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第一节 算法的含义与程序框图


第十二章
第一节

推理与证明、算法初步
算法的含义与程序框图
高考试题

考点一 算法与概率统计的交汇问题
1.(2012 年陕西卷,文 5)如图所示是计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的程序框图, 则图中空白框内应填入( )

M N N M

(C)q= (D)q= M ?N M ?N
(A)q= (B)q= 解析:因为执行判断框 “是” 计算的是及格的人数 M, “否” 统计的是不及格的人数,所以及格率 q= 选 D. 答案:D 2.(2012 年新课标全国卷,文 6)如果执行如图所示的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,?,aN,输出 A,B,则( )

N M

M M ?N

.

(A)A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 (B)

A? B 为 a ,a ,?,a 的算术平均数 2
1 2 N

(C)A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 (D)A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数 解析:易知 A、B 分别为 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数.故选 C. 答案:C 3.(2011 年湖南卷,文 11)若执行如图所示的框图,输入 x1=1,x2=2,x3=4,x4=8,则输出的数等于 .

解析:该框图的功能具有累加功能, 当 i=1 时,x=x1;当 i=2 时,x=x1+x2;当 i=3 时,x=x1+x2+x3;当 i=4 时,x=x1+x2+x3+x4.执行否的结果,输出

x1 ? x2 ? x3 ? x4 15 15 ,∴x= ,∴输出的数为 . 4 4 4 15 答案: 4
x= 4.(2013 年四川卷,文 18)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中等 可能随机产生.

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i=1,2,3); (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分)
运行 次数 n 30 ? 2100 运行 次数 n 30 ? 2100 输出 y 的值 为 1 的频数 14 ? 1027 输出 y 的值 为 1 的频数 12 ? 1051 输出 y 的值 为 2 的频数 6 ? 376 输出 y 的值 为 3 的频数 10 ? 697 输出 y 的值 为 3 的频数 7 ? 353

乙的频数统计表(部分)
输出 y 的值 为 2 的频数 11 ? 696

当 n=2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、 乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率(用分数表示), 并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大. 解:(1)变量 x 是在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中随机产生的一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出 y 的值为 1,故 P1= 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故 P2= 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 P3=

1 2

;

1 ; 3

1 . 6 1 1 1 所以,输出 y 的值为 1 的概率为 ,输出 y 的值为 2 的概率为 ,输出 y 的值为 3 的概率为 . 2 3 6
(2)当 n=2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率如下:
输出 y 的值 为 1 的频率 甲 输出 y 的值 为 2 的频率 输出 y 的值 为 3 的频率



1027 2100 1051 2100

376 2100 696 2100

697 2100 353 2100

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.

考点二 算法与数列的交汇问题
1.(2013 年重庆卷,文 5)执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值是( )

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6

解析:依次执行循环体得 s=1,k=2;s=2,k=3;s=6,k=4;s=15,k=5,s=31,满足 s>15,输出 k=5.故选 C. 答案:C 2.(2013 年北京卷,文 6)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

(A)1

(B)

2 3

(C)

13 21

(D)

610 987 2 3
,i=1;S=

解析:初始条件 i=0,S=1,逐次计算结果是 S= 答案:C

13 13 ,当 i=2 时,满足输出条件,输出 S= .故选 C. 21 21
)

3.(2013 年广东卷,文 5)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是(

(A)1

(B)2

(C)4

(D)7

解析:该流程图实为计算 s=1+(0+1+2)的值,因 s=4.故选 C. 答案:C 4.(2013 年安徽卷,文 3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为( )

3 4 1 (B) 6 11 (C) 12 25 (D) 24
(A) 解析:算法流程图输出结果为 s= 由 s=

1 1 1 + + 的值, 2 4 6

11 知应选 C. 12
)

答案:C 5.(2012 年北京卷,文 4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

(A)2 (B)4 (C)8 (D)16 解析:第一步:k=0<3,S=1·2 =1,k=0+1=1; 1 第二步:k=1<3,S=1·2 =2,k=1+1=2; 第三步:k=2<3,S=2·2 =8,k=2+1=3; 第四步:k=3 不满足 k<3,执行否,输出 S=8. 故选 C. 答案:C 6.(2012 年天津卷,文 3)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( )
2 0

