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2016届宿迁高三年级摸底考试数学卷(word版含答案)


高三年级摸底考试
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填写在答题卡相应位置. 1、已知集合 A ? x ?1 ? x ? 1 ,则 A ? Z =____________. 2、若负数 z ? (1 ? i)(m ? 2i) i为虚数单位 是纯虚数,则实数 m 的值为_________. 3、数据 10、6、8、5、6 的方差 s =

_____________. 4、抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的 正四面体,记落在桌面的底面上的数字分别为 x, y, 则 整数的概率是____________.
2

?

?

?

?

开始

S ? 2, n ? 1

n ? n ?1

x 为 y
n?8

S ? 1?

1 S

y2 5、已知双曲线 x ? 2 ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程 m
2

N

Y
输出 S

为 x ? 3 y ? 0 ,则 m =_________. 6、执行如图所示的算法流程图,则输出的结果是__________. 结束

7、底面边长为 2,侧棱长为 3 的正四棱锥的体积是____________. 8、在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, a3a5 ? 4(a4 ? 1) ,则 a7 ? __________. 9、已知 a ? 1, b ? 2, a ? b ? 1, 2 ,则向量 a , b 的夹角为___________. 10、直线 ax ? y ? 1 ? 0 被圆 x ? y ? 2ax ? a ? 0 截得的弦长为 2, 则实数 a 的值是______.
2 2

?

?

11、已知函数 f ?x ? ? ? x ? 2 x ,则不等式 f ?log2 x ? ? f ?2?的解集为__________.
2

12、将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移 ? (? ? 0) 个单位,若所得的图像过点 (

?
6

,

3 ) ,则 2

? 的最小值为__________.
13、在 △ ABC 中 , AB=2 , AC=3 , 角 A 的 平 分 线 与 AB 边 上 的 中 线 交 于 点 O , 若

AO ? x AB ? y AC( x, y ? R) ,则 x+y 的值为___________.
14、已知函数 f ?x? ? e
x ?1
2 , g ( x) ? x ? ax ? a ? 3 ,若存 ? x ? 2(e为自然对数的底数)

在实数 x1 , x2 ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 1,则实数 a 的取值范围是_________.

高三年级摸底考试
二、解答题。 15.(本小题满分 14 分) 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,b=4,c=6,且 a sin B ? 2 3 . (1)求角 A 的大小; (2)若 D 为 BC 的中点,求线段 AD 的长。

16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , AB CD, AC ? BD , AC与BD交于点O, 且平面

PAC ? 底面ABCD,E为棱PA上一点。
(1)求证: BD ? OE ; (2)若 AB ? 2CD, AE ? 2EP , 求证:EO 平面PBC .

高三年级摸底考试
17、 (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足2an?1 ? an ? an?2 ? k (n ? N * , k ? R) ,且 a1 ? 2, a3 ? a5 ? ?4 . (1)若 k=0,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (2)若 a4 ? ?1,求数列 ?an ? 的通项公式 an .

18.(本小题满分 16 分) 如图, 墙上有一壁画, 最高点 A 离地面 4 米, 最低点 B 离地面 2 米, 观察者从距离墙 x( x ? 1) 米,离地面高 a(1 ? a ? 2) 米的 C 处观赏该壁画,设观赏视角 ?ACB ? ? . (1)若 a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角 ? 最大? (2)若 tan ? ?

1 ,当 a 变化是,求 x 的取值范围. 2

高三年级摸底考试
19.(本小题满分 16 分)

x2 y2 如图,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上、下顶点分别为 A,B,右焦点为 F,点 P 在椭 a b
圆 C 上,且 OP ? AF . (1)若点 P 坐标为

? 3,1?,求椭圆 C 的方程.

(2)延长 AF 交椭圆 C 于点 Q,若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍,求椭圆 C 的离 心率. (3)求证:存在椭圆 C,使直线 AF 平分线段 OP.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ?x? ? cos x ? ax ?1, a ? R .
2

(1)求证:函数 f ?x ? 是偶函数; (2)当 a=1 时,求函数 f ?x ? 在 ?? ? , ? ? 上的最值; (3)若对于任意的实数 x 恒有 f ?x ? ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

高三年级摸底考试
1. ?1,0,1 ? 2. ?2

?

