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安宜高中15届一轮复习讲义17导数的概念及运算


安宜高中 15 届一轮复习讲义 17 导数的概念及运算 【考试要求】了解导数的实际意义(某时刻的瞬时变化率) ,理解导数的几何意义(某点处切线 的斜率) ;掌握常见函数的导数及导数的运算法则,能熟练求简单函数的导数. 【重点与难点】导数的实际意义比较简单;常见函数的导数和导数的运算是导数研究有关问题的 基础,必须准确熟练,本节重点研究导数的几何意义,即与曲线的切线有关的问题,要注

意区分 “某点处”的切线和“过某点”的切线. 【知识点与方法】 (一)平均变化率与瞬时变化率 1、一般地,函数 f ( x) 在区间 [ x1 , x 2 ] 上的平均变化率为:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?y , ? x2 ? x1 ?x

其几何意义是:过曲线 y ? f ( x) 上两点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的割线的斜率. 2、 当 ?x 无限趋近于 0 时, 若

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于某个常数, 这个常数称为函数 f ( x) ?x

在 x ? x0 处的瞬时变化率,也叫做函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) .其几何意义是: 曲线 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的切线的斜率. (二)常见函数的导数( C 为常数, ? 为有理数) 1、下列函数的导数要熟记: 1 (C )? ? 0 ; ○
? ? ?1 2 ( x )? ? ?x ; ○
x x 4 (e )? ? e ; ○

x x 3 (a )? ? a ln a ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) ; ○

5 (log a x)? ? ○

1 1 1 log a e ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) ;○ 6 (ln x ) ? ? ; x x ln a x

7 (sin x)? ? cos x ;○ 8 (cosx)? ? ? sin x . ○ (三)导数的运算法则 1、导数的四则运算法则:一般地,如果两个函数 f ( x), g ( x) 都是可导函数,那么: 1 [ f ( x) ? g ( x)]? ? ○ 3 [ f ( x) g ( x)]? ? ○

f ?( x) ? g ?( x) ;○ 2 [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ;

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ; (特别地, C 为常数时, [Cf ( x)]? ? _______)

? ? f ( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 4 ? (其中 g ( x) ? 0 ) . ○ ? g 2 ( x) ? g ( x) ?
2 、复合函数的导数:形如 y ? f [? ( x)] 的函数称为“复合函数” ,它可以看作由 y ? f (u ) 及

,这种函数的导数按下列法则来求: u ? ? ( x) “复合而成”

? ? y? x ? yu ? u x ,可形象理解为: y 对于 x 的导数等于 y 对于 u 的导数乘以 u 对于 x 的导数.
(五)导数的几何意义 函数 f ( x ) 在点 x0 处有导数,则函数 f ( x ) 的图像在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率, 切线的方程为 y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) . 一、基础训练 1. 水波的半径以 50cm/s 的速度向外扩展, 当半径为 250cm 时, 圆面积的膨胀率是 2. (2011 江西卷)曲线 y ? e x 在点 A(0,1) 处的切线斜率为 3.一物体的运动方程是 s ? 5t ? 4. (1) (2 ) ' ?
x

cm 2 / s .

. m/s. ;

3 2 t ,则物体在 t ? 1 s 时的瞬时速度是 2
; (3) (3sin x) ' ?

; (2) ( 3 x )' ? .

(4) (ln 2 x) ' ?

ex 5.已知函数 f ( x) ? ,则 f '(2) ? 1? x



6.已知函数 y ? f ( x) 的图像经过点 P(2,5) ,且图像在点 P 处的切线方程是 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则

f '(2) ?

. . .

7.曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点 (0,1) 处切线方程为 8.已知直线 y ? x ? a 与曲线 y ? ln x 相切,则 a 的值为

二、例题精讲 例 1. (1)利用导数的定义求函数 f ( x) ? x 的导数;
2

(2)求函数 f ( x) ? xe ?
x

ln x 的导数; sin x

x (3)已知函数 f ( x) ? 2 ? x log2 x ,求 f '(1) ;

(4)已知函数 h( x) ?

f ( x) ? 2 ,设 f (5) ? 5 , f '(5) ? 3 , g (5) ? 4 , g '(5) ? 1 ,求 h '(5) . g ( x)

例 2.一质点的运动方程是 s ? sin 2t . (1)求 t ?

? 时的速度; 6

(2)求该质点运动的加速度.

例 3.已知直线 l 与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 2x 相切,分别求 l 的方程,使之满足: (1)切点为 (0, 0) ; (2)经过点 (0, 0) .

例 4.已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b ( a, b ? R ) . (1)若函数 f ( x ) 的图像经过原点,且在原点处切线斜率为 ?3 ,求 a , b 的值; (2)若曲线 y ? f ( x) 存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.

参考例题 1.利用导数的定义求 y ? x ?

1 ? 5? 在 x ? 2 处的导数及在点 A ? 2, ? 处的切线方程. x ? 2?
2

2.若存在过点 (1, 0) 的直线与 y ? x3 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切,求实数 a 的值. 4

3. (2011 重庆卷)设 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1的导数 f '( x) 满足 f '(1) ? 2a , f '(2) ? ?b ,其中 常数 a, b ? R . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)设 g ( x) ? f '( x)e ? x ,求函数 g ( x) 的极值. 三、巩固练习 1.半径为 R 的圆受热均匀膨胀,若半径增加了 r ,则圆面积的平均膨胀率是 2.已知 f ( x) ? x ? 2sin x ,则 f '(0) ? 3. (2011 全国卷)曲线 y ? e . 4. 已知点 P 在曲线 y ?
?2 x





? 1在点 (0, 2) 处切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形面积为

4 上, 则 ? 的取值范围是 ? 为曲线在点 P 处切线的倾斜角, e ?1
x



四、要点回顾 1.了解平均变化率、瞬时变化率与导数的关系,理解函数在一点处切线的概念. 2.通过实例,体会运用定义求简单的导数的算法思想及操作步骤. 3.能使用导数的四则运算法则和导数公式求简单函数的导数.

导数的概念及运算作业 2012-9-7 班级:
2

姓名:

1.物体做自由落体运动,其位移 s 与时间 t 的关系为 s ? ?5t ,则在时间段 ?0,0.1? 内,物体运动 的平均速度为 .

2.某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系 S (t ) ? 3sin ? 中 S 的单位 m, t 的单位是 h,则 18 时潮水起落的速度是

5? ?? t? 6 ? 12
m/h.

? ,其 ? ( 0 ? t ? 24 ) ?

3. (2011 江西卷)若 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4ln x ,则 f '( x) ? 0 的解集为 4.已知 f ( x) ? x2 sin x ,则 f '( x) ? 5.已知 f ( x) ? x2 ? 2 xf '(1) ,则 f '(0) ? 6. (2011 湖南卷)曲线 y ? 7.求下列函数的导数. (1) y ? ( x ? 1)( x ? 1) ; (2) y ? x ? cos x ; (3) y ? e x (1 ? x) . . .



sin x 1 ?? ? ? 在点 M ? , 0 ? 处的切线的斜率为 sin x ? cos x 2 ?4 ?



8.已知函数 f ( x) ?

2x ? b ,且 f '(0) ? 0 ,求实数 b 的值. ( x ? 1)2

9.已知直线 l 与曲线 y ? (1)切点为 (?1, ?1) ;

1 相切,分别求 l 的方程,使之满足: x

(2)经过点 (2, 0) ;

(3)平行于直线 y ? ?2 x .

10.设函数 f ( x ) ? ax ?

1 ( a, b ? Z ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 3 . x?b

(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围成的三角形的面积为 定值,并求此定值.


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