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遵义县第一中学2012-2013-1高三数学综合测试.(三)


遵义县第一中学 2012-2013-1 高三数学综合测试.(三).
数 学

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 1. 已知复数 z 对应的点在第一象限,则复数 对应的点在 z
A. 第一象限 B. 第二象限 C

. 第三象限 D. 第四象限
2 2 2 2

2. sin ? ? sin ? 是? ? ? 的 A. 充要条件 C. 充分不必要条件 A. d ? 0 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 D. d ? 0

3. 等差数列 ?an ? 中, a2、a5、a8 成等比数列,则 ?an ? 的公差 d 满足 B. d ? 0 C. d ? 0 4. 过点 A(1, 2) 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线方程是 A. 2 x ? y ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 4 ? 0 5. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其 外接球的表面积之比为 A.

2 2

2 2

1
正视图

1
侧视图

1 1
俯视图

3 : 2?

B.

3 :?

C. 2 3 : ?

D. 2 : ?

6. 一只蚂蚁在一个边长为 6 的正方形区域内随机地爬行,则其 恰在离四个顶点的距离都大于 3 的地方的概率是 A.

? ? 3 ? 2 C. 1 ? D. 2 2 4 7.已知 A? x , y1 ? , B? x , y2? , C x , y? 是函数 y ? 2x 图象上的三个不同点,若 x1 ? 2 x2 ? 3x3 ? 1 , 则 ? 3 3 1 2
1 4
B. 1 ?

y1 ? y22 ? y33 的最小值为
A. 2 B.
3

2

C. 3

D. 3 3 2

8. 如果 a ? b ,则在① A. ②和③
10

1 1 ? ,② a 3 ? b 3 ,③ lg(a 2 ? 1) ? lg(b 2 ? 1) ,④ 2 a ? 2 b 中,正确的只有 a b
B. ①和③
2

C. ③和④
10

D. ②和④

9.已知 ?1 ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? … ? a10 ?1 ? x ? ,则 a8 ? A. ?180 B. 180
2

C. 45

D. ?45

2 2 10. 已知方程 f ( x) ? x ? ax ? 2b 的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则 a ? (b ? 4) 的取值范

围为 A. ( 17, 20) B. (

9 5 , 20) 5

C. (17,20)

D. (

81 , 20) 5

11. 已知 f (x) 是 R 上的偶函数,若将 f (x) 的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若

f (2) ? ?1, 则f (0) ? f (1) ? f (2) ? ?? f (2012) ?
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A. 0

B. 1

C. ?1

D.

?1006.5

x2 y 2 M ? ? 1? a ? 0, b ? 0, xy ? 0 ? 上的动点,F1、F2 是双曲线的焦点, 是 ?F1PF2 2 a????? 2 ???? b 的平分线上的一点,且 F2 M ? MP ? 0 . 有一同学用以下方法研究 OM :延长 F2 M 交 PF1 于点 N ,可知
P 12. 如图, 是双曲线

?PNF2 为 等 腰 三 角 形 , 且 M 为 F2 N 的 中 点 , 得 OM ?

1 NF1 ? … ? a . 类 似 地 : P 是 椭 圆 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0, xy ? 0 ? 上的动点, F1、F2 是椭圆的焦点, M 是 ?F1PF2 的平分线上的一点,且 a 2 b2 ????? ???? F2 M ? MP ? 0 . 则 OM 的取值范围是
A. ?0, a 2 ? b2 ?

?

?
y N

B. ?0, a 2 ? b2 ?

?

?

C. 0, a2 ? b2
y

?

?

D. 0, a2 ? b2

?

?

P M F2 x F1 O

P
M

F1

O

F2

x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 计算:

?

1

?1

? 2 1? x
?

2

? sin x dx ?

?

. .

14. 化简: sin 40? tan10? ? 3 ?

?

15. 五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为 1 ,第二位同学首次报出的数 也为 1 ,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和; ②若报出的是 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次. 当第 30 个数被报出时,五位同学拍手的总次数为 . 16. 如图,圆台上底半径为 1 ,下底半径为 4 ,母线 AB ? 18 ;从 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转 到点 A ,则绳子的最短长度为 ; B 当绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.) 17.(本小题 12 分)已知 ?ABC 中, ?C ? 90? , D 为斜边 AB 上靠近顶点 M

??? ? ??? ? ??? ? ? ? A 的三等分点.(I)设 CA ? a, CB ? b ,求 CD ; ??? ??? ? ? (II)若 CA ? 2 2, CB ? 1,求 CD 在 AB 方向上的投影.

