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空间几何体,三视图,面积体积计算


第一讲

空间几何体

一、知识梳理 1、多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫 做多面体的面, 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱, 棱与棱的公共点叫做顶点。 2、旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几 何体。其中,这条定直线称为旋转体的轴。 3、 (1)棱柱——有两个面互相平行,其

余各面都是四边形,并且每相邻两个四 边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 (2)相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系:

?斜棱柱 ? 底面是正多形 ① 棱柱 ? 棱垂直于底面 ? ? 正棱柱 ? ????? ????? ? 直棱柱 ? ? ? ?其他棱柱? ?
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面

体 底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体

(3)棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; D1 C1 ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多 A1 B1 边形; D ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边 C 形; A B ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面 是矩形。 (4)长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和; 【如图】

AC12 ? AB2 ? AD2 ? AA12
4、 (1) 圆柱—以矩形的一边所在的直线为旋 转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的 母线 几何体叫圆柱. (2)圆柱的性质:上、下底及平行于底面的 截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全 等的矩形. 5、 (1)棱锥——有一个面是多边形,其余各 面是有一个公共顶点的三角形, 由这 高 些面所围成的几何体叫做棱锥。 侧棱 正棱锥——如果有一个棱锥的底 面是正多边形, 并且顶点在底面的射 影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正
底面
1
A D O B H C
O' A' B' C'

轴 轴截面 侧面 底面

A B

O

C

S

顶点

侧面

斜高

棱锥。 (2)棱锥的性质: ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形, 相似比等于顶点到截面的距离与 顶点到底面的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的 射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。 ) (如上图: ? SOB,? SOH ,? SBH ,? OBH 为 直 角 三 角形) 。 6、 (1)圆锥——以直角三角形的一直角边所在 的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面 所围成的几何体叫圆锥。 (2)圆锥的性质: ①平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面 直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面 的距离之比; ②轴截面是等腰三角形;如右图: ? SAB ③如右图: l 2 ? h2 ? r 2 . 7、 (1)棱台——用一个平行于底面的平面 去截棱锥, 我们把截面与底面之间的部分称 为棱台. (2)正棱台的性质: ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯 形; ②正棱台的两个底面以及平行于底面的截 面是正多边形;
S

S 母线 l A r h 轴截面
O

顶点 轴 侧面

B 底面

上底面 高 A' 下底面
D

D' O' B'

C' M

侧棱 侧面 斜高
C N

顶点

O A B

③ 如右图:四边形 O`MNO, O`B`BO 都是直角梯形 ④棱台经常补成棱锥研究.如右图:
? SO`M 与? SO N , ?S`O `B `与? SO B 相似 ,注意考虑
S

相似比. 8、 (1)圆台——用平行于圆锥底面的平面去 截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. (2)圆台的性质: ①圆台的上下底面,与底面平行的截面都是 圆; ②圆台的轴截面是等腰梯形; ③圆台经常补成圆锥来研究。如右图:
? SO`A与? SOB相似 ,注意相似比的应用.

A r O' 轴 母线 l B R h 轴截面 O

上底面 D 侧面

C 下底面

2

9、 (1 )球——以半圆的直径所在直线为 旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做 球体,简称球. (2)球的性质: ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ② r ? R2 ? d 2 (其中, 球心到截面的距离 为 d、球的半径为 R、截面的半径为 r)

球面 球心 轴 半径 O R A r

d O1

B

练习 1.下列有关棱柱的说法: ①棱柱的所有的面都是平的; ②棱柱的所有的棱长都相等; ③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形 ④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等; ⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等. 正确的有__________. 2. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块 木块堆成;图(2)中的三视图表示的实物为_____________。

图(1)

图(2)

3?(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”, 四条侧棱称为它的腰,以下 4 个命题中,假命题是( A. 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 二面角都相等或互补 C. 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 面上 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球 ).

B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的

3

4 以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰 为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一 个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 ).

5.给出下列四个命题: ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;②对角面是全等矩形的六面 体一定是长方体;③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能 是正六棱锥;④长方体一定是正四棱柱. 其中正确的命题个数是 ( A.0 解析 ). B.1 C.2 D.3

反例:①直平行六面体底面是菱形,满足条件但不是正棱柱;②底面

是等腰梯形的直棱柱,满足条件但不是长方体;③若以正六边形为底面,侧 棱长必然要大于底面边长,故③中不能组成正六棱锥;④显然错误,故选 A. 答案 A 6.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

A

B

C

D

第二讲

空间几何体的三视图与直观图

一、知识梳理 1、投影:区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2、三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形; 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图; 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图; 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图; 注: (1)俯视图画在正视图的下方, “长度”与正视图相等;侧视图画在正视图
4

