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青海省重点中学09-10学年高一上学期期中考试(数学)


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青海省重点中学 09-10 学年高一上学期期中考试(数学)
考试说明: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分. 考试时间为 120 分钟; 2.第 I 卷试题答案均涂在机读卡上,第 II 卷试题答案写在试卷上;

3.交机读卡和第 II 卷.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.下列说法正确的是 A. 0 ? ? B. 0 ? ? ? {?} C. 0 ? {0} D. ? ? {0}
UA)∩B=





2.设全集 U ? {?2,?1,0,1,2}, A ? {?2,?1,0}, B ? {0,1,2}, 则( A.{0} 3.函数 y ? B.{-2,-1} C.{1,2}





D.{0,1,2} ( )

1 3 ? 2x ? x2

的定义域为 C. (-3,-1) D. (-1,3)

A. (-3,1) B. (1,3) 4.下列各组中两个函数是同一函数的是 A. f ( x ) ?
4

( B. f ( x ) ? x D. f ( x ) ?



x4

g ( x) ? (4 x ) 4

g ( x) ?

3

x3

C. f ( x ) ? 1

g ( x) ? x 0

x2 ? 4 x?2

g ( x) ? x ? 2
( )

5.若函数 y ? f (x ) 的定义域为(0,2) ,则函数 y ? f ( ?2 x ) 的定义域是 A. (0,2) 6.已知 f ( x ) ? ? A.1 B. (-1,0) C. (-4,0) D. (0,4)

?x ? 4

( x ? 6)

? f ( x ? 2 )( x ? 6 )
B.2

, 则 f (3) =
C.3 D.4





7.下列函数中值域是 (0,?? ) 的是 A. y ? C. y ?

( B. y ? x ? x ?
2



x 2 ? 3x ? 2

1 2

1 |x|

D. y ? 2 x ? 1

8.函数 f ( x ) ?

mx 2 ? 4 mx ? m ? 3 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是





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A. (0,1] C. ( ?? ,0) ? (1,?? ) 9.设 p : x ? ?1, q :| x ? 2 |? 1, A.充分不必要条件 C.充要条件

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B.[0,1] D. ( ?? ,0) ? [1,?? )

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则 p是 q 的
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件





10.设集合 M ? { x | ?1 ? x ? 2}, N ? { x | x ? k ? 0}, 若M ? N ? ? , 则k 的范围是( A. (?? ,2] B. ( ?1,?? )
2



C.[-1,2]

D. [ ?1,?? ] ( D. [ ? )

11.函数 f ( x ) ? ( x ? 2)( 3 ? x )( x ? 5 x ? 5) 的值域为 A. (?? , ]

1

4

B. ( ?? ,? ]

1

4

C. [? 若 f 2?a

1 1 , ] 4 4
2

1 4

,?? )

? x 2 ? 4 x, 12.已知函数 f ? x ? ? ? 2 ?4x ? x ,
A. ? ?? , ?1? ? ? 2, ?? ?

x ? 0, x ? 0.

?

? ? f ? a ? ,则实数 a 的取值范围是
( ) D. ? ?? , ?2 ? ? ?1, ?? ?

B. ? ?1,2 ?

C. ? ?2,1?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题后的横线上) 13.已知 f ( x ) ? 3 x ? 5 x ? 2, g ( x ) ? f ( x ? 1)则 g ( 2) =
2

. .

14.集合 A ? {( x, y ) | x ? y ? 1}, B ? {( x, y ) | x ? y ? 3}, 则A ? B ?
2

15.关于 x 的一元二次方程 x ? mx ? 2 m ? 1 ? 0 一个根大于 1,一个根小于 1,则实数 m 的取值范围是 16.下列说法正确的是 (把所有正确命题的序号填在横线上) ①任何集合都有非空子集. ②从集合 A 到集合 B 的映射中,A 中的不同元素在 B 中的象可以相同. ③若集合 A 中只有一元素,B 为任意非空集合,则从集合 A 到集合 B 只能建立一个映射.④若集合 B 中只有一个元素,A 为任意非空集合,则从集合 A 到集合 B 只能建立一个映射. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 设 U ? R , A ? { x | ? x ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? { x |
2

4? | x | | x | ?2

? 0} .