A

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18.(本小题 12 分)从高三年级学生中随机抽取 100 名学生,测得身高情况如下表所示: (I)请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据,并在所给的坐标系中补全频率分布直方图,再 根据频率分布直方图估计众数的值; (II)按身高分层抽样,现已抽取 20 人参加一项活动,其中有 3 名学生担任迎宾工作.记这 3 名学生中 “身高低于 170 cm”的人数为 ? ,求 ? 的分布列及期望.
频率





频数 5 ① 35 30 10 100

频率
0.08

组距
0.07 0.06 0.05

[150,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185] 合 计

0.050 0.200 ② 0.300 0.100 1.00

0.04 0.03 0.02 0.01

身高 160 165 170 175 180 185

19. (本小题 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PD ? 平面 ABCD , 四边形 ABCD 是菱形,AC ? 2 ,

BD ? 2 3 ,E 是 PB 上任意一点 .
(I)求证: AC⊥ DE; (II)已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值为 P

15 ,若 E 为 PB 的中点,求 EC 与平面 5
E D A O O B C

PAB 所成角的正弦值 .

20.(本小题 13 分)动点 M ? x, y ? 到定点 F ? ?1,0 ? 的距离与到 y 轴的距离之差为 1 . (I)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (II)过点 Q ? ?3,0 ? 的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,问直线 x ? 3 上是否存在点 P ,使得 ?PAB 是等 边三角形?若存在,求出所有的点 P ;若不存在,请说明理由.

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21.(本小题 14 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明: a1 ? a2 ? … ? an ? n ? ln (III)证明:

1 1 , an ?1 ? ? n ? N *? . 2 2 ? an

n?2 ; 2

a2 ? a2 n ? a12 ?? ? 2 ? … ? n ? ? ln n ? 1 . 2 ? a1 ? a2 a2 ? a3 an ? a1 ?

22. (选修 4-1:几何证明选讲) 23. (选修 4-4:极坐标与参数方程) 设曲线 C : ? 大距离是

? x ? 5 cos ? ? 1 ? ? y ? 5 sin ? ? 1 ?
.

( ? 为参数),直线 l : ? ? cos? ? 2sin ? ? ? 4 ,则 C 上的点到 l 的最

24. (10 分)选修 4-5;不等式选讲. 设函数 f ( x) ? | x ?1| ? | x ? 2 | ?a . (1) 当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2) 若函数 f ( x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.

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2012 届高三适应性考试理科数学参考答案
1—12 ACBDB CDABD 13. BD 16. 21 ,

60 3 ?6 7 ??? ? ???? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 17.(1) ∵ AB ? 3 AD 即 CB ? CA ? 3 CD ? CA ????4 分 ??? 2 ? 1 ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ∴ 3CD ? CB ? 2CA 故 CD ? a ? b ????6 分 3 3 8 5 (2)过 C 作 CE ? AB 于 E ,则由射影定理得 AE ? ∴ DE ? 3 3 ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? 5 又因为 CD 在 AB 方向上的投影为负,故 CD 在 AB 方向上的投影为 ? ?12 分 3

?

14. ?1

15. 7

?

?

频率 组距
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03

18. (1)① 20 ② 0.350 ????2 分 补图(如图) ???? 4 分 众数 172.5 ????6 分 (2)20 人中“身高低于 170cm”的有 5 人, ∴ ? 的所有可能取值有 0,1,2,3,

C3 C1C 2 35 C 2C1 91 5 , P ?? ? 1? ? 5 3 15 ? , P ?? ? 2 ? ? 5 3 15 ? , 0.02 P ?? ? 0 ? ? 15 ? 3 C20 228 C20 76 C20 38 0.01 P ?? ? 3? ?
3 C5 1 ? 3 C20 114

??????10 分 0 1 2 3

身高 160 165 170 175 180 185

?
P

91 228
57 76
????12 分

35 76

5 38

1 114

E? ?

19. (1)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ∴ PD ? AC 又∵ ABCD 是菱形 ∴ BD ? AC ∴ AC ? 平面 PBD ∵ DE ? 平面 PBD ∴ AC ? DE ????6 分 (2)分别以 OA, OB, OE 方向为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,设 PD ? t ,则

t? ? A ?1, 0, 0 ? , B 0, 3, 0 , C ? ?1, 0, 0 ? , E ? 0, 0, ? , P 0, ? 3, t 2? ? ?? ?? ? 由(1)知:平面 PBD 的法向量为 n1 ? ?1,0,0 ? ,令平面 PAB 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? , ?? ??? ? ? ?? ? ? ?n2 ?AB ? 0 ?? x ? 3 y ? 0 2 3? ? ? 则根据 ? ?? ??? 得? ∴ n2 ? ? 3,1, ? ? ? ? t ? ?n2 ?AP ? 0 ?? x ? 3 y ? tz ? 0 ? ? ? ?
因为二面角 A-PB-D 的余弦值为

?

?

?

?

