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重庆市万州区2015届高考数学一诊试卷(理科)


重庆市万州区 2015 届高考数学一诊试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.选出正确的答案,并将其字母代号填在答题卡规定的位置上. 1. (5 分)设集合 U={1,2,3,4,5},M={3,5},N={1,4,5},则 M∩(?UN)=() A.{5} B.{3} C.{

2,3,5} D.{1,3,4,5} 2. (5 分)已知等差数列{an}中,a3+a7﹣a10=0,a11﹣a4=4,记 Sn=a1+a2+…+an,则 S13=() A.52 B.56 C.68 D.78 3. (5 分)抛物线 y =8x 的焦点到直线 A. B. 2
2 2 2

的距离是() C. D.1

4. (5 分)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△ OAB 的面积为 ”的() A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为()

A.﹣3

B. ﹣

C. 2

D.

6. (5 分)8 个人坐成一排,现要调换其中 3 个人中每一个人的位置,其余 5 个人的位置不变, 则不同的调换方式有() 3 3 3 3 2 3 A.C8 B. C8 A 8 C. C 8 A 2 D.3C8

7. (5 分)x,y 满足约束条件

,若 z=y﹣2ax 取得最大值的最优解不唯一,则

实数 a 的值为() A. 或﹣1 B.1 或﹣ C. 2 或 1 D.2 或﹣1

8. (5 分)已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2 且 f( A.﹣4 B. 2 C. 0

)=4,则 f 的值为() D.﹣2

9. (5 分)f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)在 x=1 处取最大值,则() A.f(x﹣1)一定是奇函数 B. f(x﹣1)一定是偶函数 C. f(x+1)一定是奇函数 D.f(x+1)一定是偶函数

10. (5 分) 已知 O 是△ ABC 的外心, AB=6, AC=10, 若 的面积为() A.24 B. C.18 或

=x

+y

, 且 2x+10y=5, 则△ ABC

D.24 或 20

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分)把答案填写在答题卷相应的位置上, 其中 11~13 是必做题,14~16 是选做题.(一)必做题(11~13 题) 11. (5 分)若复数 是纯虚数,则实数 a=.

12. (5 分) 设双曲线的两个焦点分别为 F1, F2, 若双曲线上存在点 P 满足|PF1|: |F1F2|: |PF2|=6: 5:3,则双曲线的离心率等于. 13. (5 分)已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)图象上存在关 y 轴对 称的点,则 a 的取值范围是.
2 x 2

三、 【选修 4-1:平面几何选讲】 (共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 14. (5 分)如图,P 为⊙O 外一点,过 P 点作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B,过 PA 的 中点 Q 作割线交⊙O 于 C,D 两点,若 QC=1,CD=3,则 PB=.

四、 【选修 4-4:极坐标与参数方程】 (共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 15. (5 分)在极坐标系中,点(2, )到直线 ρsin(θ﹣ )=1 的距离是.

五、 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 16.已知关于 x 的不等式|x+1|+|x﹣2|≤(a+ ) ( +b)对任意正实数 a、b 恒成立,求实数 x 的取值范围.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卷的指定区域内. 17. (13 分)首届重庆三峡银行?长江杯乒乓球比赛于 2014 年 11 月 14﹣16 日在万州三峡之星 举行,决赛中国家乒乓队队员张超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛.根据以往经验, 单局比赛张超获胜的概率为 ,夏易正获胜的概率为 ,本场比赛采用五局三胜制,即先胜三 局的人获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.试求: (1)比赛以张超 3 胜 1 败而宣告结束的概率; (2)令 ξ 为本场比赛的局数.求 ξ 的概率分布和数学期望. 18. (13 分) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a1=10, a2 为整数, 且在前 n 项和中 S4 最大. (1) 求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,n∈N .
+

①求证:bn+1<bn≤ ; ②求数列{b2n}的前 n 项和 Tn. 19. (13 分)函数 f(x)= (1)求 m 的值; (2)解不等式 f(log2(x﹣1)﹣1)>f( (x﹣1)﹣ ) . (m>0) ,x1,x2∈R,当 x1+x2=1 时,f(x1)+f(x2)= .

20. (12 分)已知函数 f(x)=[2sin(x+

)+sinx]cosx﹣

sin x.

2

(1)若函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a(a>0)对称,求 a 的最小值; (2)若函数 y=mf(x)﹣2 在 x∈[0, ]存在零点,求实数 m 的取值范围.

