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8高考复习-优化方案第2章--基本初等函数第3课时


优化方案系列丛书

第2章 基本初等函数
双 基 研 习 ? 面 对 高 考

第3课时 函数的单调性

考 点 探 究 ? 挑 战 高 考

考 向 瞭 望 ? 把 脉 高 考

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优化方案

系列丛书

第2章 基本初等函数
双 基 研 习 ? 面 对 高 考

第 3 课 时 函 数 的 单 调 性

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考 点 探 究 ? 挑 战 高 考

考向瞭望?把脉高考

考 向 瞭 望 ? 把 脉 高 考

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第2章 基本初等函数

双基研习?面对高考

基础梳理 1.单调函数的定义
增函数 减函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A, 如果取区间M中的任意两个值x1,x2 当Δx=x2-x1>0时,都有 当Δx=x2-x1>0时,都 Δy=f(x2)-f(x1)>0 Δy=f(x2)-f(x1)<0 ____________________, 有_________________, 那么就称函数y=f(x)在区 那么就称函数y=f(x)在 间M上是增函数 区间M上是减函数

双 基 研 习 ? 面 对 高 考

考 点 探 究 ? 挑 战 高 考

定义

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第2章 基本初等函数
双 基 研 习 ? 面 对 高 考

增函数 图象与 单调性 的关系

减函数

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自左向右看图象是 上升的 ________

自左向右看图象是 _______ 下降的

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第2章 基本初等函数
双 基 研 习 ? 面 对 高 考

2. 单调区间的定义

增函数 减函数, 若函数f(x)在区间M上是______或________ 则称函数f(x)在这一区间上具有单调性,
区间M ________叫做f(x)的单调区间.

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第2章 基本初等函数
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思考感悟

1.函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,与函数
f(x)的单调递增区间为[a,b]含义相同吗?

提示:不相同,f(x)在区间[a,b]上单调递增并
不能排除f(x)在其他区间单调递增,而f(x)的单

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调递增区间为[a,b]意味着f(x)在其他区间不可
能单调递增.

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第2章 基本初等函数
双 基 研 习 ? 面 对 高 考

课前热身

1.函数y=x2+2x-3(x>0)的单调增区间是(
A.(0,+∞)

)

B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)

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D.(-∞,-3]
答案:A

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第2章 基本初等函数
双 基 研 习 ? 面 对 高 考

2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减 函数,则( ) 1 A.k> 2 1 B.k< 2 1 C.k>- 2 1 D.k<- 2

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答案:D
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第2章 基本初等函数
双 基 研 习 ? 面 对 高 考

3.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0, +∞), x1<x2 时, 当 都有 f(x1)>f(x2)”的是( ) 1 A.f(x)= x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)

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答案:A

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第2章 基本初等函数
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1 4 . 函 数 f(x) = 在 [2,3] 上 的 最 小 值 为 x-1 ________,最大值为________.
1 答案: 2 1

5 . 函 数 y = x2-5x-6 的 单 调 增 区 间 为 ________.

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答案:[6,+∞)
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第2章 基本初等函数
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考点探究?挑战高考

考点突破

函数单调性的判断与证明
函数的单调性用以揭示随着自变量的增大, 函数值的增大与减小的规律.在定义区间上 任取x1、x2,且x1<x2的条件下,判断并证明 f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2),这一过程就是实施不 等式的变换过程.
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第2章 基本初等函数
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例1 已知 a>0,函数 f(x)=x+a(x>0),证明

x

函数 f(x)在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞) 上是增函数.

【思路分析】

利用定义进行判断,主要判

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定f(x2)-f(x1)的正负.

