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2008年湖南省高中数学竞赛试题(B卷)与答案


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2008 年湖南省高中数学竞赛试题 (B 卷)与答案
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。) 1、

定义集合运算:A ? B= ? z z ? xy, x ? A,

y ? B? , 设A= ?2,0?,B= ?0,8?,则集合 A ? B的所有元素之和为? A ? A 16, B 18, C 20, D 22。
2、

1 已知?an ? 是等比数列,a 2 =2,a 5 = ,则a1a 2 +a 2a 3 + ? +a na n ?1 ? n ? N ? ?的取值范围是 ? C ? 4 ? 32 ? ?16 32 ? A ?12,16 ? , B ?8,16 ? , C ?8, ? , D ? , ? . ? 3 ? ?3 3 ?
3、



1 的整数部分为a,小数部分为b,则a 2 ? 1 ? 5 ab的值为? C ?。 3- 5 A 4, B 3, C 2, D 1。

?

?

4、

??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ? 如图所示:已知C点分有向线段AB的比为-3,且OA= a, b, c, 则以下等式成立的是 ? A ? OB= OC= ? ? ? ? ? ? ? ? 3? 1? 1? 3? A c ? ? a ? b, B c ? ?b ? 2a, C c ? ?a ? 2b, D c ? a ? b. 2 2 2 2
C B

A

O

5、从存有号码为 1,2,…,10 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一张卡片并记下号码, 统计结果如下: 卡片号码 1 2 8 3 18 4 7 5 13 6 13 7 6 8 10 9 11 10 9 取到的次数 5

则取到号码为奇数的频率是( A) A 0.53, B 0.5, C 47, D 0.37。 6、(08 江西理)(较难) 连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为 4 的球的两条弦 AB 、CD 的长 度分别等于 2 7 、 4 3 , M 、 N 分别为 AB 、 CD 的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有 下列四个命题: ①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ③ MN 的最大值为 5 其中真命题的个数为( C ) ②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ④MN 的最小值为 1

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A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解:①③④ 正确,②错误。易求得 M 、 N 到球心 O 的距离分别为 3、2,若两弦交于 N ,则 OM ⊥ MN , Rt?OMN 中,有 OM ? ON ,矛盾。当 M 、 O 、 N 共线时分别取最大值 5 最小值 1。 7、

设a=sin ? sin 20080 ?,b=sin ? cos 20080 ?,c=cos ? sin 20080 ?,d=cos ? cos 20080 ?, 则a,b,c,d的大小关系是( B) A a ? b ? c ? d, B b ? a ? d ? c, C c ? d ? b ? a, D d ? c ? a ? b.

1 20080 ? 18000 ? 1800 ? 280 , ? 0 ? sin 20080 ? ? ? cos 20080 ? ?1 2 0 0 ? sin ? cos 2008 ? ? sin ? sin 2008 ? ? cos ? cos 20080 ? ? cos ?sin 20080 ?
8、 设函数f ? x ? ? x ? 3x ? 6x ?14, 且f ? a ? ? 1, f ?b ? ? 19, 则a ? b ? ? D?
3 2

A 2, B 1, C 0, D ? 2.

法一:f ? x ? ? x3 ? 3x 2 ? 6 x ? 14= ? x ? 1? ? 3 ? x ? 1? ? 10, 设g ? y ? ? y 3 ? 3 y,
3

则g ? y ? 为奇函数且为单调递增函数, 且f ? a ? ? ? a ? 1? ? 3 ? a ? 1? ? 10 ? 1, f ? b ? ? ? b ? 1? ? 3 ? b ? 1? ? 10 ? 19,
3 3

? g ? a ? 1? =-9,g ? b ? 1? =9,? g ? a ? 1? =-9=g ? -b-1? ,? a ? b ? ?2 ?a 3 ? 3a 2 ? 6a ? 13=0 ? 法二:易得 ? 3 ? ? a ? b ? ? a 2 ? ab ? b 2 ? 6 ? ? 3 ? a 2 ? b 2 ? ? 8 ? 0 2 ?b ? 3b ? 6b ? 5=0 ?

? ? a 2 ? ab ? b 2 ? 6 ? ? 0,3 ? a 2 ? b 2 ? ? 8 ? 0,? ? a ? b ? ? 0.选D。

二、填空题(本大题是 6 个小题,每小题 8 分,共 48 分,请将正确的答案填在横线上) 9、

???? ???? ? 1 已知A ? a,0 ?,B ? 3,2+a ? ,且直线y= ax与线段AB相交于M, AM=2MB, 2 则a等于_______.

? ? a+b 4 ? 2a ? 1 ? ? M ? 3 , 3 ? 代入y= 2 ax得a=-4或2 ? ? ? ? ?
10、

已知集合? ?

?? x, y ? x

2

? y 2 ? 2008 , 若点P ? x, y ?、点P / ? x / , y / ? 满足x ? x / 且y ? y /,

?