16 5 1 4. 2
3. 5.

3 3
4 3 2? 3

6. ?1 7.

8. 4 9.

10. ?2 11. (0,1) ? (4, ?? )

? 6 5 13. 8
12. 14. ? 2,3? 15.(1)? 由 a sin B ? 2 3, b ? 4, c ? 6 得 b sin A ? 2 3,

? sin A ?

3 2

又? 0 ? A ?

?
2

?A?

?
3

(2)由(1)知 A ?

?
3

,由余弦定理得 a ? 2 7 又? D 为 BC 中点,? BD ? DC ? 7

在 ?ABC 中 余 弦 定 理 知 cos C ?

1 2 7

, 故 AD ? AC ? CD ? 2 AC ? CD cos C 即
2 2

2

AD ? 19

高三年级摸底考试
16.连结 OE (1) 面 PAC ? 面 ABCD 面 PAC ? 面 ABCD ? AC ? BD ? 面 PAC ,又由 OE ? 面 PAC ? BD ? OE

BD ? AC BD ? 面 ABCD

(2)由 AB ? 2CD, AB ? CD 得 ?DCO ? ?BAO 且 又知 AB ? 2CD 得 OE ? PC 又 OE ? 面 PBC , PC ? 面 PBC ? OE ? 面 PBC 17.(1)

AO 2 ? , AC 3

由 k ? 0 得 2an?1 ? an ? an?2 ? an?2 ? an?1 ? an?1 ? an 知 an ? 为等差数列

?

4 3 n(n ? 1) 2 8 d 代入得 Sn ? ? n 2 ? n 故 S n ? na1 ? 2 3 3

a1 ? 2, a3 ? a5 ? ?4 ? a4 ? ?2, d ? ?

(2)由已知 a4 ? ?1, a3 ? a5 ? ?4 ,令 n ? 3 代入得 2a4 ? a3 ? a5 ? k ? k ? 2 , 不妨令 bn ? an?1 ? an , 由已知 2an?1 ? an ? an?2 ? 2 得到 bn?1 ? bn ? 2 ,故 bn ? 为等差数 列 , 首 项 b1 ? a2? a1, 下 面 求 a2 , 分 别 令 n ? 1 ,n ? 2代 入 2an?1 ? an ? an?2 得

?

?2a2 ? a1 ? a3 ? 2 将 a3 ? a2 ? 1 和 a4 ? ?1代入 2a3 ? a2 ? a4 ? 2 得 a2 ? 3 ? a3 ? a2 ? 1 , ? ?2a3 ? a2 ? a4 ? 2
故 b1 ? a2 ? a1 ? 3 ? 2 ? 1 ,故此时 bn ? b1 ? (n ?1)d ? bn ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 当 n ? 2, n ? N
?

a2 ? a1 ? 1 a3 ? a2 ? 3 a4 ? a3 ? 5 ???? an ? an ?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2n ? 3
然后累加得 an ? a1 ? 1 ? 3 ? 5 ???? ? (2n ? 3) 即

高三年级摸底考试
an ? n2 ? 2n ? 3(n ? 2) 当 n ? 1 时代入得 a1 ? 2 符合上式,
综上所述 an ? n2 ? 2n ? 3(n ? N ? )

18.(1)过点 C 作 CE ? AB 垂足为 E ,记 ?ACE ? ? , ?BCE ? ? , 则 tan ? ?

2.5 0.5 ? , tan ? ? (0 ? ? ? ? ? ) x x 2 2.5 0.5 ? 2 2 tan ? ? tan ? 2 x ? ( x ? 1) ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) ? ? x 2.5 ? 0.5 1.25 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 2 1.25 5 x? x2 x 1.25 5 ( x ? 1) 即 x ? 取等号 x 2

当且仅当 x ?

(2)由(1)可知,

4?a 2?a ? 1 2x x x tan ? ? ? ? 2 4 ? a 2 ? a 2 1? x ? 8 ? 6a ? a 2 ? x x
2 2

, 即

x2 ? 4 x ? 4 ? ?a 2 ? 6a ? 4 ,

? ? x ? 2 ? ? ? ? a ? 3? ? 5 , ?1 ? ? x ? 2 ? ? 4 , ?1 ? a ? 2 , 0 ? x ? 1,3 ? x ? 4 , 化简得:
2

又? x ? 1,?3 ? x ? 4.

