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河南省新乡市第一中学2015-2016学年高二下学期第二次周练数学(文科重点班)试题 Word版含答案


新乡市一中高二数学周周考二(文科) 命题人:宋卫红 一、选择题(每题 5 分) 审题人 :洪桥

1. i 是虚数单位,复数 A. ?i C. ?

5 ? 2i ?( 2 ? 5i



B. i D. ?

21 20 ? i 29 29

4 10 ?

i 21 21


2.若曲线 y ? x 2 ? ax ? b 在点(0,b)处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( A. a ? 1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ?1
2

B. a ? ?1, b ? 1 D. a ? ?1, b ? ?1

3.若函数 f ? x ?=x +2x+a ln x 在(0,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? 0 B. a ? 0
x

C. a ? ?4

D. a ? ? 4

4.已知点 P 在曲线 y ? A.∪∪

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1

C.∪∪∪时,函数 y=f(x)的图象恒在直线 l 下方,则 c 的取值范围是________. 15 .观察下列各式: a ? b ? 1, a ? b ? 3, a ? b ? 4, a ? b ? 7, 是 a5 ? b5 ? 11...... 则
2 2 3 3 4 4

a10 ? b10 ? _____________;
16.若曲线 y ? 值是_______.

x 在点 P(a,a ) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 ,则实数 a 的

-1-

答题卷 二、填空:

13. ___________

14._______________

15.____________

16._______________

三、解答题 17.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 在 x ? 1 处取得极值 c ? 4 . (1)求 a, b ; (2)设函数 y ? f ( x ) 为 R 上的奇函数,求函数 f ( x) 在区间 (?2, 0) 上的极值.

-2-

18.设函数 f ? x ? ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d ? a ? 0 ? ,且方程 f ? ? x ? ? 9x ? 0 的两个根分别为 1,4. 3

(1)当 a ? 3 且曲线 y ? f ? x ? 过原点时,求 f ? x ? 的解析式; (2)若 f ? x ? 在 ? ??, ??? 内无极值点,求 a 的取值范围.

19.某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取 80 名学生,得到男生身高 情况的频率分布直方图(图(1)和女生身高情况的频率分布直方图(图(2) ) .已知图(1) 中身高在 170~175cm 的男生人数有 16 人。

-3-

(I)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人? (II)根据频率分布直方图,完成下列的 2×2 列联表,并判断能有多大(百分几)的把 握认为“身高与性别有关”?

(Ⅲ)在上述 80 名学生中,从身高在 170~175cm 之间的学生按男、女性别分层抽样的方法, 抽出 5 人,从这 5 人中选派 3 人当旗手,求 3 人中恰好有一名女生的概率。 参考公式:

20.已知函数 f(x)=x +2x+alnx(a∈R) . (1)当时 a=﹣4 时,求 f(x)的最小值;
-4-

2

(2)若函数 f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数 a 的取值范围.

21.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ln x, h( x) ? x2 ? x ? a . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)设函数 k ( x) ? f ( x) ? h( x) ,若函数 k ( x) 在 [1 ,3] 上恰有两个不同的零点,求实数 a 的取 值范围.

22.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销

-5-

售量 y (单位: t )和年利润 z (单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi 和年销售量

yi ? i ? 1, 2,? ,8? 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

? ? y

?? w

? x
46 .6 563 6 . 8

? ( xi ? x)2
i ?1

8

? ( wi ? w)2
i ?1

8

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

8

? (w ? w)( y
i ?1 i

8

i

? y)

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi = xi , w =

??

1 8

?w
i ?1

8

i

(Ⅰ)根据散点图判断 , y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传 费 x 的回归方程类型(给出判断即可); (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(Ⅱ)的结果回答下列 问题: (ⅰ)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ⅱ)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,??, (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为:

?= ?

? (u
i ?1 n

n

i

? u )(vi ? v)
i

? (u
i ?1

? =v ? ? ?u ,?