21. (12 分)如图,椭圆长轴端点为 A,B,O 为椭圆中心,F 为椭圆的右焦点, 且斜率为

?

=1,

的直线 m 与椭圆交于不同的两点, 这两点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.

(1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为 M,直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,问: 是否存在直线 l,使点 F 恰为△ PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明 理由.

22. (12 分)设函数 f(x)=x +aln(x+1)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2. (1)求实数 a 的取值范围,并讨论函数 f(x)的单调性; (2)若对任意的 x∈(x1,+∞) ,都有 f(x)>k 成立,求实数 k 的取值范围.

2

重庆市万州区 2015 届高考数学一诊试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的.选出正确的答案,并将其字母代号填在答题卡规定的位置上. 1. (5 分)设集合 U={1,2,3,4,5},M={3,5},N={1,4,5},则 M∩(?UN)=() A.{5} B.{3} C.{2,3,5} D.{1,3,4,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可.

解答: 解:∵U={1,2,3,4,5},M={3,5},N={1,4,5}, ∴?UN={2,3},M∩(?UN)={3}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)已知等差数列{an}中,a3+a7﹣a10=0,a11﹣a4=4,记 Sn=a1+a2+…+an,则 S13=() A.52 B.56 C.68 D.78 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 已知两式相加由等差数列的性质可得 a7=4,再由求和公式和性质可得 S13=13a7,代 值计算可得. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a3+a7﹣a10=0,a11﹣a4=4, ∴两式相加可得(a3+a11)+a7﹣(a4+a10)=4, 由等差数列的性质可得 a3+a11=a4+a10=2a7, 代入上式可得 a7=4, ∴S13= 故选:A 点评: 本题考查等差数列的求和公式和性质, 熟练掌握公式并转化为 a7 是解决问题的关键, 属基础题. 3. (5 分)抛物线 y =8x 的焦点到直线 A. B. 2
2

=13a7=52,

的距离是() C. D.1

考点: 抛物线的简单性质;点到直线的距离公式. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 由抛物线 y =8x 得焦点 F(2,0) ,再利用点到直线的距离公式可得点 F(2,0)到 直线 的距离. 2 解答: 解:由抛物线 y =8x 得焦点 F(2,0) , ∴点 F(2,0)到直线 的距离 d= =1.

故选 D. 点评: 熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键. 4. (5 分)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△ OAB 的面积为 ”的() A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2 2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与圆相交的性质.

专题: 直线与圆;简易逻辑. 分析: 根据直线和圆相交的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:若直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点, 则圆心到直线距离 d= ,|AB|=2 ,
2 2

若 k=1,则|AB|= 性成立.

,d=

,则△ OAB 的面积为 ×

= 成立,即充分

若△ OAB 的面积为 ,则 S= 解得 k=±1,则 k=1 不成立,即必要性不成立. 故“k=1”是“△ OAB 的面积为 ”的充分不必要条件.

= ×2×

=

= ,

故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用三角形的面积公式,以及半径半弦 之间的关系是解决本题的关键. 5. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为()

A.﹣3

B. ﹣

C. 2

D.

考点: 循环结构. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,s 的值,当 i=4 时,不满足条件 i<4, 退出循环,输出 s 的值为 2. 解答: 解:执行程序框图,可得 i=0,s=2 满足条件 i<4,i=1,s= 满足条件 i<4,i=2,s=﹣

满足条件 i<4,i=3,s=﹣3 满足条件 i<4,i=4,s=2 不满足条件 i<4,退出循环,输出 s 的值为 2. 故选:C. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法, 每次循环正确得到 s 的值是解题的关键, 属于基础 题. 6. (5 分)8 个人坐成一排,现要调换其中 3 个人中每一个人的位置,其余 5 个人的位置不变, 则不同的调换方式有() 3 3 3 3 2 3 A.C8 B. C8 A 8 C. C 8 A 2 D.3C8 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 排列组合. 分析: 先考虑从 8 人中任选 3 人的方法数,再考虑 3 人位置全调的方法数,利用分步计数 原理可求. 3 解答: 解:从 8 人中任选 3 人有 C8 种,3 人位置全调,由于不能是自己原来的位置,因此 2 3 2 有 A2 种,故有 C8 A2 种. 故选 C. 点评: 本题主要考查排列组合知识,关键是问题的等价转化.