(A)8

(B)18

(C)26
1 0

(D)80

解析:当 n=1 时,S=0+3 -3 =2, 2 1 当 n=2 时,S=2+3 -3 =8, 当 n=3 时,S=8+3 -3 =26, 此时 n=3+1=4. 输出 S 为 26,应选 C. 答案:C 7.(2010 年陕西卷,文 5)如图是求 x1,x2,?,x10 的乘积 S 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为( )
3 2

(A)S=S*(n+1) (B)S=S*xn+1 (C)S=S*n (D)S=S*xn 解析:由循环结构的特点知图中空白的处理框中表示前 n 个数的连乘积,故选 D. 答案:D 8.(2013 年浙江卷,文 14)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于 .

解析:S=1,k=1,k≤4;

1 3 = ,k=2≤4; 1? 2 2 3 1 5 S= + = ,k=3≤4; 2 2?3 3 5 1 7 S= + = ,k=4≤4; 3 3? 4 4 7 1 9 S= + = ,此时 k=5>4, 4 4?5 5 9 输出 S= . 5 9 答案: 5
S=1+ 9.(2013 年湖南卷,文 12)执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为 .

解析:当 a=1,b=2 时, a=1+2=3<8, 当 a=3,b=2 时, a=3+2=5<8, 当 a=5,b=2 时, a=5+2=7<8, 当 a=7,b=2 时, a=7+2=9>8, 输出 a 的值为 9. 答案:9 10.(2011 年浙江卷,文 14)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 的值是 .

解析:k=k+1=3,a=4 ,b=3 ,a<b.执行否;k=4,a=4 ,b=4 ,a=b,执行否;k=5,a=4 ,b=5 ,a>b,执行是,输出 k=5. 答案:5

3

4

4

4

5

4

考点三 算法与函数不等式的交汇问题
1.(2013 年新课标全国卷Ⅰ,文 7)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于( )

(A)[-3,4] (B)[-5,2] (C)[-4,3] (D)[-2,5] 解析:由题意知输出 s 为分段函数, s= ?

?3t , t ? 1
2 ? 4t ? t , t ? 1

在 t∈[-1,3]时的值域.

当-1≤t<1 时,s=3t∈[-3,3); 当 1≤t≤3 时,s=4t-t =-(t-2) +4, 所以此时 3≤s≤4. 综上知函数的值域为[-3,4], 即输出的 s 属于[-3,4].故选 A. 答案:A 2.(2013 年福建卷,文 8)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数 n 后,输出的 S∈(10,20),那么 n 的值为( )
2 2

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:当 n=1 时,S=1,k=2>1, 输出 S=1?(10,20); 当 n=2 时,S=1,k=2, S=3,k=3>2,输出 S=3?(10,20); 当 n=3 时,S=1,k=2, S=3,k=3,S=7, k=4>3,输出 S=7?(10,20); 当 n=4 时,S=1,k=2, S=3,k=3,S=7,

k=4,S=15,k=5>4, 输出 S=15∈(10,20).故选 B. 答案:B 3.(2013 年江西卷,文 7)阅读如下程序框图,如果输出 i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是( )

(A)S<8 (C)S<10

(B)S<9 (D)S<11

解析:由题意知 i=3 时,运算结果不合要求,而 i=4 时符合要求,又因 i=3 时,S=2×3+2=8,i=4 时,S=2×4+1=9, 故应填入条件 S<9.故选 B. 答案:B 4.(2011 年陕西卷,文 7)如图所示框图,当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于( )

(A)7

(B)8

(C)10

(D)11

解析:若执行“是”,则 x1=6,x2=9,p= 即 p=

x2 ? x3 9 ? x3 = 2 2

x1 ? x2 15 = =7.5,与 p=8.5 矛盾.∴应执行否.经验证合题. 2 2

=8.5,x3=8.故选 B.