的右边, “高度”与正视图相等, “宽度”与俯视图。 (简记为“正、侧一样 高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”. (2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。 3、 (1)直观图:——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。 直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 (2)斜二测法: step1:在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy, (即取 ?xoy ? 90? ) ; step2:画直观图时,把它画成对应的轴 o ' x ', o ' y ' ,取 ?x ' o ' y ' ? 45?(or135?) ,它 们确定的平面表示水平平面; step3:在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行 性不变,平行于 x 轴(或在 x 轴上)的线段保持长度不变,平行于 y 轴(或在 y 轴上)的线段长度减半。 同步练习 (一) 、选择题 1、在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E、F 分别是 BC、CC′ 的中点, P 是棱 A′B′上不同于 A′、 B′的任一点. 则截面 PEF 在面 ADD′A′上的投影是( ) A.矩形 B.梯形 C.直角三角形 D.等腰三角形

2.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体为( A.三棱柱 C.四棱柱 B.三棱锥 D.四棱锥

)

6.三视图如图所示的几何体是( A.三棱锥 C.四棱台

) B.四棱锥 D.三棱台

7.如图所示,下列几何体各自的三 视图中, 有且仅有两个视图相同的是
5

(

)

A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 8.关于斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是( ) A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边 形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 11.如图,直观图表示的平面图形是( )

A.任意三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.钝角三角形

17. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示, 已知 A′C′=3, B′C′=2, 则 AB 边上的中线的实际长度为________.

18.如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图,则△AOB 的面积是________.

第三讲
一、知识梳理 1、棱柱面积、体积公式:

空间几何体的表面积与体积
S直棱柱侧 ? c ? h S直棱柱全 ? c ? h ? 2S底,V棱柱 ? S底 ? h
(其中 c 为底面

周长,h 为棱柱的高) 。 2、圆柱面积、体积公式: S 圆柱侧= 2? rh ;S 圆柱全= 2? rh ? 2? r 2 ,V 圆柱=S 底 h= ? r 2 h (其中 r 为底面半 径,h 为圆柱高)
1 1 1 3、 棱锥面积、 体积公式: S 正棱锥侧= ch? , S 正棱锥全= ch? ? S 底 , V 棱锥= S底 ? h . 2 3 2
6

(其中 c 为底面周长, h? 侧面斜高,h 棱锥的高) 。
1 4、面积、体积公式:S 圆锥侧= ? rl ,S 圆锥全= ? r (r ? l ) ,V 圆锥= ? r 2 h (其中 3 r 为底面半径,h 为圆锥的高,l 为母线长) 。

5、棱台的表面积、体积公式: S全=S上底+S下底+S 侧,V棱台= (S+ SS ` ? S `)h , (其 中 S , S ` 是上,下底面面积,h 为棱台的高) 。 6、圆台的表面积、体积公式: S全=? r 2 ? ? R2 ? ? (R ? r )l , V 圆台 = (S+ SS ` ? S `)h= (? r 2 ? ? rR ? ? R2 )h , (其中 r,R 为上下底面半径,h 为高) 。
4 7、球面积、体积公式: S球 ? 4? R 2 ,V球 ? ? R 3 (其中 R 为球的半径) 。 3 二、同步练习 3.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形, 则截去 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( ) 2 7 4 5 A. B. C. D. 3 6 5 6
1 3 1 3

1 3

4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为 V1 和 V2 ,则

V1 : V2 ? (



A. 1 : 3 B. 1:1 C. 2 :1 D. 3 :1 5.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8 : 27 B. 2 : 3 C. 4 : 9 D. 2 : 9 6.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积及体
5

积为: A. 24? cm2 , 12? cm2 C. 24? cm2 , 36? cm2 B. 15? cm2 , 12? cm2 D. 以上都不正确

6

7.如图是一个空间几何体的三视图,如果直角三角形的 直角边长均为 1,那么几何体的体积为( )
7

A.1 1 C.3

1 B.2 1 D.6

8. 若某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体 积( ) 1 2 A.3 B.3 C.1 D.2 11.设正方体的表面积为 24 cm2,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是 ( ) A. 6π cm3 B.6 cm3 8 C. π cm3 3 4 D. π cm3 3

16.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 19 .若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ________.

22. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别 为 1、2、3,则此球的表面积为______

三视图与空间几何体作业
2.如图 7-1-10 所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中 水面的高度 h 随时间 t 变化的图象是( )

图 7-1-11

8

. 5.(2012· 珠海质检)如图 7-1-13①所示,直三棱柱的侧棱长和底面边长均 为 2,正视图和俯视图如图 7-1-13②③所示,则其侧视图的面积为________.

图 7-1-13 6.(2011· 深圳质检)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一 个球面上,则该球的表面积为( A.3πa2 C.12πa2 D.24πa2 ) B.6πa2

8 某几何体的三视图如图 7-2-10 所示,其中俯视图是个半圆,则该几何 体的表面积为( 图 7-2-10 3 A.2π B.π+ 3 3 C.2π+ 3 5 D.2π+ 3 )

9

9(2011· 广东高考)如图 7-2-11,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图) 和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )

A.4 3

B.4 C.2 3

D.2

10 高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的 图象如图所示,那么水瓶的形状是______.

10


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