7. (5 分)x,y 满足约束条件

,若 z=y﹣2ax 取得最大值的最优解不唯一,则

实数 a 的值为() A. 或﹣1 B.1 或﹣ C. 2 或 1 D.2 或﹣1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=2ax+z 斜率 的变化,从而求出 a 的取值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣2ax 得 y=2ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=2ax+z 的斜率 k=2a>0,要使 z=y﹣2ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=2ax+z 与直线 2x﹣y+2=0 平行,此时 2a=2,即 a=1. 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y﹣2ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=2ax+z 与直线 x+y﹣2=0,平行,此时 2a=﹣1,解得 a=﹣ 综上 a=1 或 a=﹣ , 故选:B

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.注意要对 a 进行分类讨论. 8. (5 分)已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2 且 f( A.﹣4 B. 2 C. 0 )=4,则 f 的值为() D.﹣2

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先构造函数 F(x)=f(x)﹣2,然后判断出设 F(x)是奇函数,最后根据奇函数 的性质,求出 F 的值,进而求出 f 的值即可. 解答: 解:设 F(x)=f(x)﹣2, 则 F( )=f(x)﹣2=alog2 +blog3 =﹣(alog2x+blog3x)=﹣F(x) , ∴F=﹣f( )=﹣(4﹣2)=﹣2

∴f=F+2=﹣2+2=0 故选:C 点评: 此题主要考查了函数的奇偶性质的运用,考查了对数的运算性质,属于基础题,解 答此题的关键是构造出函数设 F(x)=f(x)﹣2,并判断出它是奇函数. 9. (5 分)f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)在 x=1 处取最大值,则() A.f(x﹣1)一定是奇函数 B. f(x﹣1)一定是偶函数 C. f(x+1)一定是奇函数 D.f(x+1)一定是偶函数 考点: 正弦函数的奇偶性;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意根据图象平移可以判定 A、B、C 是错误的,验证 D 即可. 解答: 解:f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)在 x=1 处取最大值 图象左移一个单位,是偶函数,即 f(x+1)是偶函数,所以判定 A、B、C 是错误的. 故选 D.

点评: 本题考查正弦函数的奇偶性,三角函数的最值,是基础题.

10. (5 分) 已知 O 是△ ABC 的外心, AB=6, AC=10, 若 的面积为() A.24 B. C.18 或

=x

+y

, 且 2x+10y=5, 则△ ABC

D.24 或 20

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 取 AC 中点为 D,则 OD⊥AC,把写为 = + ,然后用两种方法写出,由数量积

相等结合 2x+10y=5,需要分类讨论,当 x≠0 求得 cos∠BAC,进一步得到其正弦值,代入三 角形的面积公式求得三角形 ABC 的面积,当 x=0 时,得到三角形为直角三角形,求出面积, 问题得以解决 解答: 解:取 AC 的中点,则 OD⊥AC, 如图所示∵ ∴ ∵ ∴ ? ? =x ? =x = +y =(x +y = ? + + , +y ) =x| || |cos∠BAC+y =60x?cos∠BAC+100y, , = cos0°=5×10=50, ⊥

∴60x?cos∠BAC+100y=50 ∵2x+10y=5, ∴60xcos∠BAC=20x, 当 x≠0 时, ∴cos∠BAC= , ∴sin∠BAC= , =20

∴S△ ABC= AB?AC?sin∠BAC= ×6×10× 当 x=0 时,则 y= , ∴ ∴ =0 = + , ,

∴点 A,0,C 共线,

∴即点 O 为 AC 的中点, ∴三角形 ABC 以 B 为直角的直角三角形, ∴BC= = =8,

∴S△ ABC= AB?BC= ×6×8=24 故选:D

点评: 本题考查了向量在几何中的应用,考查了平面向量的数量积运算,考查了三角形面 积公式的应用,是中档题. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分)把答案填写在答题卷相应的位置上, 其中 11~13 是必做题,14~16 是选做题.(一)必做题(11~13 题) 11. (5 分)若复数 是纯虚数,则实数 a= .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 解答: 解:∵复数 ∴ =0, = = = + i 是纯虚数,

≠0,解得 a= .