答案:B 5.(2012 年江西卷,文 15)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 .

解析:本题考查程序框图及递推数列等知识,考查枚举的数学思想方法及运算求解的数学能力. 此框图依次执行如下循环: 第一次:T=0,k=1,sin

π >sin 2

0 成立,

a=1,T=T+a=1,k=2,2<6,继续循环; 第二次:sin π >sin

π 不成立, 2

a=0,T=T+a=1,k=3,3<6,继续循环; 第三次:sin

3π 2

>sin π 不成立,

a=0,T=T+a=1,k=4,4<6,继续循环; 第四次:sin 2π >sin

3π 2

成立,

a=1,T=T+a=2,k=5,继续循环;

第五次:sin

5π 2

>sin 2π 成立,

a=1,T=T+a=3,k=6,6<6 不成立, 跳出循环,输出 T 的值 3. 答案:3

考点四 算法语句
1.(2013 年陕西卷,文 4)根据下列算法语句,当输入 x 为 60 时,输出 y 的值为( 输入 x; If x≤50 Then y=0.5*x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y. (A)25 (B)30 (C)31 (D)61 )

解析:由题意,得 y= ?

?0.5x( x ? 50), ?25 ? 0.6( x ? 50)(x ? 50),

x=60 时,y=25+0.6×(60-50)=31.故选 C. 答案:C 2.(2011 年福建卷,理 11)运行如图所示的程序,输出的结果是 a=1 b=2 a=a+b PRINT a END 解析:当 a=1,b=2 时,a=a+b=1+2=3,故输出的 a 的值为 3. 答案:3 .

模拟试题
考点一 算法与概率统计知识的交汇
1.(2011 福州模拟)某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查,设平均每人每天做作业的时间为 x 分钟,有 1000 名小学生参加了此项调查.调查所得的数据用程序框图处理,若输出的结果是 680,则平均每天 做作业的时间在 0~60 分钟内的学生的频率是( )

(A)680

(B)320

(C)0.68

(D)0.32

解析:S 是学习时间大于 60 分钟的人数, ∴作业时间在 0~60 分钟内的学生的频率为 答案:D 2.(2011 湖南十二校联考)对一个做直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下表所示的数据.
观测次数 i 观测数据 ai 1 40 2 41 3 43 4 43 5 44 6 46 7 47 8 48

320 =0.32. 1000

在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 a 是这 8 个数据的平均数),则输出的 s 的值是 .

解析:本程序框图的含义是计算这组数据的方差,计算可得

a =44,
s=

(a1 ? 44)2 ? (a2 ? 44)2 ? ? ? (a8 ? 44)2 56 = =7. 8 8

答案:7

考点二 算法与数列的交汇
1.(2013 北京四中测验)已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项, 则判断框内的条件是( )

(A)n≤8? (B)n≤9? (C)n≤10? (D)n≤11? 解析:通过分析,本程序框图为“当型”循环结构.判断框内为满足循环的条件 第 1 次循环,S=1+1=2,n=1+1=2;第 2 次循环,S=2+2=4,n=2+1=3;?当执行第 10 项时,n=11, n 的值为执行之 后加 1 的值,所以,判断条件应为进入之前的值.故答案为:n≤9?或 n<10?,选 B. 答案:B 2.(2012 合肥质检)如图所示的程序框图运行的结果是 .

解析:由程序框图的算法原理可得:A=0,i=1;

1 ,i=2; 1? 2 1 1 A= + ,i=3;? 1? 2 2 ? 3 1 1 1 A= + +?+ ,i=2012; 2011? 2012 1? 2 2 ? 3 1 1 1 1 A= + +?+ + ,i=2013, 2011? 2012 2012 ? 2013 1? 2 2 ? 3
A= 不满足循环条件,

1 1 1 1 + +?+ + 2011? 2012 2012 ? 2013 1? 2 2 ? 3 1 2012 =1= . 2013 2013 2012 答案: 2013
输出 A=

考点三 算法与函数、不等式的交汇问题
1.(2013 贵州六校联考)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为-5,则输出的 y 值 是( )

(A)-1

(B)1

(C)2

(D)

1 4

解析:第一次输入 x=-5,满足|x|>3,x=|-5-3|=8, 第二次满足|x|>3,x=|8-3|=5, 第三次满足|x|>3,x=|5-3|=2, 第四次不满足|x|>3,此时 y= log 1 x= log 1 2=-1,
2 2

输出 y=-1.故选 A. 答案:A 2.(2012 安庆模拟)执行如图所示的程序框图,如果输出的是 a=341,那么判断框中可以是( )

(A)k<4?