? u )2

-6-

参考答案 1.A 【解析】 试题分析:

5 ? 2i (5 ? 2i)(2 ? 5i) 10 ? 25i ? 4i ? 10i 2 ? ? ? ?i ,故选 A. 2 ? 5i (2 ? 5i)(2 ? 5i) 29

5 ? 2i ?5i 2 ? 2i ?i(2 ? 5i) ? ? ? ?i . 另解: 2 ? 5i 2 ? 5i 2 ? 5i
考点:复数的运算. 2.A 【解析】 试题分析:? y ? x2 ? ax ? b,? y ' ? 2 x ? a .由题意可知点 ? 0, b ? 即为切点,由切线方程可知 切线的斜率 k ? 1 ,由导数的几何意义可知 y '
x?0

? 2 ? 0 ? a ? 1.解得 a ? 1 ,将点 ? 0, b ? 代入

切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 可得 b ? 1 .故 A 正确. 考点:导数的几何意义. 3.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 f ( x) 在 ( 0 , 1 ) 上 单 调 递 减 , 所 以 当 x ∈ ( 0 , 1 ) 时 ,

a 2 x2 ? 2 x ? a f ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? 0 ,所以 g ? x ?=2x2 ? 2x ? a ? 0 在 x ? ? 0,1? 时恒成立, x x
所以 g ? 0? ? 0 , g ?1? ? 0 ,即 a ? ?4 , ,故选 D. 考点:利用导数研究函数的单调性. 4.D 【解析】

4e x x 2 x x 2 x 试题分析: y ' ? ? x ,又 (e ? 1) ? 4e ? (e ?1) ? 0 (当 e ? 1 时取等号) ,所以 2 (e ? 1) 0? (e x ? 1)2 ? 4e x ? 0 ,
故选 D.

4e x ?a n t 所以 ?1 ? y ' ? 0 , 即 ?1 ? 1, (e x ? 1)2

? 0 ?

, 所以

3? ?? ?? , 4

-7-

考点:导数的几何意义,直角的倾斜角. 【名师点睛】1.导数的几何意义,函数在某点处的导数就是函数的图象在该点处切线的斜率. 2.直线的斜率 k 与倾斜角 α 的关系: (1)所有的直线都有倾斜角,当直线与 x 轴垂直,即倾斜 角为时,斜率不存在;(2)直线倾斜角的范围为上恒成立,则- =

c 1 3 2 3 4 > x -x + x+ ,设 g(x) 2 3 2 3

1 3 2 3 4 3 2 x -x + x+ ,则 g′(x)=x -2x+ ,则 g′(x)>0 恒成立,所以 g(x)在上单调递 3 2 3 2

增,所以 g(x)max=g(2)=3,则 c<-6. 15.123 【解析】 试题分析:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7, 11,?,其规律为从第三项起,每项等 于其前相邻两项 的和,所求值为数列中的第十项.继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18, 29,47,76,123,?,第十项为 123,即 a10 ? b10 ? 123,故答案为 123. 考点:数列的简单应用、推理与证明. 16.4 【解析】 试题分析:由 y ?
'

1 2 x

,则切线斜率 k?

1 2 a

, 则 过 P(a,a ) 的 切 线 方 程

为: y ? a ?

1 2 a

? x ? a ? ,与坐标轴交点分别 为 ? ? 0,
?

?

a? ? , ? ?a, 0 ? ,又所成三角形面积为 2, 2 ? ?

可得

1 a ? ? a ? 2 ,所以 a ? 4 . 2 2

考点:导数的应用. 17.(1) ?

?a ? 2 ?b ? ?6
f (?1) ? ?2 ? 6 ? 4 无极小值.

(2) f ( x) 在 x ? ?1 处有极大值 【解析】 试题分析:∵ f ?( x) ? 3ax 2 ? b (1)∴ ?

? f (1) ? c ? 4 ? f ?(1) ? 0

∴?

?a ? b ? c ? c ? 4 ?3a ? b ? 0

∴?

?a ? 2 ?b ? ?6

-8-

(2)因为其为奇函数∴ f ( x ) ? 2 x 3 ? 6 x 令 f ?( x) ? 0 ∴ x ? ?1 或 1 ∵ x ? (?2, 0)

∴ f ?( x) ? 6 x2 ? 6 ? 6( x ? 1)( x ? 1) ∴ x ? ?1

∴当 x ? ( ?2, ?1), f ?( x ) ? 0 ∴ f ( x) 在 x ? ?1 处有极大值

x ? ( ?1, 0), f ?( x) ? 0

f (?1) ? ?2 ? 6 ? 4 无极小值.

考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值。 点评:中档题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究导数的正负,明确函数的单调性。 判断函数的驻点是何种类型的极值点。 18. (1) f ? x ? ? x ? 3x ?12x ; (2) ?1,9? ;
3 2

【解析】 试题分析: (1)先求出函数的导数 f ? ? x ? ? ax ? 2bx ? c ,根据方程 f ? ? x ? ? 9 x ? 0 的两个根
2

分别为 1,4 得到关于 a, b, c 的方程组,再依据 a ? 3 且曲线 y ? f ? x ? 过原点,分别求出 (2)函数 f ? x ? 在 ? ??, ??? 内无极值点,再 a, b, c, d 的值,从而求得函数 f ? x ? 的解析式;
2 依据 a ? 0 可知 f ? ? x ? ? ax ? 2bx ? c ? 0 在 ? ??, ??? 内恒成立, 可以得到 ?

