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辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一数学上学期期中试题


辽宁省实验中学分校 2015-2016 学年度高一上学期期中考试 数学
本 试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分 钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用

0.5 毫米黑色自己的签字笔书写,字体 工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图 可先使用铅笔画出,确定后 必须使用黑色自己的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},M={3,4,5},N={1,3,6},则集合{2,7}= ( ) A. M ? N 2..函数 B . (CU M ) ? (CU N ) C . (CU M ) ? (CU N ) D. M ? N ( )

f ?x ? ? - x ?

1 的定义域为 x?3
C. (-∞,-3)∪(-3,0]

A.(-3,0] 3.若函数

B. (-3,1]

D. (-∞,-3)∪(-3,1] ( D.-3 ( )

f ? x ?满足 f ?x ? 1? ? 2 x ? 3 ,则 f ?0? ?

A.3 B.1 C.5 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上存在最小值的是 A.



y ? ?x ?1?

2

B.

y? x

C.

y ? 2x


D.

y ? log 2 x

5.设函数

f ?x ? ? 2 lg?2 x ? 1? ,则 f ?1 ?0?)的值为(

A.0 B.1 C.10 6.下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是 A.

D.不存在 ( ) D.

f ?x ? ? x
? 1 3

B.

f ?x ? ?

1 x

C.

f ?x ? ? ? x 3

f ?x ? ? x x
( )

7.已知 a ? 3 A.

,b

1 1 ? log 2 , c ? log 1 ,则 3 2 3
B.

a

>b>c

a

>c>b

C.c>

a

>b

D.c>b>

a
1

8.已知 y ? ①

f ?x? 是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是
; ②





y ? f ?x ?
A.①③

y ? f ?- x ? ; ③ y ? xf ?x ? ; ④ y ? f ?x ? ? x .
B.②③ C.①④ D.②④

9. 若函数

f ?x? ? ax2 ? bx ? 1 是定义在[-1- a ,2 a ]上的偶函数,则该函数的最大值为
5 B . 4 C . 3 D ( ) . 2

A



10.若 y ? 的零点

f ?x? 是奇函数,且 x0 是 y ? f ?x? ? e x 的一个零点,则 - x0 一定是下列哪个函数
( B. y ? )

A. y ? f ?- x?e x - 1 1 1.如果函数 y ?

f ?- x?e- x ? 1 C. y ? f ?x?e x -1

D. y ?

f ?x?e x ? 1

f ?x? 在区间 I 上是增函数,而函数 y ?

f ?x ? 在区间 I 上是减函数, 那么 x

称函数

y ? f ?x ? 是 区 间

I 上“缓增函数” ,区间 I 叫做“缓增区间” ,若函数

x2 3 f ?x ? ? ? x ? 是区间 I 上“缓增函数” ,则“缓增区间”I 为 2 2
A.[1,+∞) 12.已知 x1 , x 2 是函数 A.(0, B.[0,





3]

C.[0,1]

D.[1, (

3]


f ?x? ? ln x ? e ? x 的两个零点,则 x1 ? x2 所在区间是
B. (

1 ) e

1 ,1) e

C. (1,2)

D. (2,

e)

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知全集 U={x|0<x<9},A={x|1<x< a },若非空集合 A? U,则实数 a 的取值范围 是 ;

5 ?1? 14.计算: lg ? 2 lg 2 ? ? ? = 2 ?2?
2

?1



15.已知,幂函数

f ?x? ? x ?m ?2m?3 ?m ? Z ? 为偶函数,且在(0,+∞)上是增 函数,则


f ?2?

的值为

16.已知函 数 y ?

f ?x? 在定义域(0,+ ∞)上是单调函数,若对任意 x ∈(0,+∞) ,都有

2

1? ? f ? f ?x ? ? ? ? 2 ,则 x? ?

?1? f ? ? 的值是 ?5?



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物总额: (1)如果不超过 500 元,那么不予优 惠; (2)如果超过 500 元但不超过 1000 元,那么按标价给予 8 折优惠; (3)如果超过 1000 元,那么其中 1000 元给予 8 折优惠,超过 1000 元部分按 5 折优惠.设一次购物总额为 x 元,优惠后实际付款额为 y 元. (1)试写出用 x(元)表示 y(元)的函数关系式; (2)某顾客实际付款 1600 元,在这次优惠活动中他实际付款比购物总额少支出多少元?

18.(本小题满分 12 分) 已知

f ?x? ? 2 x , g ?x ? 是一次函数,并且点(2,2)在函数 f ?g ?x ??的图象上,点(2,5)

在函数 g

? f ?x ??的图象上,求 g ?x ? 的解析式.

19. (本小题满分 12 分) 已知二次函数

f ?x? ? ax2 ? bx ? c ( a, b, c ? R )

(1)若 b ? 2a, a ? 0 写出函数

f ? x ? 的单调递减区间;

(2)若 a ? 1, c ? 2 ,若存在实数 b 使得函数 求实数 b 的取值范围。

f ? x ? 在区间(0,2)内有两个不同的零点,

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 g

?x ? ? 1 ?