故答案为: . 点评: 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,属于基础题. 12. (5 分) 设双曲线的两个焦点分别为 F1, F2, 若双曲线上存在点 P 满足|PF1|: |F1F2|: |PF2|=6: 5:3,则双曲线的离心率等于 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据|PF1|:|F1F2|:|PF2|=6:5:3,不妨设|PF1|=6m,|F1F2|=5m,|PF2|=3m,由双曲线 的定义和离心率公式,计算即可得到. 解答: 解:根据|PF1|:|F1F2|:|PF2|=6:5:3, 不妨设|PF1|=6m,|F1F2|=5m,|PF2|=3m,

由双曲线的定义可得 2a=|PF1|﹣|PF2|=3m, 又 2c=|F1F2|=5m, 则双曲线的离心率等于 故答案为: . 点评: 本题主要考查双曲线的定义,考查双曲线的离心率,属于基础题.
2 x 2

= ,

13. (5 分)已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)图象上存在关 y 轴对 称的点,则 a 的取值范围是(﹣∞, 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把函数图象点的对称问题转化为 a= 即可得出 a 的范围. 解答: 解:设 x>0,g(x)=x +ln(x+a)图象上一点 P(x,y) , 则 P′(﹣x,y)在函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)的图象上, ∴(﹣x) +e ﹣ =x +ln(x+a) , 化简得 a= 令 h(x)= 则 h′(x)=)= ﹣x 有解即可, ﹣x, ?(﹣e )﹣1=﹣
﹣x

) .

﹣x 有解即可,利用导数判出最大值,

2

2

x

2

﹣x

2

﹣1<0,

∴函数 h(x)在(0,+∞)上单调递减, 即 h(x)<h(0)= 要使 a= ﹣x 有解,

只需要 a< ,即可 故 a 的取值范围是(﹣∞, ) , 故答案为: (﹣∞, ) 点评: 本题考察函数的性质在求解方程有解中的应用,知识综合大,属于中档题. 三、 【选修 4-1:平面几何选讲】 (共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 14. (5 分)如图,P 为⊙O 外一点,过 P 点作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B,过 PA 的 中点 Q 作割线交⊙O 于 C,D 两点,若 QC=1,CD=3,则 PB=4.

考点: 专题: 分析: 得 PB. 解答:
2

与圆有关的比例线段. 选作题;立体几何. 2 利用切割线定理可得 QA =QC?QD,可求 QA,可得 PA,利用圆的切线长定理,可 解:∵QA 是⊙O 的切线,

∴QA =QC?QD, ∵QC=1,CD=3, 2 ∴QA =4, ∴QA=2, ∴PA=4, ∵PA,PB 是⊙O 的切线, ∴PB=PA=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查圆的切线长定理,考查切割线定理,考查学生的计算能力,属于基础题. 四、 【选修 4-4:极坐标与参数方程】 (共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 15. (5 分)在极坐标系中,点(2, )到直线 ρsin(θ﹣ )=1 的距离是 1.

考点: 专题: 分析: 解答:

点的极坐标和直角坐标的互化. 坐标系和参数方程. 把极坐标化为直角坐标的方法,利用点到直线的距离公式求得结果. 解:根据极坐标和直角坐标的互化公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ, )即( ,1) ; y=1,即 x﹣ y+2=0, =1,

