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1.1.7 柱、锥、台和球的体积(2)(人教B版必修2)


1.1.7

柱、锥、台和球的体积(2)
自主学习

学习目标 1.了解球的体积公式. 2.会计算简单组合体的体积. 3.培养学生的空间想象能力和思维能力. 自学导引 1.球的表面积 设球的半径为 R,则球的表面积 S=________,即球的表面积等于它 的大圆面积的______倍. 2.球的体积 设球的半径为 R,则球的体积 V=__________. 对点讲练 知识点一 球的体积和表面积的计算 32π (1)球的体积是 ,则此球的表面积是( 3 B.16π 16π C. 3

例1

)

A.12π

64π D. 3

(2)一个平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面,球心到这个平面的距离为 4 cm,则球的体 积为( ) 100π 3 A. cm 3 500π 3 C. cm 3 208π 3 B. cm 3 416 13π 3 D. cm 3

点评 遇到球的表面积及体积的有关计算问题时, 我们的分析方向就是要充分利用条件 去确定球心的位置和半径,只要这两点确定了,那球的表面积及体积问题就会迎刃而解. 变式训练 1 球的截面把垂直于截面的直径分成 1∶3 的两段,若截面圆半径为 3,则 球的体积为( ) A.16π 16π B. 3 32π C. 3 D.4 3π

知识点二 有关几何体的外接球与内切球问题 例2 在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

点评 解决与球有关的组合问题, 可通过画过球心的截面来分析, 并注意组合体中半径 与相关几何体的关系: ①长方体的 8 个顶点在同一个球面上, 则长方体的体对角线是球的直径; 球与正方体的 六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;球与正方体的 12 条棱均相切,则球的直径 是正方体的面对角线. ②球与圆柱的底面和侧面均相切, 则球的直径等于圆柱的高, 也等于圆柱底面圆的直径. ③球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高. 变式训练 2 有三个球,第一个球内切于正方体六个面,第二个球与这个正方体各条棱 相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.

知识点三 综合应用 例 3 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.

点评 在处理与球有关的相接、相切问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体几何 问题转化为平面问题解决,而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等. 变式训练 3 一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的球, 在圆锥内又有一个内切 球. 求:(1)圆锥的侧面积;

(2)圆锥的内切球的体积.

1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关 计算. 2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将球与几何体的各量体现在平面图 形中,再进行相关计算. 课时作业 一、选择题 1.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( ) A.144π,144π B.144π,36π C.36π,144π D.36π,36π 2.如果两个球的体积之比为 8∶27,那么这两个球的表面积之比为( ) A.8∶27 B.2∶3 C.4∶9 D.2∶9 3.三个球的半径之比为 1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ) A.1 倍 B.2 倍 9 C. 倍 5 7 D. 倍 4

(

4.四面体 ABCD 中,公共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其长分别为 1, 6,3, 若它的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A.3π 题 答 二、填空题 5.若一个球的体积为 4 3π,则它的表面积为______. 6.一个底面直径是 32 cm 的圆柱形水桶装入一些水,将一个球放入桶内完全淹没,水 面上升了 9 cm,则这个球的表面积是________. 号 案 B.4π 1 C.3 3π 2 D.16π 3 4

7.有一棱长为 a 的正方体框架,其内放置一气球,使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为 球的形状),则气球表面积的最大值为________. 三、解答题

8.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的半球形的冰淇凌,请你设 计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇凌的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰 淇凌融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?

9.某个几何体的三视图如图所示(单位:m),

(1)求该几何体的表面积(结果保留 π); (2)求该几何体的体积(结果保留 π).

【答案解析】 自学导引 4 1.4πR2 4 2. πR3 3 对点讲练 例 1 (1)B [设球的半径为 R,

4 32π 则由已知得 V= πR3= ,R=2. 3 3 ∴球的表面积 S=4πR2=16π.] [由球的性质知,球的半径 R= 32+42=5, 4π 500π ∴V 球= ×53= (cm3).] 3 3 (2)C 变式训练 1 C [设直径被分成的两段为 x,3x; 则球心 O 到截面的距离为 x,球半径为 2x, 由勾股定理得:x2+( 3)2=(2x)2,x=1, 4 32 球半径为 2,所以 V= π·23= π.] 3 3

例2



方法一 作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为 R,正方体的棱长为 2a . 2

a,那么 CC′=a,OC=

在 Rt△C′CO 中,由勾股定理,得 CC′2+OC2=OC′2, 即 a2+( 2a 2 6 ) =R2,所以 R= a. 2 2

2 2 6 6 从而 V 半球= πR3= π( a)3= πa3,V 正方体=a3. 3 3 2 2 因此 V 半球∶V 正方体= 6 3 3 πa ∶a = 6π∶2. 2