2 2 ?1
x

(1)判断函数 g

?x ?的奇偶性 ?x ? 在(-∞,0)上为减函数;
3

(2)用定义证明函数 g

21. (本小题满分 12 分) 设 f ?x ? 是 R 上的奇函数,且对任意的实数 a,b 当 a+b≠0 时,都有 ( 1 ) 若

f ?a ? ? f ?b ? >0 a?b
的 大 小 ;

a?b









f ?a ?, f ?b?

(2)若存在实数 x ∈[ 取值范围

1 3 , ]使得不等式 f ?x ? c ? ? f x ? c 2 >0 成立,试求实数 c 的 2 2

?

?

22. (本小题满分 12 分) 函数 f ? x ? ? log2 x ,当 0 ? m ? n 时,有 f ? n ? ? f ? m ? ? 2 f ? ⑴求 mn 的值; ⑵求证: 1 ? ? n ? 2 ? ? 2
2

? m?n? ?. ? 2 ?

4

辽宁省实验中学分校 2015-2016 学年度上学期期中考试 数学学科 答案 一、选择题 BCBAB CCDAC DB 二、填空题 13. (1,9] 14. -1 15. 16 16. 6 三、解答题

x, x ? 500 ? ? 17.解: (1)由题可知: y ? ?0.8 x ? 100,500 ? x ? 1000 ? 0.5 x ? 400, x ? 1000 ?

??????(5 分)

(2)∵y=1600>900, ∴x>1000, ∴500+400+0.5(x-1000)=1600, 解得,x=2400, 2400-1600=800, 故此人在这次优惠活动中他实际付款比购物总额少支出 800 元. ????(10 分) 18 则 . : 解 f[g : ( x 设 ) g ]= ( x ) , =ax+b g[f ( , x a ) ≠
x

0

; ;

2 ax ?b

]=a?2 +b

∴根据已知条件有 ?

? 2 2 a ?b ? 2 ?4a ? b ? 5
∴g(x)=2x-3.???????????????(12)分

∴解得 a=2,b=-3;

(1)

f ? x ?的单调递减区间是 ?- 1, ? ? ?,??????(4 分)

? ? ? b2 ? 8 ? 0 ? ? f ?0 ? ? 2 ? 0 (2) ? f ?2 ? ? 6 ? 2b ? 0 ? b ? 0?? ?2 ? 2
x

- 3 ? b ? ?2 2 ????(12 分)

20.解: (1) g

?x ? ? 2 x ? 1 , g ?- x ? ? 2 - x ? 1 ? 2
-x

2 ?1
2

2 ?1

?1 ? ? g ?x ?, 为奇函数 ???(6 分) 1? 2x
x

证明: (2)设 x1<x2<0,

2?2 x ? 2 x ? 则 g ?x1 ? - g ?x2 ? ? x ? 0, ?2 ?1??2 x ? 1?
1 1 2

, ∴g ∴g

?x1 ?)> g ?x2 ?
?x ?在(-∞,0)上为减函数.?????????????(12 分)
5

21. ∴







1





f =



x





R



的 >



函 0



, ,

f ?a ? ? f ?b ? a?b

f ?a ? ? f ?? b ? a ? ?? b ?

又 ∵ a > b , ∴ a-b > 0 , ∴ f ( a ) -f ( b ) > 0 , 即 f(a)>f(b). ????????? ??????(6 分) ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , a > b 时 , 都 有 ∴ f ( x ) 在 R 上 ∵ f ( x ) 为 2 ∴ f ( x-c ) +f ( x-c ) > 0 等 价 于 2 ∴ 不 等 式 等 价 于 x-c > c -x ∵ 存 在 实 数 x ∈ [ ∴ c +c
2

f ( a ) > f ( b ) 单 调 递 增 奇 函 数 2 f ( x-c ) > f ( c -x 2 , 即 c +c < 2x c +c < 2x <
2

, , , ) ,

1 3 , 2 2
3 ,

] 使 得 不 等 式 即 c +c-3
2

成 立 , 0 ,



解得 ,c 的取值范围为( ?

1 ? 13 13 ? 1 , ) .?????????????(12 分) 2 2
2 2

22. 解: ⑴由 f ? n ? ? f ? m? 得 log 2 m ? log 2 n ,即 log22 m ? log22 n,

log22 m ? log22 n =0


? log2 m ? log2 n?? log2 m ? log2 n? ? 0
??????(6 分)

即 mn =1 或 m ? n (与题目不符,舍去) ⑵证明:∵ 0 ? m ? n , mn =1 ∴0 ? m ?1? n 由 f ? n? ? 2 f ?
2

? m?n? ?得 ? 2 ?

n?

m2 ? 2mn ? n2 4

2 整理得 ? n ? 2 ? ? 2 ? m

∵ 0 ? m ? 1,?0 ? m ? 1,?1 ? 2 ? m ? 2
2 2

即1 ? ? n ? 2 ? ? 2
2

???????????????(12)分

6


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