可得点(2, 直线 ρsin(θ﹣ 故点(

)=1 即﹣ x+

,1)到直线 x﹣

y+2=0 的距离为

故答案为:1. 点评: 本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基 础题. 五、 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 16.已知关于 x 的不等式|x+1|+|x﹣2|≤(a+ ) ( +b)对任意正实数 a、b 恒成立,求实数 x 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用;不等式. 分析: 将不等式的右边化简, 运用基本不等式可得最小值为 4, 则需解不等式|x+1|+|x﹣2|≤4, 讨论当 x≤﹣1 时,当﹣1<x<2 时,当 x≥2 时,去绝对值,解不等式,最后求并集即可. 解答: 解:由于 a,b>0, (a+ ) ( +b)=2+ab+ =4,当且仅当 ab=1 时取“=”号, ∴(a+ ) ( +b)的最小值为 4, ∴|x+1|+|x﹣2|≤4, 当 x≤﹣1 时,﹣x﹣1+2﹣x≤4,解得,x≥﹣ ,则有﹣ ≤x≤﹣1; 当﹣1<x<2 时,x+1+2﹣x≤4,即 3≤4 成立,则有﹣1<x<2; 当 x≥2 时,x+1+x﹣2≤4,解得,x≤ ,则有 2≤x≤ . 综上 x 的取值范围是[﹣ , ]. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查基本不等式的运用:求最值,考查不等式恒成 立问题转化为求最值问题,考查运算能力,属于中档题. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卷的指定区域内. 17. (13 分)首届重庆三峡银行?长江杯乒乓球比赛于 2014 年 11 月 14﹣16 日在万州三峡之星 举行,决赛中国家乒乓队队员张超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛.根据以往经验, 单局比赛张超获胜的概率为 ,夏易正获胜的概率为 ,本场比赛采用五局三胜制,即先胜三 局的人获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.试求: (1)比赛以张超 3 胜 1 败而宣告结束的概率; (2)令 ξ 为本场比赛的局数.求 ξ 的概率分布和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题: 概率与统计. 分析: (1)以张超 3 胜 1 负而结束比赛,则张超第 4 局必胜而前 3 局必有 1 局败.由此能 求出比赛以张超 3 胜 1 败而宣告结束的概率. (2)ξ 的所有取值为 3,4,5,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和 Eξ. 解答: 解: (1)以张超 3 胜 1 负而结束比赛,则张超第 4 局必胜而前 3 局必有 1 局败. ∴所求概率为 (2)ξ 的所有取值为 3,4,5, P(ξ=3)= ,

P(ξ=4)= P(ξ=5)= ∴ξ 的分布列为: ξ 3 P ∴Eξ=3× +4× +5× = . ,



4

5

点评: 本题考查概率的求法及应用,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解 题时要认真审题,是中档题. 18. (13 分) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a1=10, a2 为整数, 且在前 n 项和中 S4 最大. (1) 求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,n∈N .
+

①求证:bn+1<bn≤ ; ②求数列{b2n}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式及其性质即可得出; (2)①利用数列的单调性即可证明; ②利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)由 a1=10,a2 为整数,等差数列{an}的公差 d 为整数. 又 Sn≤S4,故 a4≥0,a5≤0,即 10+3d≥0,10+4d≤0, 解得 ,

因此 d=﹣3. 数列{an}的通项公式为 an=10﹣3(n﹣1)=13﹣3n. (2)①证明:由(1)可知:bn= = ,

∴bn+1﹣bn=

<0,

∴数列{bn}是单调递减数列,{bn}的最大项为 b1= . ∴bn+1<bn≤ . ②解: ,



两式相减可得

=



= ∴Tn= .





点评: 本题考查了数列的单调性、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式性质及其 前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 19. (13 分)函数 f(x)= (1)求 m 的值; (2)解不等式 f(log2(x﹣1)﹣1)>f( (x﹣1)﹣ ) . (m>0) ,x1,x2∈R,当 x1+x2=1 时,f(x1)+f(x2)= .

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 得 ,代入 x1+x2=1 化简可得

或 2﹣m=0;从而解 m; (2)由(1)知 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数,故不等式 可化为

,从而解得.

解答: 解: (1)由

得,



∴ ∵x1+x2=1, ∴ ∴ 或 2﹣m=0; ,



∵ 而 m>0 时 2﹣m<2, ∴ ,



∴m=2. (2)由(1)知 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数, 由 得,







∴不等式的解集为



点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用,属于中档题. )+sinx]cosx﹣
2

20. (12 分)已知函数 f(x)=[2sin(x+

sin x.

(1)若函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a(a>0)对称,求 a 的最小值; (2)若函数 y=mf(x)﹣2 在 x∈[0, ]存在零点,求实数 m 的取值范围.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由条件利用三角函数的恒等变换求得 f(x)=2sin(2x+ 的图象关于直线 x=a 对称,可得 2a+ (2)设 x0∈[0, =kπ+ ) ,由函数 y=f(x)

k∈z,由此求得 a 的最小正值. ,再利用正弦函数的

],由 mf(x0)﹣2=0,可得 m=

定义域和值域求得 sin(2x0+

)的范围,可得 m 的范围. )+sinx]cosx﹣ sin x=2sinxcosx+
2

解答: 解: (1)函数 f(x)=[2sin(x+ sin x=sin2x+
2

cos x﹣

2

cos2x=2sin(2x+

) .

又因为函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称,

所以 2a+

=kπ+

k∈z,即 a=

+ .