则称点P优于P /。如果集合?中的点Q满足:不存在?中的其它点优于Q,则所 有这样的点Q构成的集合为_____________________。
分析:“不存在?中的其它点优于Q”即“点Q的左上方不存在?中的点”。 ? 满足条件的点的集合为 ? x, y ? x 2 ? y 2 ? 2008, x ? 0且y ? 0

?

?

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11、

若f ? x ? 是定义在R上的函数,对任意实数x,都有f ? x+3 ? ? f ? x ? +3和 f ? x+2 ? ? f ? x ? +2,且f ?1? =1,则f ? 2008 ? ? __________ .

分析:f ? x+1? ? f ? x ? 3? ? 2 ? f ? x ? ? 1, 又f ? x ? 1? ? f ? x ? 4 ? ? 3 ? f ? x ? 2 ? ? 2 ? 3 ? f ? x ? ? 1? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 f ? 2008? ? 2008.
12、 (08 海南)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶

9 点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 8 4 ______ ? 3
13、

若不等式 x ? x 2 ? 8? ?8 ? x ? ? ? ? x ? 1? 对一切实数x ? ? 0, 2 ? 恒成立, 则实数?的取值范围是_____。
x ? x ? 8? ?8 ? x ?
2

x ?1 x ?1 当且仅当x ? 2时等号成立 ? ? ? ? 4, ?? ?。
14、

分析: ?

?

?x

2

? 8??8 x ? x

2

?

?x
?

2

? 8? ? ?8 x ? x 2 ? 2 x ?1 ? 4,

某学校数学课外活动小组在坐标纸上,为某沙漠设计植树方案如下:第k棵树 种植在点Pk ? xk , yk ? 处,其中x1 =1,y1 =1,当k ? 2时, ? ? k ? 1? ?k ? 2? ?xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ? 5 ? ? 5 ? 5 ? ? ? ? ? ? ,其中?a ? 表示实数a的整数部分,例如?2.6? =2, ? ? y ? y ? 1 ? ? k ? 1? ? ? k ? 2 ? k ?1 ? 5 ? ? 5 ? ? k ? ? ? ? ? ?0.6? =0,按此方案,第2008棵树种植点的坐标为______________。

分析:直接用累加法可得?3,402?。
三、解答题(本大题共 4 小题,共 62 分,要求解答有必要的过程。) 15、(本题满分为 14 分)

在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且4sin2 (1)求角A的度数, 若a= 3,b+c=3,求b和c的值。 (2)

B?C 7 ? cos 2 A ? , 2 2

分析: ? 2 ?1 ? cos A? ? 2cos 2 A ? 1 ? ?1

7 1 ? cos A ? , A ? 600. 2 2

? 2?由余弦定理得 ? b ? c ?

2

? a 2 ? 3bc,? b ? c ? 3 ? bc ? 2 ? b ? 1, c ? 2或b ? 2, c ? 1。

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16、(本题满分为 14 分)在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,AC 与 BD 相交于 O, ∠BOC=120°,AD=4,BD= 4 3 ,求四边形 ABCD 的面积 。 分析:(1)若四边形 ABCD 为平行四边形时,如图作 AE⊥BD 于 E,设 OE=x,

? ?BOC=1200,AE= 3x, AO ? 2 x ? x ?

7? 3 ? S ? BD ? AE ? 6 2

?

7? 3

?

(2) 若四边形 ABCD 为等腰梯形时, 如图, DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E, 作 过点 D 作 DH⊥BC 于 H。 DE= 4 3 , DH ? 2 3, HE ? 6, S ? ? CE ? BC ? ? DH ? 12 3.
G O
O E B C

A

D

A

B H C

E

17、(本题满分为 16 分)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 E,F,G,M,N, Q 分别是棱 AA 1 ,A 1 B 1 ,A 1 D 1 ,BC,CC 1 ,CD 的中点,(1)求证:平面 EFG∥平面 MNQ,(2) 求平面 EFG 与平面 MNQ 的距离。 法一:用空间坐标系法。法二:用传统的几何方法。

2 3 a。 3

D1 G A1 F B1

C1

N j C M

E

D

Q

A

B

18、

设函数f ? x ?的定义域是R ?,且满足条件f ? 4 ? ? 1,对任意 x1 , x2 ? R ?, 有f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?,当x1 ? x2时, 有f ? x1 ? ? f ? x2 ? . ?1? 求f ?1?的值,

? 2 ? 若f ? 3x ? 1? ? f ? 2 x ? 6 ? ? 3, 求x的取值范围。
?6 x 2 ? 16 x ? 6 ? 64 分析: ? f ?1? ? 0, ? 2 ? f ? 6 x 2 ? 16 x ? 6 ? ? f ? 64 ? ? ? 1 ? x ? ? 3,5? ? 3x ? 1 ? 0, 2 x ? 6 ? 0, ?

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