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直线的斜率导学案


直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点: ⅰ.与 x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.

②直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 0 .
0 0 ③倾斜角 ? 的范围 0 . ? ? 1 8 0

?

(2)直线的斜率 ①直线的倾

斜角α 与斜率 k 的关系:当α ? 900 时, k 与α 的关系是 k ? tan ? ;α
? 900 时,直线斜率不存在;

②经过两点

的直线的斜率公式是

③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1, l2 ,其斜率分别为 k 。特 / / l ? kk ? 1,k 2,则有 l 1 2 1 2 别地,当直线 l1, l2 的斜率都不存在时, l 与 l2的关系为平行。 1 (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1, l2 斜率存在,设为 k ? l ? k ? k ? ? 1 1,k 2,则 l 1 2 1 2 注:两条直线 l1, l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直 线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一 定为-1。如果 l1, l2 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0 时,l 与 l2 1 互相垂直。 直线的斜率及应用

1、斜率公式: k?

y 2 ?y 1 与两点顺序无关, x ? x 2 1

2、求斜率的一般方法:
y ? y ?2 1 ( x ? x ) (1)已知直线上两点,根据斜率公式 k 求斜率; 2 1 x ? x 2 1

(2)已知直线的倾斜角 ? 或 ? 的某种三角函数根据 k 来求斜率; ? t a n ? 3、利用斜率证明三点共线的方法: 已知 A 若x ,则有 A、B、C 三 ( x , y ) , B ( x , y ) , C ( x , y ) , ? x ? x 或 k ? k 1 1 2 2 3 3 12 3 A B A C 点共线。 注:斜率变化分成两段,900 是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。

基础自测 1.设直线 l 与 x 轴的交点是 P,且倾斜角为 ? ,若将此直线绕点 P 按逆时针方向旋转 45° ,得 到直线的倾斜角为 ? +45° ,则 ? 的范围为 . 3 2.(2008· 全国Ⅰ文)曲线 y=x -2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 . 3.过点 M(-2,m) ,N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为 . 4.已知直线 l 的倾斜角为 ? ,且 0°≤ ? <135° ,则直线 l 的斜率取值范围是 . 5.若直线 l 经过点(a-2,-1)和(-a-2,1)且与经过点(-2,1) ,斜率为- 的直线 垂直,则实数 a 的值为 .
2 3

? ?? 例 1 若? ∈ ? ? , ? ,则直线 2xcos ? +3y+1=0 的倾斜角的取值范围是
?6 2 ?

.

例 2 (14 分)已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0, (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

例 3 已知实数 x,y 满足 y=x2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求:
y?3 的最大值与最小值. x?2

1.直线 xcos ? + 3 y+2=0 的倾斜角的取值范围是

.

2.已知两条直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当 m 分别为何值时,l1 与 l2: (1)相交?(2)平行?(3)垂直?

3.若实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么

y 的最大值为 x

.

一、填空题 1.直线 xcos ? +y-1=0 ( ? ∈R)的倾斜角的范围是 . 2.(2009· 姜堰中学高三综合练习)设直线 l1:x-2y+2=0 的倾斜角为 ? 1 ,直线 l2:mx-y+4 =0 的倾斜角为 ? 2 ,且 ? 2 = ? 1 +90° ,则 m 的值为 . 3.已知直线 l 经过 A(2,1) ,B(1,m2) (m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围 是 . 4.已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=x 对称,直线 l3⊥l2,则 l3 的斜率 为 . 5.若直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位, 再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后, 又回到原来位置, 那么直线 l 的斜率是 . 6.(2008· 浙江理,11)已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a) ,B(2,a2) ,C(3,a3)共线, 则 a= . 7.已知点 A(-2,4) 、B(4,2) ,直线 l 过点 P(0,-2)与线段 AB 相交,则直线 l 的斜 率 k 的取值范围是 . 8.已知两点 A(-1,-5) ,B(3,-2) ,若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,则 l 的斜率是 . 二、解答题 9.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1) 、 (2,2) ,若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,求 m 的取值范围.

10.已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求 m 的值,使得:

12.已知两点 A(-1,2) ,B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈ ??
? ? ? ? 3 ? 1, 3 ? 1? ,求直线 AB 的倾斜角 ? 的取值范围. 3 ? ?

直线的倾斜角与斜率
★基础练习题 1、已知,A(–3, 1)、B(2, –4),则直线 AB 上方向向量 AB 的坐标是 A、(–5, 5) B、(–1, –3) C、(5, –5) D、(–3, –1) 2、过点 P(2, 3)与 Q(1, 5)的直线 PQ 的倾斜角为 A、arctan2 B、arctan(–2) C、

??? ?

? –arctan2 D、π–arctan2 2

3、已知点 A(cos77 ° ,sin77° ), B(cos17° , sin17° ),则直线 AB 的斜率为 A、tan47° B、cot47° C、–tan47° D、–cot47° 4、下列命题正确的是 A、若直线的斜率存在,则必有倾斜角 α 与它对应 B、若直线的倾斜角存在,则必有斜率与它对应 C、直线的斜率为 k,则这条直线的倾斜角为 arctank D、直线的倾斜角为 α,则这条直线的斜率为 tanα 5、过点 M(–2, a), N(a, 4)的直线的斜率为– A、–8 B、10 C、2 D、4 6、过点 A(2, b)和点 B(3, –2)的直线的倾斜角为 A、–1 B、1 C、–5 D、5 7、如图,若图中直线 l1, l2, l3 的斜率分别为 k1, k2, k3,则

1 ,则 a 等于 2 3? ,则 b 的值是 4

A、k1<k2<k3 C、k3<k2<k1

B、k3<k1<k2 D、k1<k3<k2

8、已知点 M(cosα, sinα), N(cosβ, sinβ),若直线 MN 的倾斜角为 θ,0<α<π<β<2π, 则 θ 等于

1 (π+α+β) 2 1 C、 (α+β–π) 2
A、 ★提高练习题

1 (α+β) 2 1 D、 (β–α) 2
B、

1、直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角中 A. ?
6

( C. 2?
3



B. ?

3

D. 5?
6

2、若经过点 P(1-a,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,求实数 a 的取值范围

3、△ ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分线在 x 轴上, 求边 AB 与 AC 所在直线的斜率。

★综合练习题 1、已知点 M(2,2)和 N(5,-2),点 P 在 x 轴上,且∠MPN 为直角,求点 P 的坐标。

2、直线 l 上有两点 M(a,a+2),N(2,2a-1),求 l 的倾斜角 θ。

1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) 和一个动点 P(x,y),若 P 与 P 1、P 2 三点共线,那 3、两个定点 P

么 x、y 应满足什么关系?


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