?? ? 0 , 解出 a 的 ?a ? 0

取值范围即可; 试题解析:由 f ? x ? ?
2

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d ? a ? 0 ? ,得 f ? ? x ? ? ax2 ? 2bx ? c . 3

由于 f ? ? x ? ? 9x ? ax ? ? 2b ? 9? x ? c ? 0 的两个根分别为 1,4, ??

?a ? 2b ? c ? 9=0 (*) ?16a ? 8b ? c ? 36 ? 0

(1)当 a ? 3 时,由(*)式得 ?

?2b ? c ? 6=0 ?b ? ?3 解得 ? ,又因为曲线 y ? f ? x ? 过原点, ?8b ? c ? 12 ? 0 ?c ? 12

3 2 所以 d ? 0 ,故 f ? x ? ? x ? 3x ?12x .

(2)由于 a ? 0 , f ? x ? ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 在 ? ??, ??? 内无极值点, 3

? f ? ? x ? ? ax2 ? 2bx ? c ? 0 在 ? ??, ??? 内恒成立.由(*)式得 2b ? 9 ? 5a, c ? 4a ,
又 ? = ? 2b ? ? 4ac ? 9 ? a ? 1?? a ? 9 ? .解 ?
2

? ?? =9 ? a ?1?? a ? 9 ? ? 0 得 a ??1,9? ,即 a 的取值范 ? ?a ? 0

围为 ?1,9? .

-9-

考点:导数的应用; 19. (1)40,40; (2)能有 99.9%的把握认为身高与性别有关; (3)

6 3 ? . 10 5

【解析】 (1)由频率分布直方图先得身高在 170 ~175cm 的男生的频率为 0.08 ? 5 ? 0.4 ; (2)

K2 ?

80 ? (30 ? 36 ? 10 ? 4) 2 ? 34.58 ? 10.828 ; (3)古典概型. 40 ? 40 ? 34 ? 46

解: (Ⅰ)直方图中,因为身高在 170 ~175cm 的男生的频率为 0.08 ? 5 ? 0.4 , 设男生数为 n1 ,则 0.4 ?

16 ,得 n1 ? 40 .???????????????4 分 n1

由男生的人数为 40,得女生的人数为 80-40=40. ( Ⅱ ) 男 生 身 高 ? 170 cm 的 人 数 ? (0.08 ? 0.04 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 40 ? 30 , 女 生 身 高

? 170 cm 的人数 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 ,所以可得到下列二列联表:

≥170cm <170cm 男生身高 30 女生身高 4 总计 34 10 36 46

总计 40 40 80

????????????????6 分

K2 ?

80 ? (30 ? 36 ? 10 ? 4) 2 ? 34.58 ? 10.828 ,?????????????7 分 40 ? 40 ? 34 ? 46

所以能有 99.9%的把握认为身高与性别有关; ?????????????8 分 (Ⅲ)在 170~175cm 之间的男生有 16 人,女生人数有 4 人. 按分层抽样的方法抽出 5 人,则男生占 4 人,女生占 1 人. ?????????9 分 设男生为 A1 , A2 , A3 , A4 ,女生为 B . 从 5 人任选 3 名有: ( A 1, A 2, A 3 ), ( A 1 , A2 , A4 ), ( A 1 , A2 , B), ( A 1, A 3 , A4 ), ( A 1, A 3 , B), ( A 1 , A4 , B),

( A2 , A3 , A4 ), ( A2 , A3 , B), ( A2 , A4 , B), ( A3 , A4 , B) ,共 10 种可能, ??10 分
3 人 中 恰 好 有 一 名 女 生

- 10 -

有 : ( A1 , A2 , B), ( A1 , A3 , B), ( A1 , A4 , B), ( A2 , A3 , B), ( A2 , A4 , B), ( A3 , A4 , B), 共 6 种 可 能, 故所求概率为 ?????????11 分

6 3 ? . 10 5

????????????????12 分

20. (1)当 x=1 时,函数 f(x)取最小值 3. (2)实数 a 的取值范围是{a|a≥0,或 a≤﹣4}. 【解析】 试题分析: (1)当 a=﹣时,f(x)=x +2x﹣4lnx,x>0. 由此能求出 f(x)的极小值. (2)由 f(x)=x +2x+alnx(a∈R) ,知
2 2