求: (1)

UA

(2) (

UA)∩B

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18. (本小题满分 12 分)

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已知 f(x)为一次函数,若 f [ f ( x )] ? 4 x ? 8.求f ( x ) 的解析式.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? (1)求 a,b 的值 (2)求 f ( x ) 的最大值及取最大值时相应的 x 值.

x?a x ? bx ? 1
2

是奇函数

20. (本小题满分 12 分) 解关于 x 的不等式

2x ? 1 1 ? 2 ax

? 1, ( a ? R )

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

x 3x ? 2 x ? 1
2

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)利用函数单调性的定义证明函数 f(x)在 (1,?? ) 上是增函数; (3)求函数 f(x)的值域.

22. (本小题满分 14 分) 设 f(x)是定义在区间 ( ?? ,?? ) 上的函数,且 f ( x ) ? f ( x ? 2), 对于 k ? Z , 用I k 表示 区间 ( 2 k ? 1,2 k ? 1],已知 x ? I 0时, f ( x ) ? x (1)求 f ( x )在 I k 的解析式. (2)对于 k ? N , 求集合 M k ? {a | 使方程 f ( x ) ? ax在 I k 上有两个不相等的实数根} . (3)若 x ? (t ? 2, t ? 1], 求 f ( x ) 的值域.
? 2

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参考答案
一、选择题 1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.B 10.D 11.A 12.C 12.解法 1:函数 f ? x ? ? x ? 4 x 在 x ? 0 时是增函数,函数 f ? x ? ? 4 x ? x 在 x ? 0 时是增函数,并且当
2 2

? x 2 ? 4 x, x ? 0 时, x ? 4 x ? 4 x ? x ,所以, f ? x ? ? ? 2 ?4x ? x ,
2 2

x ? 0, x ? 0.

在 R 上是增函数.

于是由 f 2 ? a

?

2

? ? f ?a? 得 2 ? a

2

? a, 即

a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 1 .故选C.
解法 2:画出函数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 4 x, ?4x ? x ,
2

x ? 0, x ? 0.

的图象,可以看出,已知函数是 R 上的增函数. 于是由 f 2 ? a

?

2

? ? f ?a? 得 2 ? a
2

2

? a , 即 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 1 .故选C.

解法 3:用特殊值排除. 当 a ? 0 时, f 2 ? a 不等式 f 2 ? a

?

? ? f ? 2 ? ? 4 ? 4 ? 8, f ? a ? ? f ? 0 ? ? 0 , ? ? f ?1? ? 1 ? 4 ? 5, f ? a ? ? f ? ?1? ? ?4 ? 1 ? ?5 ,

? ?

2

? ? f ? a ? 成立,从而排除 A,D;
2

当 a ? ?1 时, f 2 ? a 不等式 f 2 ? a 二、填空题 13.0 14. {( 2, ?1)}
2

?

? ? f ? a ? 成立,从而排除 B.故选 C.
15. m ? ?

2 3

16.②④

三、解答题 17.解: (1) A ? {a | ? x ? 2 x ? 3 ? 0} ? { x | ?1 ? x ? 3}
2

CU A ? { x | x ? ?1}或 x ? 3
(2) ?

…………4 分

?( x | ?4)( x | ?2) ? 0 ?| x |? 2

? 2 ?| x |? 4

所以, B ? { x | 2 ? x ? 4或 ? 4 ? x ? 2}

(CU A) ? B ? { x | 3 ? x ? 4或 ? 4 ? x ? 2}
18.解:由于 f ( x ) 为一次函数,故设
第 4 页(共 7 页)__________________________

…………10 分

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f ( x ) ? kx ? b.
则有: f [ f ( x )] ? k ( kx ? b ? b

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…………2 分

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? k 2 x ? kb ? b
?k 2 ? 2 由题意知: ? ?k b ? b ? 8

…………5 分

…………7 分

?k ? 2 ? 解得: ? 8 ?b ? 3 ?
或?

…………9 分

?k ? ?2 ?b ? ? 8

…………11 分

所以 f ( x ) ? 2 x ?

8 3

或 f ( x ) ? ?2 x ? 8

…………12 分

19.解: (1)由于 f ( x ) 为奇函数,所以 f ( ? x ) ? ? f ( x )

?x?a x ? bx ? 1
2

??

?a ? 0 , 所以 ? x ? bx ? 1 ?a ? b ? 0 x?a
2

?a ? 0 ? 0, 从而 ? ( x ? bx ? 1)( x ? bx ? 1) ?b ? 0 (b ? a ) x 2 ? a
2 2

…………5 分

(2)由(1)得 f ( x ) ?

x x ?1
2

? y , 当 y ? 0时, 1 2 且y ? 0

? ? 1? 4y2 ? 0 ? ?

1 2

? y?

