3 10 ,求直线 l 的方程。 10

【例 2】 :已知 ?ABC 的三个顶点为 A(2,1), B(6,1), C (5,5) (1)求 ?ABC 中 ? A 的大小;(2)求 ? A 的平分线所在直线的方程。

【例 3】 等腰三角形的一个腰所在直线 l1 的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 , 底边所在直线 l 2 的方程是 x ? y ? 1 ? 0 , (?2,0) 点 在另一腰上,求这条腰所在直线 l 3 的方程。

【例 4】已知直线 l 满足性质:如果任意一点 ( x, y ) 在直线 l 上,那么点 ( x ? 3 y, 8 x ? y) 也在直线 l 上, 求直线 l 的方程。

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课堂检测
1、直线 kx-y=k-1 与 ky-x=2k 的交点位于第二象限,那么 k 的取值范围是( A、k>1 B、0<k< )

1 2

C、k<

1 2

D、

1 <k<1 2


2、设两条平行线分别经过点(3,0)和(0,4) ,它们之间的距离为 d,则( A 0<d≤3 B 0<d<4 C 0<d≤5 D 3≤d≤5 3、若从点 M(1,2)向直线 l 作垂线,垂足为点( ? 1 ,4) ,则直线 l 的方程为( A C



x ? y ?5 ? 0 x? y ?5 ? 0

B D

x? y?5 ? 0 x? y ?5 ? 0


4、过原点作直线 l 的垂线,若垂足为 (?2,3) ,则直线 l 的方程是

5、已知直线 mx ? 4 y ? 2 ? 0 与直线 2 x ? 5 y ? n ? 0 垂直,垂足为 (1, p ) ,则 m ? n ? p 的值为

6、求与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,且在两坐标轴上的截距之和为

5 的直线 l 的方程。 6

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点到直线距离
知识导入 (1)点到直线的距离 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? 点在直线的同侧或异侧的问题 另? ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

,当两点在直线 l 的同侧,则它们的 ? 同号;当两点在直线 l 的异侧,则它们的 ? 异号。

(2)平行直线间的距离: 若两条平行线直线 l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 , l 2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 的距离 d ?

| c1 ? c2 | a ?b
2 2

(a ?b ? 0)
2 2

典型例题 【例1】 若三角形的三个顶点 A?0,3?, B?3,0?, C?5,7? ,则 ?ABC 的面积是

【例 2】已知点 P( x, y )在直线 l : 3x ? 4 y ? 10 ? 0 上,O 为原点,则当 OP 最小时,点 P 的坐标是( A、 ? , ?



?6 8? ?5 5?

B、 ( 2,4)

C、 ? 5,? ?

? ?

5? 4?

D、 ? ,? ?

?1 ?5

3? 5?

【例 3】求与直线 l : 5 x ? 12 y ? 6 ? 0 平行且到 l 的距离为 2 的直线方程。

【例 4】已知直线 l 经过点 P(5,10) ,且原点到它的距离为 5,则直线 l 的方程为_________。

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 课堂检测 1、 设? ?[0,2? ) ,则点 P(1,1)到直线 x· cos? ? y· sin ? ? 2 的最大距离是______________。

2、已知直线 l:y=k(x+1)+2,且与以点 A(-2,-3)和 B(4,0)为端点的线段恒相交,则直线 l 的斜率的取值范围是 _________________.

3、求过点 P(1,2)且被两平行直线 l1 :4 x ? 3y ? 1 ? 0与l2 :4 x ? 3y ? 6 ? 0 截得的线段长为 2 的直线方程。

4、点 P(3,2) 到 直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离为

5、两平行直线 2 x ? y ? 1 ? 0 和 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 之间的距离为

6、与两直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 x ? 2 y ? 6 ? 0 平行且距离相等的直线方程是

7、若 ? ? ?? ? , ? ? ,点 P(1,1) 到直线 x cos? ? y sin ? ? 2 的最大距离为 d ,则 d 的值( A、 ? 2 ? 2 B、 2 ? 2 C、4 D、 不存在



8、求过点 P(0,2)且与点 A(1,1) ,B(-3,1)等距离的直线 l 方程。

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 9、如图,已知正方形 ABCD 的中心为 E(-1,0) ,一边 AB 所在的直线方程为 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,求其他三边所在直 线的方程。

课堂总结 条 件 关 系 平 行 方 程

l1 : y ? k1 x ? b1
l 2 : y ? k 2 x ? b2

l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0
l 2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0

k1 ? k 2 且 b1 ? b2

a1 b1 c1 ? ? a 2 b2 c2





k1 ? k 2 且 b1 ? b2

a1 b1 c1 ? ? a 2 b2 c2 a1 b1 ? a 2 b2
a1a2 ? b1b2 ? 0





k1 ? k 2 k1 ? k 2 ? ?1





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