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第2章 基本初等函数
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【证明】 设 x1、 2 是任意两个正数, x1<x2, x 且 x1-x2 a a 则 f(x1)-f(x2)=(x1+ )-(x2+ )= (x x x1 x2 x1x2 1 2 -a). 当 0<x1<x2≤ a时,0<x1x2<a,又 x1-x2<0,所 以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),所以函数 f(x) 在(0, a]上是减函数; 而当 a≤x1<x2 时,x1x2>a,又 x1-x2<0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),所以函数 f(x) 在[ a,+∞)上是增函数.
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第2章 基本初等函数
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【规律小结】 用定义证明函数单调性的一般 步骤: (1)取值:即设x1,x2是该区间内的任意两个值, 且x1<x2. (2)作差:即f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2)),并通过 通分、配方、因式分解等方法,向有利于判断 差的符号的方向变形. (3)定号:根据给定的区间和x2-x1的符号,确 定差f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号.当符号 不确定时,可以进行分类讨论. (4)判断:根据定义得出结论.
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第2章 基本初等函数
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互动探究

本例条件“x>0”改为“x<0”,试判

断f(x)的单调性. a 解:因 f(x)=x+ 为奇函数,由例 1 知 f(x)在区 x
间(-∞,- a]上为增函数,在[- a,0)上为 减函数.

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第2章 基本初等函数
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求函数的单调区间 在求函数的单调区间(即判断函数的单调性)时,

一般可以应用以下方法:(1)定义法;(2)图象法;
(3)借助其他函数的单调性判断法;(4)利用导数

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法等.

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第2章 基本初等函数
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求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+3;
例2

9 (2)y=x+ (x>0). x

【思路分析】 导数法.

(1)利用图象法,(2)利用

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第2章 基本初等函数
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【解】 (1)∵y=-x2+2|x|+3 ?-x2+2x+3 ?x≥0? ? =? , 2 ?-x -2x+3 ?x<0? ?
?-?x-1? +4 ? 即 y=? ?-?x+1?2+4 ?
2

?x≥0? ?x<0?

.

由图知,单调递增区间是 (-∞,-1]和[0,1]. 单调递减区间是 (-1,0)和(1,+∞).

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第2章 基本初等函数
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x2-9 9 (2)y′=1- 2= 2 x x ?x-3??x+3? = . x2 令 y′≥0,即(x-3)(x+3)≥0, 得:x≥3 或 x≤-3(舍去). ∴单调递增区间为[3,+∞). 令 y′<0,即(x-3)(x+3)<0, 又 x>0,得:0<x<3, ∴单调递减区间为(0,3).

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第2章 基本初等函数
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【误区警示】

确定函数的单调区间时应注意:

(1)必须在定义域内研究. (2)对于同增(减)的不连续的单调区间不能写成并 集,只能分开写.

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第2章 基本初等函数
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求函数的最值

利用函数单调性是求函数最值(值域)的基本方
法,求解时,先求函数单调区间,再判断其增

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减性,便可求得最值.

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第2章 基本初等函数
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1 1 例3 已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 1 (2)若 f(x)在[ ,2]上的值域是[ ,2],求 a 的值. 2 2

【思路分析】

(1)利用函数单调性定义证明.

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1 (2)由 f(x)在 x∈[ ,2]上的最大值、最小值,建 2 立 a 的等式,求 a 的值.
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第2章 基本初等函数
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【解】 (1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0, x1x2>0. ∵f(x2)-f(x1) 1 1 1 1 =( - )-( - ) a x2 a x1 1 1 = - x1 x2 x2-x1 = >0, x1x2 ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.
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第2章 基本初等函数
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1 1 (2)∵f(x)在[ ,2]上的值域是[ ,2], 2 2 1 又 f(x)在[ ,2]上单调递增, 2 1 1 ∴f( )= ,f(2)=2, 2 2 2 易得 a= . 5 【规律小结】 (1)求一个函数的最值时,应首先 考虑函数的定义域. (2)函数的最值是函数值域中的一个取值,是自变 量x取了某个值时的对应值,故函数取得最值时, 一定有相应的x的值.
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第2章 基本初等函数

方法感悟 方法技巧 1.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是 其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数 等基本初等函数的单调区间(如例2(1)).常用方 法有:根据定义,利用图象和单调函数的性质, 还可以利用导数的性质(如例2(2)).
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第2章 基本初等函数
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2.复合函数的单调性 对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上 是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),

g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相
同(同时为增或为减),则y=f[g(x)]为增函数;若t

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=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函
数.简称为:同增异减.
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第2章 基本初等函数
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失误防范 1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区 间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写, 即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集 表示(如例 2(1)). 2.两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a,b)上都是增(减)函 数,则 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但 f(x)· g(x), 1 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f?x?