,设 g(x)=2x +2x+a,由函

2

数 f(x)在区间(0,1)上为单调函数,能求出实数 a 的取值范围. 解: (1)当 a=﹣4 时,f(x)=x +2x﹣4lnx,x>0 , 令 f′(x)=0,得 x=﹣2(舍) ,或 x=1, 列表,得 x (0,1) ﹣ ↓ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↑
2

f′(x) f(x)

∴f(x)的极小值 f(1)=1+2﹣4ln1=3, ∵f(x)=x +2x﹣4lnx,x>0 只有一个极小值, ∴当 x=1 时,函数 f(x)取最小值 3. (2)∵f(x)=x +2x+alnx(a∈R) , ∴ 设 g(x)=2x +2x+a, ∵函数 f(x)在区间(0,1)上为单调函数, ∴g(0)≥0,或 g(1)≤0, ∴a≥0,或 2+2+a≤0, ∴实数 a 的取值范围是{a|a≥0,或 a≤﹣4}. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系.
2 2 2

, (x>0) ,

- 11 -

3 ? 2ln 3] . 21. (Ⅰ)极小值为 1,无极大值; (Ⅱ) (2 ? 2ln 2 ,

【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求出 f ?( x) ? 0 时 x 的值,再讨论满足 f ?( x) ? 0 的点附近的层数的符号的变 化情况,从而求得极值; (Ⅱ)先求出 k ( x) 的解析式,然后通过研究函数 k ( x) 的在 [1 ,3] 上的 单调性,根据在 [1 ,3] 上恰有两个不同的零点,建立不等式组求得实数 a 的取值范围.
2 试题解析: (Ⅰ) f ?( x) ? 2 x ? , 令 f ?( x) ? 0 ,因为 x ? 0 ,所以, x ? 1 . x

1) 上单调递减;在 (1,? ?) 上单调递增,所以 f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1 ,无 又因为 f ( x) 在 (0 ,

极大值.
2 (Ⅱ) k ( x) ? f ( x) ? h( x) ? ?2ln x ? x ? a ,所以 k ?( x) ? ? ? 1 ,令 k ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 . x

( 3 ] , 时,f ?( x) ? 0 . 当 x ? [1 ,2) 时,f ?( x) ? 0 ; 当 x ?2 故 k ( x) 在 x ? [1 ,2) 上单调递减; 在 (2 ,3]

? k (1) ≥ 0 ? 上单调递增,所以 ? k (2) ? 0 ,即 2 ? 2ln 2 ? a≤3 ? 2ln 3 . ? k (3) ≥ 0 ?
3 ? 2ln 3] . 所以实数 a 的取值范围是 (2 ? 2ln 2 ,

考点:1、导数与极值的关系;2、利用导数研究函数的单调性;3、函数零点. 22 . (Ⅰ) y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型(Ⅱ)

? y ? 100.6? 68 x (Ⅲ)46.24
【解析】 试题分析: (Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数; (Ⅱ)令 w ?

x,

先求出建立 y 关于 w 的线性回归方程,即可 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ) (ⅰ)利用 y 关于 x 的 回归方程先求出年销售量 y 的预报值,再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利 润 z 的预报值; (ⅱ)根据(Ⅱ) 的结果知,年利润 z 的预报值,列出关于 x 的方程,利用二 次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析: (Ⅰ)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回 归方程类型. ( Ⅱ ) 令 w?

x , 先 建 立 y 关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 , 由 于

- 12 -

?? d

? (w ? w)( y ? y )
i ?1 i i

8

? ( w ? w)
i ?1 i

8

=

2

108.8 =68 , 16

? ? y?d ? w =563-68×6.8=100.6. ∴c
∴ y 关于 w 的线性回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68w , ∴ y 关于 x 的回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68 x . (Ⅲ) (ⅰ)由(Ⅱ)知,当 x =49 时,年销售量 y 的预报值

? y ? 100.6 ? 68 49 =576.6,

? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 . z
(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ? x ? 13.6 x ? 20.12 , z
∴当 x =

13.6 ? 取得最大值. =6.8 ,即 x ? 46.24 时, z 2

故宣传费用为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识 【名师点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用,是源于课本的试题类 型,解答非线性拟合问题,先作出散点图,再根据散点图选择合适的函数类型,设出回归方 程,利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程,求出样本数据换元后的值,然后根据 线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数,即可求出非线性 回归方程,再利 用回归方程进行预报预测,注意计算要细心,避免计算错误.

- 13 -


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