又因为 a>0,所以 a 的最小值为 (2)设 x0∈[0,

],满足 mf(x0)﹣2=0,可得 m=

=





≤2x0+



,∴﹣ ≤sin(2x0+

)≤1,

∴m∈(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) . 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的图象的对称性,正弦函 数的定义域和值域,属于基础题.

21. (12 分)如图,椭圆长轴端点为 A,B,O 为椭圆中心,F 为椭圆的右焦点, 且斜率为

?

=1,

的直线 m 与椭圆交于不同的两点, 这两点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.

(1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为 M,直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,问: 是否存在直线 l,使点 F 恰为△ PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明 理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设椭圆方程为
2 2

,利用数量积运算可得

,可

得 1=a ﹣c .直线 m 的方程为

,x=c 时

代入椭圆方程可得

,联立解得即可.

(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,且 F 恰为△ PQM 的垂心,设 P(x1,y1) ,Q(x2, 2 2 y2) ,由 kMF=﹣1 可得 kPQ=1.设直线 l 为 y=x+m,与椭圆方程联立可得 3x +4mx+2m ﹣2=0

(*) .把根与系数的关系代入 出. 解答: 解: (1)设椭圆方程为 ,

,化简整理即可得


2 2 2

,即 (a+c)?(a﹣c)=1=a ﹣c ,

2

2

∴b =a ﹣c =1① 由题意知,直线 m 的方程为 ,对于 当 x=c 时

由已知得,点 由①②得
2 2

在椭圆上,∴

,②

c =1,∴a =2. .

故椭圆方程为

(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,且 F 恰为△ PQM 的垂心, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , ∵M(0,1) ,F(1,0) ,∴kMF=﹣1. ∵PQ⊥MF, ∴kPQ=1. 设直线 l 为 y=x+m, 联立 得 3x +4mx+2m ﹣2=0(*) .
2 2

∴ ∵



. ,

又 yi=xi+m(i=1,2) ,得 x1(x2﹣1)+(x2+m) (x1+m﹣1)=0 即 ,

∴ 化简得 3m +m﹣4=0 解得
2

, 或 m=1, 符合条件.

经检验 m=1 不符合条件,故舍去, 则直线 l 的方程为: .

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根 与系数的关系、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算 能力,属于难题. 22. (12 分)设函数 f(x)=x +aln(x+1)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2. (1)求实数 a 的取值范围,并讨论函数 f(x)的单调性; (2)若对任意的 x∈(x1,+∞) ,都有 f(x)>k 成立,求实数 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求导 >﹣1) ,则其对称轴为 ,从而可得 (x>﹣1) ,再令 g(x)=2x +2x+a(x ;从而解 a;
2 2

可知

, 其中﹣1<x1<x2, 从而由导数确定

函数的单调性; (2)由(1)可知 f(x)在区间(x1,+∞)上的最小值为 f(x2) ,从而得到 ,从而可得 ,化简 , 设h (x) =x ﹣ (2x +2x) ln(x+1) , 其中 ;求导 h′(x)=2x﹣2 (2x+1)ln(x+1) ﹣2x=﹣2 (2x+1)ln(x+1) ,
2 2

从而化恒成立问题为最值问题. 解答: 解: (1)由 f(x)=x +aln(x+1)可得 令 g(x)=2x +2x+a(x>﹣1) ,则其对称轴为
2 2

(x>﹣1) , ,

故由题意可知 x1,x2 是方程 g(x)=0 的两个均大于﹣1 的不相等的实数根, 其充要条件为 ;

解得



可知

,其中﹣1<x1<x2,故

①当 x∈(﹣1,x1)时,f′(x)>0,即 f(x)在区间(﹣1,x1)上单调递增, ②当 x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,即 f(x)在区间(x1,x2)上单调递减, ③当 x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0,即 f(x)在区间(x2,+∞)上单调递增; (2)由(1)可知 f(x)在区间(x1,+∞)上的最小值为 f(x2) ,

又由于 g(0)=a>0,因此 又由 可得 从而 , ,




2 2

设 h(x)=x ﹣(2x +2x)ln(x+1) ,其中



则 h′(x)=2x﹣2(2x+1)ln(x+1)﹣2x=﹣2(2x+1)ln(x+1) , 由 知:2x+1>0,ln(x+1)<0, 上单调递增; ; .

故 h′(x)>0,故 h(x)在 所以, 所以,实数 k 的取值范围为

点评: 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用,属于中档题.


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