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辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


2015-2016 学年度上学期期末考试 高二数学(理科)试卷
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分 卷Ⅰ 一、选择题: 本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 对于常数 m 、 n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 的曲线是双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 2. 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定 是 .. A.所有不能被 2 整除的数都是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数 3. 已知椭圆 D.既不充分也不必要条件

B.所有能被 2 整除的数都不是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4 . 在一次跳伞训练中 ,甲、乙两位学员各跳一次 , 设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是 “乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降 落在指定范围”可表示为 A. ? ?p ? ? ? ?q ? B. p ? ? ?q ? C. ? ?p ? ? ? ?q ? D. p ? q

5. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线的斜率为 a 2 b2
B. ?

A. ?2 6. 曲线 y ?

1 2

C. ? 2

D. ?

2 2

? sin x 1 ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为 4 sin x ? cos x 2
B. ?

A.

2 2

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

7. 已知椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1 的焦点恰好是一个正方 的焦点与双曲线 2a 2 2b 2 a2 b2
1

形的四个顶点,则抛物线 ay ? bx2 的焦点坐标为 A. (

3 ,0 ) 4

B. (

3 ,0 ) 12

C. (0,

3 ) 12

D. (0,

3 ) 4

8.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖 法屋顶面积分别为 P 1, P 2, P 3,

① ② 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ? ,则 A. P 1 ?P 2 ?P 3 B. P 1 ?P 2 ?P 3

③ C. P 1 ?P 2 ?P 3 D. P 1 ?P 2 ?P 3

9. 马云常说“便宜没好货”,他这句话 的意思是:“不便宜 ”是“好货”的 A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10. 设 a ? 0 , f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 ) )处切线的倾斜角的 取值范围是 [0, A. [ 0, ]

?
4

] ,则 P 到曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围为
B. [0,

1 a

1 ] 2a

C. [0,

b ] 2a

D. [0,

b ?1 ] 2a

11. 已知点 O 在二面角 ? ? AB ? ? 的棱上,点 P 在 ? 内,且 ?POB ? 60? .若对于 ? 内异于

O 的任意一点 Q ,都有 ?POQ ? 60? ,则二面角 ? ? AB ? ? 的大小是
A. 30 ? 12. 已知双曲线 B. 45 ? C. 60 ? D. 90 ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在双曲线第一象限的图 a 2 b2
1 , tan?AF2 F1 ? ?2 ,则双曲线方程为 2
D.

象上,若△ AF1 F2 的面积为 1 ,且 tan ?AF1 F2 ?

A.

5x 2 y 2 ? ?1 12 3

B.

12x 2 12 y 2 ? 3 y 2 ? 1 C. 3 x 2 ? ?1 5 5

x2 5 y2 ? ?1 3 12

卷Ⅱ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
2

M 是 DD1 的中点, O 为底面正方形 ABCD 的中心, P 为 13. 正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角为 14. 函数 f ( x) ? ln x ? f '(1) x 2 ? 5 x ? 4 ,则 f (1) =________. 15. 已 知 a, b 是 夹 角 为 60 .

? ?

?

的 两 单 位 向 量 , 向 量 c ? a, c ? b , 且 .

?

? ?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |c ? | ,1 x ? 2a ? b ? c , y ? ?a ? 3b ? c ,则 cos ? x, y ? =
?

16. 过抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线,与抛物线分别交于 A 、 B 两 点( A 在 y 轴左侧) ,则

AF ? FB



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 过点 (1, ?1) 作函数 f ( x) ? x3 ? x 的切线,求切线方程.

18.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ?x | (ax ?1)(ax ? 2) ? 0? ,集合 B ? ?x | ?2 ? x ? 4?. 若 x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面为直角梯形, AD / / BC ,

?BAD ? 90? , PA ⊥底面 ABCD ,且
PA ? AD ? AB ? 2 BC , M , N 分别为 PC, PB 的中点.
(Ⅰ)求证: PB ? DM ; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已 知 三 棱 柱 ABC ? A' B' C ' 如 图 所 示 , 四 边 形

A E B C F C'

A'

B3'

BCC ' B ' 为菱形, ?BCC' ? 60o , ?ABC 为等边三角形,面 ABC ? 面 BCC ' B ' , E、F 分
别为棱 AB 、CC ' 的中点. (Ⅰ)求证: EF // 面 A' BC ' ; (Ⅱ)求二面角 C ? AA'? B 的大小.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且椭圆上点到左焦点距离的最小值为 2 a b 2

2 ?1 .
(Ⅰ)求 C1 的方程; (Ⅱ)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4x 相切,求直线 l 的方程.

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 ( 2,1) ,直线 y ? k ( x ? 1 ) (k ? 0) 与椭圆 C 交于不 a 2 b2
1 . 2k

同的两点 M 、N , MN 中点为 P , O 为坐标原点,直线 OP 斜率为 ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)椭圆 C 的右顶点为 A ,当 ?AMN 得面积为

10 时,求 k 的值. 3

4

2015-2016 学年度上学期期末考试高二数学(理科)参考答案 一.选择题 CDBAC CDABB DB 二.填空题

? 2

?1

?

