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第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


第十章

计数原理

第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题 1.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的 选法有( A.6 种 ). B.12 种 C.24 种 D.30 种

解析 分步完成.首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门,有 4 种方法,其次 甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门,有 3 种方法,最后乙从剩下的 2 门课程中 任选 1 门,有 2 种方法,于是,甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共 有 4×3×2=24(种) ,故选 C 答案 C 2.如图,用 6 种不同的颜色把 图中 A、B、C、D 四块区域分开,若相邻区域 不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有( A.400 种 C.480 种 解析 ). B.460 种 D.496 种

从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种, C 有 4 种,D、A 同色 1 种,D、A

不同色 3 种,∴不同涂法有 6×5×4×(1+3)=480(种),故选 C. 答案 C

3.某省高中学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展,某校高一新生 中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之 家”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至 少参加一个社团且只能参加一个社团.且同学甲不参加“围棋苑”,则不同 的参加方法的种数为 A.72 解析 B.108 C.180 D.216 ( ).

设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊,由题意,如果甲不参加“围

棋苑”,有下列两种情况: (1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”,有 C 1 4种方法,然后从 甲与丙、丁、戊共 4 人中选 2 人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个
3 1 2 3 社团中,有 C2 4A3种方法, 故共有 C 4C4A3 种参加方法;

(2)从乙、丙、丁、戊中选 2 人(如乙、丙 )参加“围棋苑”,有 C 2 4种方法,甲
2 3 与丁、戊分配到其他三个社团中有 A3 3种方法,这时共有 C4A3 种参加方法; 2 3 2 3 综合(1)(2),共有 C 1 4C4A3+C 4A 3=180 种参加方法.

答案

C

4 .如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面 组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成 的“平行线面组”的个数是( A.60 解析 B.48 ). C.36 D.24

长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6×6=36 个, 另含 4 个顶

点的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”有 6×2=12 个,共 36+12=48 个,故选 B. 答案 B

5.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去何工厂可 自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有( A.16 种 解析 B.18 种 C.37 种 ). D.48 种

三个班去四个工厂不同的分配方案共 43 种,甲工厂没有班级去的分配
3 3 3

方案共 3 种,因此满足条件的不同的分配方案共有 4 -3 =37(种). 答案 C

6.4 位同学从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同 选法有( A.12 种 解析 ). B.24 种 C.30 种 D.36 种

分三步,第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲.共有 C 2 4种不同选

法,第二步给第 3 位同学选课程,有 2 种选法.第三步给第 4 位同学选课程, 也有 2 种不同选法.故共有 C4×2×2=24(种). 答案 B
2

二、填空题

7.将数字 1,2,3,4,5,6 排成一列,记第 i 个数为 ai(i=1,2,?,6),若 a1≠1,

a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,则不同的排列方法有________种(用数字作答).
解析 分两步:(1)先排 a1,a3,a5,若 a1=2,有 2 种排法;若 a1=3,有 2 种排法;若 a1=4,有 1 种排法,共有 5 种排法;(2)再排 a2,a4,a6,共有 A3 3=6 种排法,故不同的排列方法有 5×6=30 种. 答案 30 8.数字 1,2,3,?,9 这九个数字填写在如图的 9 个空格中, 要求每一行从左到右依次增大,每列从上到下也依次增大, 当数字 4 固定在中心位置时,则所有填写空格的方法共有 ________种. 解析 必有 1、4、9 在主对角线上,2、3 只有两种不同的填法,对于它们的

每一种填法,5 只有两种填法.对于 5 的每一种填法,6 、7、8 只有 3 种不同 的填法,由分步计数原理知共有 22 ×3=12 种填法. 答案 12

9.如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个. 解析
1 当相同的数字不是 1 时, 有 C1 当相同的数字是 1 时, 共有 C1 3个; 3C3个,

1 1 由分类加法计数原理得共有“好数”C1 3+C3C3=12 个.

答案

12

10.给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时,在所有不同的着 色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:

由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种, 至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种.(结果用数值表示)

答案 21;43 三、解答题 11. 编号为 A,B,C,D,E 的五个小球放在如图所示的五个盒 子里, 要求每个盒子只能放一个小球, 且 A 球不能放在 1,2 号,

B 球必须放在与 A 球相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?
解 根据 A 球所在位置分三类: (1)若 A 球放在 3 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的三个盒子放 球 C、D、E,则根据分步乘法计数原理得,3×2×1=6 种不同的放法; (2)若 A 球放在 5 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的三个盒子放 球 C、D、E,则根据分步乘法计数原理得,3×2×1=6 种不同的放法; (3)若 A 球放在 4 号盒子内,则 B 球可以放在 2 号、3 号、5 号盒子中的任何 一个,余下的三个盒子放球 C、D、E 有 A 3 3=6 种不同的放法,根据分步乘法 计数原理得,3×3×2×1=18 种不同方法. 综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有 6+6+18=30 种. 12.设集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈ M. (1)P 可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P 可以表示多少个第二象限内的点? (3)P 可以表示多少个不在直线 y=x 上的点? 解 (1)分两步,第一步确定横坐标有 6 种,第二步确定纵坐标有 6 种,经检

验 36 个点均不相同,由分步乘法计数原理得 N=6×6=36(个). (2)分两步,第一步确定横坐标有 3 种,第二步确定纵坐标有 2 种,根据分步 乘法计数原理得 N=3×2=6 个. (3)分两步,第一步确定横坐标有 6 种,第二步确定纵坐标有 5 种,根据分步 乘法计数原理得 N=6×5=30 个.

13.现安排一份 5 天的工作值班表,每天有一个人值班,共有 5 个人,每个人都 可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有 多少种不同的排法? 解 可将星期一、二、三、四、五分给 5 个人,相邻的数字不分给同一个人.

星期一:可分给 5 人中的任何一人,有 5 种分法; 星期二:可分给剩余 4 人中的任何一人,有 4 种分法;星期三:可分给除去 分到星期二的剩余 4 人中的任何一人,有 4 种分法; 同 理 星 期 四和 星 期 五都 有 4 种不 同 的 分法 , 由 分步 计 数 原理 共 有 5×4×4×4×4=1 280 种不同的排法. 14.已知集合 A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f 是从 A 到 B 的映射. (1)若 B 中每一元素都有原象,这样不同的 f 有多少个? (2)若 B 中的元素 0 必无原象,这样的 f 有多少个? (3)若 f 满足 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的 f 又有多少个? 解 (1)显然对应是一一对应的, 即为 a1 找象有 4 种方法, a2 找象有 3 种方法,

a3 找象有 2 种方法,a 4 找象有 1 种方法,所以不同的 f 共有 4×3×2×1=
24(个). (2)0 必无原象,1,2,3 有无原象不限,所以为 A 中每一元素找象时都有 3 种 方法.所以不同的 f 共有 34=81(个). (3)分为如下四类: 第一类,A 中每一元素都与 1 对应,有 1 种方法; 第二类,A 中有两个元素对应 1,一个元素对应 2 ,另一个元素与 0 对应,有
1 C2 4·C2=12 种方法; 2 第三类,A 中有两个元素对应 2,另两个元素对应 0,有 C2 4·C2=6 种方法;

第四类,A 中有一个元素对应 1,一个元素对应 3 ,另两个元素与 0 对应,有
1 C1 4·C3=12 种方法.

所以不同的 f 共有 1+12+6+12=31(个).


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