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第2章 基本初等函数
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考向瞭望?把脉高考

考情分析 从近几年的高考试题来看,函数单调性的判断和 应用以及函数的最值问题是高考的热点,题型既 有选择题、填空题,又有解答题,难度中等偏高 (如2010年大纲全国卷Ⅱ),客观题主要考查函 数的单调性、最值的灵活确定与简单应用,主观 题在考查基本概念、重要方法的基础上,又注重 考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论 的思想方法.
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第2章 基本初等函数
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预测2012年高考仍将以利用导数求函数的单 调区间,研究单调性及利用单调性求最值或

求参数的取值范围为主要考点,重点考查转
化与化归思想及逻辑推理能力.

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第2章 基本初等函数
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规范解答


(本题满分12分)(2010年高考大纲全

国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.
(1)设a=2,求f(x)的单调区间; (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点, 求a的取值范围.

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第2章 基本初等函数
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【解】 (1)当 a=2 时,f(x)=x3-6x2+3x+1, f′(x)=3(x-2+ 3)(x-2- 3).1 分 当 x∈(-∞, 2- 3)时, f′(x)>0, f(x)在(-∞, 2- 3)上单调递增; 当 x∈(2- 3,2+ 3)时,f′(x)<0,f(x)在(2 - 3,2+ 3)上单调递减; 当 x∈(2+ 3, +∞)时, f′(x)>0, f(x)在(2+ 3, +∞)上单调递增.4 分 综上,f(x)的单调增区间是(-∞,2- 3)和(2 + 3,+∞), f(x)的单调减区间是(2- 3,2+ 3).6 分
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第2章 基本初等函数
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(2)f′(x)=3[(x-a)2+1-a2]. 当 1-a2≥0 时, f′(x)≥0, f(x)为增函数, f(x) 故 无极值点;7 分 2 当 1-a <0 时,f′(x)=0 有两个根 x1=a- a2-1,x2=a+ a2-1.8 分 由题意, 2<a- a2-1<3, 知 ①或 2<a+ a2-1 <3,② 10 分 5 5 ①无解,②的解为 <a< , 4 3 5 5 因此 a 的取值范围是( , ).12 分 4 3
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第2章 基本初等函数
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【名师点评】 此题的题型很常规,主要考查 了三次函数求导,单调区间的求法,极值的概 念及有关不等式的解法. 本题考生极易入手,从高考反馈信息来看,满 分率很低,主要是解题不规范、不全面:如(2) 中讨论丢掉 1-a2≥0 的情况;解不等式①②出 5 5 错;转化不等式出错,导致结果为[ , ];区间 4 3 5 5 错写为( , ).当然(2)也可用二次函数法求解. 3 4
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第2章 基本初等函数

名师预测
1.若函数f(x)=|logax|(0<a<1)在区间(a,3a-1)上单 调递减,则实数a的取值范围是________.
解析:由于 f(x)=|logax|在(0,1]上递减,在(1, 1 2 +∞)上递增, 所以 0<a<3a-1≤1, 解得 <a≤ , 2 3 此即为 a 的取值范围.

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1 2 答案: <a≤ 2 3
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第2章 基本初等函数
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2.设函数y=f(x)在(a,b)和(c,d)上都是增函数,

若x1∈(a,b),x2∈(c,d)且x1<x2.对于下列结论:
①f(x1)<f(x2);②f(x1)=f(x2);③f(x1)>f(x2).

其中正确的结论有________个.
解析:∵x1,x2不在f(x)的同一单调区间内,

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∴f(x1)与f(x2)之间的大小关系无法确定.
∴题中的3个结论都不正确. 答案:0
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第2章 基本初等函数
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1 3. 已知 f(x)=x +x, f(a+ )________f(1). 则 (填 a
2

“≤”或“≥”)

1 1 解析:∵a+ ≥2 或 a+ ≤-2, a a 1 f(x)的对称轴为 x=- . 2 1 ∴f(x)在(- ,+∞)上为增函数, 2

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第2章 基本初等函数
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1 在(-∞,- )上为减函数. 2 又 f(2)=22+2=6>2=f(1), f(-2)=(-2)2+(-2)=2=f(1), 1 ∴f(a+ )≥f(1). a

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答案:≥

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