5 2 16

3? 2 2

三.解答题 17.解:设切点为 (m, m3 ? m) ,则切线方程为 y ? m3 ? m ? (3m2 ?1)( x ? m) ,┅┅┅┅┅┅2 分 将点 (1, ?1) 带入,解得 m ? 0 或

3 , 2

┅┅┅┅┅┅┅ 8 分 ┅┅┅┅┅┅┅10 分

所以切线方程为 y ? ? x 或 23x ? 4 y ? 27 ? 0

a ? 0 时, A ? [? 18.解: (1)

2 1 2 1 , ], 若 x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件, 所以 ?2 ? ? , 4 ? , a a a a

1 1 ,检验 a ? 符合题意;┅┅┅┅┅┅┅4 分 4 4 (2) a ? 0 时, A ? R ,符合题意;┅┅┅┅┅┅┅8 分 1 2 1 2 (3) a ? 0 时, A ? [ , ? ] ,若 x ? B 是 x ? A 的充分不必要条件,所以 ?2 ? , 4 ? ? , a a a a 1 1 ? ? a ? 0 ,检验 a ? ? 不符合题意. 2 2 1 1 综上 a ? ( ? , ] .┅┅┅┅┅┅┅12 分 2 4

0?a?

19. 解如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 BC ? 1 ,

z则

1 A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), B(2, 0, 0), C (2,1, 0), M (1, ,1), D(0, 2, 0) . 2 ??? ? ???? ? 3 (I) 因为 PB ? DM ? (2, 0, ?2) ? (1, ? ,1) ? 0 ,所以 PB ? DM . 2 ??? ? ??? ? (II) 因为 PB ? AD ? (2,0, ?2) ? (0,2,0) ? 0 ,所以 PB ? AD ,
又因为 PB ? DM ,所以 PB ? 平面 ADMN .

y x

??? ? ???? 因此 ? PB, DC ? 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角.

??? ? ???? ??? ? ???? 10 PB ? DC ? ???? ? 因为 cos ? PB, DC ?? ??? , 5 | PB | ? | DC |
5

所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦为

10 5

20. (Ⅰ)证明(方法一)取 A' B 中点 D ,连接 ED, DC ,因为 E , D 分别为 AB, A' B 中点, 所以 ED ?

1 AA' , ED // AA' ,┅┅┅┅┅┅┅3分 2

所 以 ED ? CF , ED // CF , 所 以 四 边 形 EFCD 为 平 行 四 边 形 , 所 以 EF // CD , 又 因 为

EF ? 面A' BC,CD ? 面A' BC ,所以 EF // 面 A' BC ;┅┅┅┅┅┅┅6分
(方法二) 取 AA ' 中点 G , 连接 EG, FG , 因 为 E , G 分 别 为 AB, AA' 中 点 , 所 以

z A E B O C x F C' y B' A'

EG // A' B
又因为 F , G 分别为 CC ' , AA' 中点,所以

FG // A' C ' ┅┅┅┅┅┅┅3分


EG ? 面EFG, GF ? 面EFG, EG ? GF ? G ,
A' C' ? 面A' BC' , A' B ? 面A' BC' , A' C'? A' B ? A' 所以面 EFG // 面 A' BC ' ,
又 EF ? 面 EFG ,所以 EF // 面 A' BC ┅┅┅┅┅┅6分 (方法三)取 BC 中点 O ,连接 AO, OC' , 由题可得 AO ? BC ,又因为面 ABC ? 面 BCC ' B ' ,
o 所以 AO ? 面 BCC ' B ' ,又因为菱形 BCC ' B ' 中 ?BCC' ? 60 ,所以 C ' O ? BC .

可以建立如图所示的空间直角坐标系 ┅┅┅┅┅┅┅7 分 不妨设 BC ? 2 ,
6

可得 C (1,0,0) , C' (0, 3,0)

1 3 1 3 ,0) A(0,0, 3) , B(?1,0,0) , A' (?1, 3, 3) , B' (?2, 3,0) ,所以 E (? ,0, ), F ( , 2 2 2 2
所以 EF ? (1,

3 3 ,? ), BC' ? (1, 3,0), BA' ? (0, 3, 3 ) ,┅┅┅┅┅┅┅9 分 2 2
?

设 面 A' BC 的 一 个 法 向 量 为 n ? (a, b, c) , 则 ?

? a ? 3b ? 0 ? 3b ? 3c ? 0

,不妨取 a ?

3 ,则

? 所以 EF ? n ? 0 , (a, b, c) ? ( 3,?1,1) ,
又因为 EF ? 面 A' BC ,所以 EF // 面 A' BC . ┅┅┅┅┅┅┅12 分 (Ⅱ) (方法一) 过 F 点 作 AA ' 的 垂 线 FM 交 AA ' 于

A E

M

A'

M ,连接 BM , BF .
因为 BF ? CC ' , CC ' // AA' , 所以 BF ? AA ' ,所以 AA' ? 面 MBF , 所以 ?BMF 为二面角 C ? AA'? B 的平 面角. ┅┅┅┅┅┅┅8分

B C F C'

B'

因 为 面 ABC ? 面 BCC ' B ' , 所 以 A 点 在 面 BCC ' B ' 上 的 射 影 落 在 BC 上 , 所 以

cos ?ACC ' ? cos ?BCC ' cos ?ACB ?
所 以 sin ?ACC' ?