?? ?? ? 15 15 ,则 cos? n1 , n2 ? ? ,即 5 5
??????9 分

3 15 ? ?t ?2 3 5 12 4? 2 t

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∴ P 0, ? 3, 2 3

?

?

设 EC 与平面 PAB 所成的角为 ? ,∵ EC ? ?1, 0, ? 3 , n2 ?

??? ?

?

?

?? ?

?

3,1,1 则

?

??? ?? ? ? 2 3 15 sin ? ? cos? EC, n2 ? ? ? 5 2? 5
20.(1)依题意有:

??????12 分

? x ? 1?

2

? y 2 ? x ? 1 ????2 分

当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, y 2 ? ?4x ????5 分 ∴M 点的轨迹方程为 y 2 ? ?

?0, x ? 0 ??4 x, x ? 0

????6 分

(2)分析可知 l 只能与抛物线 y 2 ? ?4x 相交. 设 l 的方程为 x ? my ? 3 ,代入 y 2 ? ?4x 的 y 2 ? 4my ? 12 ? 0
2

????7 分

设 A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? 则 y1 ? y2 ? ?4m, y1 y2 ? ?12, ? ? 16m ? 48 ∴ AB ? 1 ? m
2

16m 2 ? 48

????8 分

2 AB 的中点 M ?2m ? 3, ?2m

?

?

由 ?PAB 是等边三角形得: ?????9 分 ?????10 分

PM ? AB 且 PM ?
令点 P ? 3, n ? 则 PM ?

3 AB 2 6 ? mn

1 ? m2

? 6 ? mn 3 ? 1 ? m 2 16m 2 ? 48 ? ?m ? 0 ? 1 ? m2 2 ∴? ,解得 ? ?n ? 0 ? n ? 2m ? ?m ? 6 ? 2m 2 ? 所以存在点 P ? 3, 0 ? 使得 ?PAB 是等边三角形. ?????13 分 2 3 4 n 1 1 21(1)解:由 a1 ? , an ?1 ? 得 a2 ? , a3 ? , a4 ? ,? ,猜想: an ? 3 4 5 n ?1 2 2 ? an n 下面用数学归纳法证明猜想: an ? ? n ? N * ? 成立. n ?1 1 ⅰ 当 n ? 1 时 a1 ? ,猜想成立; 2 k * ⅱ 假设 n ? k ? k ? N ? 时,猜想成立,即 ak ? ;那么当 n ? k ? 1 时, k ?1 1 1 k ?1 ;从而 n ? k ? 1 时猜想成立。 ak ?1 ? ? ? 2 ? ak 2 ? k k ?2 k ?1 n 综合ⅰ,ⅱ 知:猜想成立.即数列的通项公式为 an ? . n ?1 (2) 由于当 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? x ; 1 1 1 1 (k ? 1, 2,? , n) 得 ln(1 ? )? 所以令 x ? 即 ln ? k ? 2 ? ? ln( k ? 1) ? , k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

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n 1 n?2 n 1 ,于是 ln , ?? ?ln ? k ? 2 ? ? ln(k ? 1) ? ? ? ?? ? k ?1 2 k ?1 n k ?1 k ?1 k ?1

从而 n ? ln

n?2 n?2 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ak 即证: ? a1 ? a2 ? ? an ? ? n ? ln 2 . 2 k ? 1 ? k ?1 k ?1 ?
n n

(3) 由柯西不等式得:

? a12 a2 ? a2 2 ? 2 ? … ? n ? ?? a1 ? a2 ? ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an ? a1 ) ? ? ? a1 ? ? ? an ? ? ? ? an ? a1 ? ? a1 ? a2 a2 ? a3 a2 a12 a2 n 所以要证 ? ? 2 ? … ? n ? ln n ? 1 2 a1 ? a2 a2 ? a3 an ? a1 n 1 2 n 2 ? ln n ? 1 ? ? a1 ? ? ? an ? ,也就是需证: n ? ln ? n ? 1? ? ? ? ? ? 即证 , 2 2 3 n ?1 1 1 1 ? ln(n ? 1) ; 即证: ? ? ? ? 2 3 n ?1 x 1 1 x 因为函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? 的导函数 f ' ( x) ? 当 x ? 0 时 f ' ? x ? ? 0 所以 ? ? 2 2 1? x 1 ? x ?1 ? x ? ?1 ? x ?
当 x ? 0 时 ln(1 ? x ) ?

x 1 ,取 x ? ? k ? 1, 2,3,? , n ? 得 1? x k n n k ?1 1 1 1 1 k ?1 1 ln ? ? ?? ? ? ln(n ? 1) . ∴ ? ln ,所以 ?? k k ?1 2 3 n ?1 k k ?1 k ?1 k ? 1

22. 23. 24.

6 5 5

第 7 页 共 7 页

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