1 1 所以, yx 2 ? x ? y ? 0, 当 y ? 0时, x ? 0, 所以, y ? [ ? , ] 2 2 1 故 f ( x ) 的最大值为 ,此时,x=1 …………12 分 2 2 x ? 2 ax 20.解:原不等式可化为 ?0 1 ? 2 ax
即 ( 2 x ? 2ax)(1 ? 2ax) ? 0, 且1 ? 2ax ? 0 当 a=0 时,解集为 { x | x ? 0} 当 a=1 时,解集为 { x | x ? ? } …………2 分 …………4 分 …………6 分

1

2

当 0<a<1 时,解集为 { x | x ? ?

1 2a

, 或 x ? 0}

…………8 分

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当 a<0 时,解集为 { x | 0 ? x ? ? 当 a>1 时,解集为 { x | ? 21.解: (1) 3 x ? 2 x ? 1 ? 0 解得 x ? 1或 x ?

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…………10 分 …………12 分 …………2 分 …………4 分

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1 2a

}

1 2a

? x ? 0}

1 3

(2) 设x1 , x 2 ? (1,?? )且x1 ? x 2 ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

x1 3 x ? 2 x1 ? 1
2 1

?

x2 3x ? 2 x2 ? 1
2 2

?

2 x1 3 x12 ? 2 x1 ? 1 ? x 2 3 x 2 ? 2 x 2 ? 1 2 3 x12 ? 2 x1 ? 1 3 x 2 ? 2 x1 ? 1
2 2 ( 2 x1 x 2 ? x12 ) ? ( 2 x 2 x12 ? x 2 )

…………6 分

? ? ?

2 2 3 x12 ? 2 x1 ? 1 3 x 2 ? 2 x 2 ? 1 ( x1 3 x12 ? 2 x1 ? 1 ? x 2 3 x 2 ? 2 x 2 ? 1 )

( x1 ? x 2 )( 2 x1 x 2 ? x1 ? x 2 )
2 2 3 x12 ? 2 x1 ? 1 3 x 2 ? 2 x 2 ? 1 ( x1 3 x12 ? 2 x1 ? 1 ? x 2 3 x 2 ? 2 x 2 ? 1 )

( x1 ? x 2 )( x1 ( x 2 ? 1) ? x 2 ( x1 ? 1))
2 2 3 x12 ? 2 x1 ? 1 3 x 2 ? 2 x 2 ? 1 ( x1 3 x12 ? 2 x1 ? 1 ? x 2 3 x 2 ? 2 x 2 ? 1 )

? ? 8分

所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 所以,函数 f ( x )在(1,?? ) 上是增函数 …………9 分

(3) x ?

1 3

时, f ( x ) ? ? ?
2

1 1 x2 ? 2 x ?3

x 0?u?3

u?

1 1 ? u 2 ? 2u ? 3

由于 0 ? ?u ? 2u ? 3 ? 4, 所以, y ?

1 2
1 x 2

…………12 分

x ? ? 1时, f ( x ) ? ? 1 x
2

1 ? 2 x ?3

u?

1 ? u ? 2u ? 3 3 3
…………14 分

?1? u ? 0

由于 0 ? ? u 2 ? 2u ? 3 ? 3, 所以 , y ? ?

故函数 f ( x ) 的值域为 ( ?? , ?

1 ) ? [ , ?? ) 3 2

3

22.解: (1)由 f ( x ) ? f ( x ? 2)时, f ? x ? 是定义在 R 上以 2 为周期的函数,所以,对切 x ? R
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都有 f ( x ) ? f ( x ? 2k )( k ? Z )

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由 2 k ? 1 ? x ? 2 k ? 1, 得 ? 1 ? x ? 2 k ? 1, I 0 ? ( ?1,1] 所以 f ( x ) ? f ( x ? 2 k ) ? ( x ? 2 k )
2

…………5 分

(2)解法一:利用图像易得: a ? (0,

1 2k ? 1

]

…………10 分
2

解法二:当 x ? N且 x ? I k 时,利用(1)的结论设方程 ( x ? 2 k ) ? ax

即x 2 ? ( 4k ? a ) x ? 4k 2 ? 0

? ?a ( a ? 8k ) ? 0 ? 1 1 ? 解这个方程,得 ? 2 k ? 1 ? [ 4 k ? a ? a ( a ? 8 k ) ] ? 0 ? a ? ……10 分 2 2k ? 1 ? 1 ? ?2 k ? 1 ? 2 [ 4 k ? a ? a ( a ? 8k ) ] ?
(3)值域为[0,1] …………10 分

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