1 , 4

15 MF 15 ? , 不 妨 设 BC ? 2 , 所 以 MF ? ,同理可得 4 AC 2

BM ?

15 .┅┅┅┅┅┅┅10 分 2

15 15 ? ?3 3 4 所 以 cos?BMF ? 4 , 所 以 二 面 角 C ? AA'? B 的 大 小 为 ? 15 5 2
7

arccos

3 ┅┅┅┅┅┅┅12 分 5

(方法二)接(Ⅰ)方法三可得 AB ? (?1,0,? 3), AA' ? (?1, 3,0) ,设面 AA' B 的一个法向 量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ┅┅┅┅┅┅┅8分 又 AC ? (1,0,? 3), AA' ? (?1, 3,0) , 设 面 AA' C 的 一 个 法 向 量 为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) , 则

?

? ? x1 ? 3 z1 ? 0 ?? x1 ? 3 y1 ? 0

,不妨取 x1 ? 3 ,则 ( x1 , y1 , z1 ) ? ( 3,1,?1) .

?

? x2 ? 3z 2 ? 0 ,不妨取 x2 ? 3 ,则 ( x2 , y2 , z 2 ) ? ( 3,1,1) .┅┅┅┅┅┅┅10分 ? ?? x 2 ? 3 y 2 ? 0 ? ? n1 ? n2 ? ? 3 所以 cos ? n1 , n2 ?? ? 因为二面角 C ? AA'? B 为锐角, 所以二面角 C ? AA'? B ? ? , | n1 | ? | n2 | 5
的大小为 arccos

3 ┅┅┅┅┅┅┅12 分 5

21. 解 :( Ⅰ ) 设 左 右 焦 点 分 别 为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 椭 圆 上 点 P 满 足

| PF1 | ? | PF2 |? 2a,?2c ?| PF1 | ? | PF2 |? 2c, 所 以 a ? c ?| PF1 |? a ? c, P 在 左 顶 点 时

| PF1 | 取到最小值 a ? c ? 2 ? 1 ,又

c 1 ? ,解得 a ? 2, c ? 1, b ? 1 ,所以 C1 的方程为 a 2

c x2 ? y 2 ? 1 .( 或 者 利 用 设 P( x, y) 解 出 | PF1 |? a ? x 得 出 | PF1 | 取 到 最 小 值 a 2

a ? c ? 2 ? 1 , 对 于 直 接 说 明 P 在 左 顶 点 时 | PF1 | 取 到 最 小 值 的 , 酌 情 扣 分 ) ;
┅┅┅┅┅┅┅4 分 (Ⅱ)由题显然直线 l 存在斜率,所以设其方程为 y ? kx ? m ,┅┅┅┅┅┅┅5 分

联立其与

x2 ? y 2 ? 1 ,得到 2

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 , ? ? 0 ,化简得 m 2 ? 2k 2 ? 1 ? 0 ┅┅┅┅┅┅┅8 分
联立其与 C2 : y 2 ? 4x ,得到
8

k 2 y ? y ? m ? 0 , ? ? 0 ,化简得 km ? 1 ? 0 ,┅┅┅┅┅┅┅10 分 4
解得 k ?

2 2 ,m ? 2 或k ? ? ,m ? ? 2 2 2 2 2 x? 2或y ?? x ? 2 ┅┅┅┅┅┅┅12 分 2 2
2 y1 ? y 2 y ? y2 y 2 ? y2 1 , OP 斜 率 为 1 , 所 以 12 ?? , 2 x1 ? x2 x1 ? x2 2 x1 ? x 2

所以直线 l 的方程为 y ?

22. 解: (Ⅰ)由题可得直线过点( 1,0 ) ,在椭圆内,所以与椭圆一定相交,交点设为

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 则 k ?
┅┅┅┅┅┅┅3 分 又

2 2 2 2 x12 y12 x2 y2 x12 ? x 2 y12 ? y 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 0 ,所以 a 2 ? 2b 2 ,又 , ,所以 2 2 2 2 2 2 a b a b a b

2 1 x2 y2 2 2 C ? ? 1 ? ? 1 ;┅┅┅┅┅┅┅6 分 ,解得 a ? 4, b ? 2 ,所以椭圆 的方程为 a2 b2 4 2

) (Ⅱ) y ? k ( x ? 1 与椭圆 C 联立得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 ,┅┅┅┅┅┅┅8


?AMN 面积为

2 1 |k| | k | 8(2 ? 3k ) 10 , | y1 ? y 2 |? | x1 ? x2 |? ? 2 2 2 2 3 1 ? 2k

解得 k ? ?1 .┅┅┅┅┅┅┅12 分

9


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