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1-6-2第二讲 空间中的平行与垂直


一、选择题 1.(2012 年高考浙江卷)设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面( A.若 l∥ α,l∥ β,则 α∥ β B.若 l∥ α,l⊥ β,则 α⊥ β C.若 α⊥ β,l⊥ α,则 l⊥ β D.若 α⊥ β,l∥ α,则 l⊥ β 解析:利用线与面、面与面的关系定理判定,用特例法. 设 α∩β=a,若直线 l∥ a,且 l?α,l?β,则 l∥ α,l∥ β

,因此 α 不一定平行于 β, A 错误; 故 由于 l∥ 故在 α 内存在直线 l′∥ 又因为 l⊥ 所以 l′⊥ 故 α⊥ α, l, β, β, β, 所以 B 正确;若 α⊥ β,在 β 内作交线的垂线 l,则 l⊥ α,此时 l 在平面 β 内,因 此 C 错误;已知 α⊥ β,若 α∩β=a,l∥ a,且 l 不在平面 α,β 内,则 l∥ 且 l∥ α β, 因此 D 错误. 答案:B 2.对于空间中的三条不同的直线,有下列三个条件: ① 三条直线两两平行;② 三条直线共点; ③ 有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交. 其中,能作为这三条直线共面的充分条件的有( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个 ) )

解析:① 中,三条直线两两平行有两种情况:一是一条直线平行于其他两条 平行直线构成的平面;二是三条直线共面.② 中,三条直线共点最多可确定 3 个 平面,所以当三条直线共点时,三条直线的位置关系有两种情况:一是一条直线 与其他两条直线构成的平面相交;二是三条直线共面.③ 中条件一定能推出三条 直线共面.故只有③ 是空间中三条不同的直线共面的充分条件. 答案:B 3.(2012 年洛阳模拟)已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不重合的 直线,则下列命题中正确的是( )

A.若 m∥ α,α∩β=n,则 m∥ n B.若 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ α C.若 m⊥ α,n⊥ β,α⊥ β,则 m⊥ n D.若 α⊥ β,α∩β=n,m⊥ n,则 m⊥ β 解析:对于选项 A,若 m∥ α,α∩β=n,则 m∥ n,或 m,n 是异面直线,所 以 A 错误;对于选项 B,n 可能在平面 α 内,所以 B 错误;对于选项 D,m 与 β 的位置关系还可以是 m ? β,m∥ β,或 m 与 β 斜交,所以 D 错误;由面面垂直的 性质可知 C 正确. 答案:C 4.将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线折起得到空间四面体 ABCD(如图 2),则在空间四面体 ABCD 中,AD 与 BC 的位置关系是( )

A.相交且垂直 C.异面且垂直

B.相交但不垂直 D.异面但不垂直

解析:在图 1 中的等腰直角三角形 ABC 中,斜边上的中线 AD 就是斜边上 的高,则 AD⊥ BC,翻折后如图 2,AD 与 BC 变成异面直线,而原线段 BC 变成 两条线段 BD、CD,这两条线段与 AD 垂直,即 AD⊥ BD,AD⊥ CD,故 AD⊥ 平 面 BCD,所以 AD⊥ BC. 答案:C 5.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB、CD、EF、GH 在原正方体中互为异面的对数为( )

A.1 C.3

B.2 D.4

解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,AB、CD、EF 和 GH 在原正方体中如图所示,显然 AB 与 CD、EF 与 GH、AB 与 GH 都是异面直 线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 相交,CD 与 EF 平行.故互为异面的直线有 且只有三对.

答案:C 二、填空题 6.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,给出下列命题: ① m∥ 若 α,则 m 平行于 α 内的无数条直线; ② α∥ 若 β,m ? α,n ? β,则 m∥ n; ③ m⊥ 若 α,n⊥ β,m∥ n,则 α∥ β; ④ α∥ 若 β,m ? α,则 m∥ β. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 解析:由线面平行的定义及性质知① 正确;对于② ,若 α∥ β,m?α,n?β,
?m⊥ α ? 则 m、n 可能平行,也可能异面,故② 错;对于③ ,由? ,可知 n⊥ α,又 n⊥ β, ?m∥ n ?

所以 α∥ β,故③ 正确;由面面平行的性质知④ 正确. 答案:① ④ ③ 7.如图,边长为 a 的正△ABC 中线 AF 与中位线 DE 相交于 G,已知△A′ED 是△AED 绕 DE 旋转过程中的一个图形,现给出下列命题,其中正确的命题有 ________(填上所有正确命题的序号). ① 动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ② 三棱锥 A′?FED 的体积有最大值; ③ 恒有平面 A′GF⊥ 平面 BCED;

④ 异面直线 A′E 与 BD 不可能互相垂直. 解析:由题意知 AF⊥ DE, ∴ A′G⊥ DE,FG⊥ DE, ∴ DE⊥ 平面 A′FG,DE?面 ABC, ∴ 平面 A′FG⊥ 平面 ABC,交线为 AF, ∴ ③ ① 均正确. 当 A′G⊥ ABC 时,A′到面 ABC 的距离最大. 面 故三棱锥 A′FED 的体积有最大值. 故② 正确. 当 A′F2=2EF2 时,EF⊥ A′E,∵ BD∥ EF. ∴ BD⊥ A′E,故④ 不正确. 答案:① ③ ② 8.如图,正方体 ABCD - 1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 A CD 上.若 EF∥ 平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