(B)k<5?

(C)k<6?

(D)k<7?

解析:由程序框图可知 a=4a+1=1,k=k+1=2; a=4a+1=5,k=k+1=3; a=4a+1=21,k=k+1=4; a=4a+1=85,k=k+1=5; a=4a+1=341;k=k+1=6. 要使得输出的结果是 a=341,判断框中应是“k<6?”. 答案:C 3.(2012 淄博高三第一次模拟)某程序框图如图所示,现输入如下四个函数:f(x)=x ,f(x)= f(x)=sin x,则可以输出的函数是( )
2

1 x

,f(x)=e ,

x

(A)f(x)=x (C)f(x)=e 答案:D

2

(B)f(x)=

1 x

x

(D)f(x)=sin x

解析:由程序框图可知,函数 f(x)为奇函数,故排除选项 A、C;又函数 f(x)存在零点,排除选项 B.故选 D.

综合检测
1.(2013 玉溪一中期中)已知某程序框图如图所示,则输出的 i 的值为( )

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 解析:第一次循环,S=1×3,i=5; 第二次循环,S=1×3×5,i=7; 第三次循环,S=1×3×5×7>100,i=9, 此时退出循环,输出 i=9. 故选 C. 答案:C 2.(2012 浙江省高三调研)若某程序框图如图所示,则输出的 p 的值是( )

(A)21 答案:C

(B)286

(C)30
2 2 2

(D)55
2 2 2 2

解析:依题意,注意到 1 +2 +3 =14<20<1 +2 +3 +4 =30,因此输出的 p 的值是 30,故选 C.

3.(2012 乐山二调)如图是求

1 2? 1 2 ?? ? 1 2

(共 6 个 2)的值的程序框图,图中的判断框中应填(

)

(A)i≤5? (B)i<5? (C)i≥5? (D)i>5? 解析:由于所给计算的表达式中共有 6 个 2,故只需 5 次循环即可,由此控制循环次数的变量 i 应满足 i≤5. 答案:A 4.(2011 北京西城区高三一模)阅读如图所示的程序框图,如果输出的函数值在区间 数 x 的取值范围是( )

?1 1? , 内,则输入的实 ? ?4 2? ?

(A)(-∞,-2] (C)[-1,2]

(B)[-2,-1] (D)[2,+∞)

解析:若 x?[-2,2],则 f(x)=2?

?1 1? , ,不合题意; ? ?4 2? ?

当 x∈[-2,2]时,f(x)=2 ∈ 答案:B

x

?1 1? , ,得 x∈[-2,-1],故选 B. ? ?4 2? ?

5.(2011 大连市高三一模)定义某种运算 S=a?b,运算原理如图所示,则式子:
?1 ?? 5π ? ? ? ?1? ? ?? 2 tan 4 ? ? ln e ? + ?lg100 ? ? 3 ? ? 的值是 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

.

解析:2tan ∵2>1, ∴ ? 2 tan

5π 4

=2,ln e=1,

? ?

5π ? ? ?ln 4 ?

e=

2 ?1 =3; 1

lg 100=2, ∵2<3,

?1? ? ? ? 3?

?1

=3,

∴lg

?1? 100? ? ? ? 3?

?1

=

3 ?1 =1. 2

?? 5π ? ? ? ?1? ∴ ?? 2 tan ? ? ln e ? + ?lg100 ? ? 3 ? 4 ? ? ? ?? ? ? ?
答案:4

?1

? ? =4. ? ?


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