方法二 将半球补成整个球, 同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体, 构 成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直 径.设原正方体棱长为 a,球的半径为 R, 则根据长方体的对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2, 即 4R2=6a2,所以 R= 6 a. 2

2 2 6 6 从而 V 半球= πR3= π( a)3= πa3,V 正方体=a3. 3 3 2 2 因此 V 半球∶V 正方体= 6 3 3 πa ∶a = 6π∶2. 2

变式训练 2 解 设正方体的棱长 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过四个切点及球心 作截面,如图(1), a 2 所以有 2r1=a,r1= ,所以 S1=4πr2 1=πa . 2 (2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2), 2r2= 2a,r2= 2 2 a,所以 S2=4πr2 2=2πa . 2

(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3),所以有 2r3 = 3a,r3= 3 a, 2

2 所以 S3=4πr2 3=3πa . 综上知 S1∶S2∶S3=1∶2∶3.

例3

解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.

根据切线性质知,当球在容器内时,水深为 3r,水面的半径为 3r,则容器内水的体积 1 4 5 为 V=V 圆锥-V 球= π·( 3r)2· 3r- πr3= πr3,而将球取出后,设容器内水的深度为 h,则水 3 3 3 面圆的半径为 3 1 3 1 h,从而容器内水的体积是 V′= π·( h)2· h= πh3, 3 3 3 9

3 由 V=V′,得 h= 15r. 变式训练 3 解 (1)如图,

作轴截面,则等腰三角形 CAB 内接于⊙O,而⊙O1 内切于△ABC. 设⊙O 的半径为 R,由题意得 4 3 πR =972π. 3 ∴R3=729,∴R=9,∴CE=18. 已知 CD=16,∴ED=2. 连接 AE,∵CE 是直径,CA⊥AE, CA2=CD· CE=16×18=288,∴CA=12 2. ∵AB⊥CD,∴AD2=CD· DE=16×2=32, ∴AD=4 2.∴S 圆锥侧=π·4 2· 12 2=96π. (2)设内切球 O1 的半径为 r, ∵△ABC 的周长为 2×(12 2+4 2)=32 2, 1 1 ∴ r· 32 2= ×8 2×16,∴r=4. 2 2 4 256 ∴内切球 O1 的体积 V 球= πr3= π. 3 3 课时作业 1.D 4π 3 r 3 8 r 2 [设这两个球的半径分别是 r,R,则 = ,所以 = ,则这两个球的表面积 4π 3 27 R 3 R 3

2.C

4πr2 r 2 4 之比为 2=( ) = .] 4πR R 9

3.C [设最小球的半径为 r,则另两个球的半径分别为 2r、3r,所以各球的表面积分别 36πr2 9 为 4πr2、16πr2、36πr2.所以 2 2= .] 4πr +16πr 5 4.D [此外接球的直径即为以 1, 6,3 为长、宽、高的长方体的体对角线,即 2R= 1+6+9=4. ∴R=2,S 球=4πR2=16π.] 5.12π 4 解析 设球的半径为 R,则 πR3=4 3π,∴R= 3. 3 ∴S 球=4πR2=12π. 6.576π cm2 解析 球的体积等于以 16 cm 为底面半径,高为 9 cm 的圆柱的体积,设球的半径为 R, 4 所以 πR3=π·162· 9,解得 R=12,所以 S 球=4πR2=576π(cm2). 3 7.2πa2 解析 气球表面积最大时,气球的直径等于正方体侧面的对角线长 2a,则此时气球的 半径 r= 2 a, 2 2 2 a) =2πa2. 2

则表面积为 4πr2=4π×(

8.解 要使冰淇凌融化后不会溢出杯子, 1 4 1 4 则必须 V 圆锥≥V 半球,V 半球= × πr3= × π×43, 2 3 2 3 1 1 1 V 圆锥= Sh= πr2h= π×42×h. 3 3 3 1 1 4 依题意: π×42×h≥ × π×43,解得 h≥8. 3 2 3 即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm, 高大于或等于 8 cm 时, 冰淇凌融化后不会溢出杯子. 又因为 S 圆锥侧=πrl=πr h2+r2, 当圆锥高取最小值 8 时,S 圆锥侧最小,所以高为 8 cm 时, 制造的杯子最省材料. 9.解 由三视图可知: 该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体,上半部分是半径为 1 m 的半球. (1)几何体的表面积为 1 S= ×4π×12+6×22-π×12=24+π(m2). 2 (2)几何体的体积为 1 4 2π V=23+ × ×π×13=8+ (m3). 2 3 3



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