解析: 因为直线 EF∥ 平面 AB1C, EF?平面 ABCD, 且平面 AB1C∩平面 ABCD =AC,所以 EF∥ AC.又因为点 E 是 DA 的中点,所以 F 是 DC 的中点.由中位线 1 定理可得: EF=2AC.又因为在正方体 ABCD - 1B1C1D1 中, A AB=2, 所以 AC=2 2, 所以 EF= 2. 答案: 2 三、解答题 9.如图,在四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的 中点,AB=AD= 2,CA=CB=CD=BD=2. (1)求证:BD⊥ AC; (2)求三棱锥 EADC 的体积. 解析:(1)证明:连接 AO,CO.

∵ 为 BD 的中点,AB=AD,CD=CB, O ∴ BD⊥ AO,BD⊥ CO. 又∵ AO∩CO=O,AO?平面 AOC,CO?平面 AOC, ∴ BD⊥ 平面 AOC. ∵ ? 平面 AOC, AC ∴ BD⊥ AC. (2)由(1)得 AO=1,CO= 3,AC=2, ∴ 2+CO2=AC2, AO ∴ AO⊥ CO. 又∵ AO⊥ BD,BD∩CO=O,BD?平面 BDC, CO?平面 BDC, ∴ AO⊥ 平面 BDC. ∵ 为 BC 的中点, E 1 3 3 ∴ △DCE=2× 1× 2 = 2 , S 2× 1 3 3 ∴ E- =VA- =3× 2 = 6 . V ADC 1× DCE 10.(2012 年郑州模拟)在三棱柱 ABC- 1B1C1 中,棱 AA1 A 与底面 ABC 垂直, △ABC 为等腰直角三角形, AB=AC=AA1, D,E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点. (1)求证:DE∥ 平面 ABC; (2)求证:平面 AB1F⊥ 平面 AEF. 解析:(1)证明:取 AB 的中点为 G,连接 DG,GC. ∵ 是 AB1 的中点, D ∴ DG∥ 1, BB 1 且 DG=2BB1, 又∵ 1∥ 1, BB CC 1 CE=2CC1, ∴ DG∥ 且 DG=CE, CE

∴ 四边形 DECG 是平行四边形, ∴ DE∥ GC, 又∵ ? 平面 ABC,GC ? 平面 ABC, DE ∴ DE∥ 平面 ABC. (2)∵ ABC 为等腰直角三角形,F 为 BC 的中点, △ ∴ BC⊥ AF, 由题意知,B1B⊥ 平面 ABC,∴ 1B⊥ B AF, 又∵ 1B∩BC=B, B ∴ AF⊥ 平面 B1BF,∴ AF⊥ 1F, B 设 AB=AA1=2,则 B1F= 6,EF= 3,B1E=3,故 B1E2=B1F2+EF2, ∴ 1F⊥ B EF,又∵ AF∩EF=F,∴ 1F⊥ B 平面 AEF, 又∵ 1F ? 平面 AB1F,∴ B 平面 AB1F⊥ 平面 AEF. 11. (2012 年高考广东卷)如图所示, 在四棱锥 PABCD 中,AB⊥ 平面 PAD,AB∥ CD,PD=AD,E 是 PB 的中点, 1 F 是 DC 上的点且 DF=2AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的 高. (1)证明:PH⊥ 平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 EBCF 的体积; (3)证明:EF⊥ 平面 PAB. 解析:(1)证明:因为 AB⊥ 平面 PAD,PH?平面 PAD, 所以 PH⊥ AB. 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高,所以 PH⊥ AD. 因为 PH?平面 ABCD,AB∩AD=A,AB,AD?平面 ABCD, 所以 PH⊥ 平面 ABCD. (2)如图,连接 BH,取 BH 的中点 G,连接 EG. 因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG∥ PH, 1 1 且 EG=2PH=2. 因为 PH⊥ 平面 ABCD,

所以 EG⊥ 平面 ABCD. 因为 AB⊥ 平面 PAD,AD?平面 PAD,所以 AB⊥ AD,所以底面 ABCD 为直角梯形, 1 所以 VE- =3S△BCF· EG BCF 11 2 =3·· AD· FC· EG= 12 . 2 (3)证明:取 PA 中点 M,连接 MD,ME. 1 因为 E 是 PB 的中点,所以 ME 綊2AB. 1 又因为 DF 綊2AB,所以 ME 綊 DF,所以四边形 MEFD 是平行四边形,所 以 EF∥ MD. 因为 PD=AD,所以 MD⊥ PA. 因为 AB⊥ 平面 PAD,所以 MD⊥ AB. 因为 PA∩AB=A,所以 MD⊥ 平面 PAB, 所以 EF⊥ 平面 PAB.


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