高三年级摸底考试
19. (1) 由题知 A : (0, b), F : (c, 0) ? k AF ?

?b , 由P ( 3 1 ) , c

OP ? AF ? kOP ? k AF ? ?1, ,

kOP ?

3 ? k AF 3

? 2 13 ?3 1 a ? ? ? ? 1 b ? 2 ? 3 2 ?? ? ? 3 即 ? ? ? 3 ? b ? 3c ,联立 ? a b c ?b ? 3c ?b 2 ? 13 ? ? ? 4

x2 y 2 ? ?1 13 13 3 4

(2)由题知直线 AF :

x y b ? ?1即 y ? ? x ? b c b c

? x2 y 2 ? ?1 ? 2a 2 c ? a 2 b2 ?x? 2 2 联立 ? a ?c ?y ? ? b x ?b ? c ?

或 x ? 0 (舍) 故Q:(

c c 2a 2c ?2a 2b , 2 2 ? b) ,由 OP ? AF ? kOP ? , k BQ ? 2 2 b 2b a ?c a ?c

?2a 2b ? 2b 2 2 2 c 即 a ?c2 ? ? a 2 ? 2b2 ,故 e ? 2a c 2 2b 2 2 a ?c

(3)假设存在椭圆 C 使得直线 AF 平分线段 OP ,则线段 OP 中点必在直线 AF 上,则直 线 AF 与椭圆 C 必有两个不同的交点(其中一个交点为 A ,另一个交点为 Q ) ,只需证明存 在这样的点 Q 且 yQ ? ?b 即可 不妨设 P ( x, y ) ,则 OP 中点为 ( , ) ,将 OP 中点坐标代入直线 AF 方程得到

x y 2 2

? x2 y 2 ? ?1 ? x y ? a 2 b2 ? ? 1 ,联立 ? ? 消去 x 2c 2b ? x ? y ?1 ? ? 2c 2b
化简整理得

(c2 ? 1) y 2 ? 4bc2 y ? 4b2c2 ? b2 ? 0



高三年级摸底考试
? ? 16b 2 c 4 ? 4(c 2 ? 1)(4b 2c 2 ? b 2 ) ? 0 ? 4b 2 (1 ? 3c 2 ) ? 0 ? 0 ? c 2 ? 1 3

4bc 2 3c 2 ? 1 b, 由韦达定理知 y1 ? y2 ? 2 , 其中由题知 y1 ? b , 则 y2 ? 2 只要证明 y2 ? ?b 即 c ?1 c ?1


y2 ?

3c 2 ? 1 4 b ? y 2? 3? 2 ? ?b ? y2 ? 0 即证 2 c ?1 c ?1

20.(1)易知 f ( x ) 定义域为 R 故 f ( x ) 是偶函数。 ?x ? R, f (? x) ? cos(? x) ? a(? x)2 ?1 ? cos x ? ax2 ?1 ? f ( x) 恒成立, (2)由(1)知 f ( x ) 是偶函数,求 f ( x ) 在 ? ?? , ? ? 上的最值即求 f ( x ) 在 ? 0, ? ? 上的最值 当 a ? 1 时, f ( x) ? cos x ? x2 ?1, f ' ( x) ? ? sin x ? 2 x, f '' ( x) ? ? cos x ? 2 , 易知 f '' ( x) ? 0 对于 f '' ( x) ? 0 恒成立

? f ' ( x) 在 ? 0, ? ? 单 调 递 增 , f ' ( x) ? f ' (0) ? 0 ? f ( x) 在 ? 0, ? ? 上 是 增 函 数 ,

fmin (0) ? 0, fmax (? ) ? ? 2 ? 2
(3)由(1)知 f ( x ) 是偶函数,求 f ( x ) 在 R 上 f ( x) ? 0 恒成立,即求 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上

f ( x) ? 0 恒成立,下面 a 求的取值范围 (i) 当 x ? 0 时,显然成立,则 a ? R

(ii ) 当 x ? 0 时, f ( x) ? cos x ? ax2 ?1 ? 0 即 ax 2 ? 1 ? cos x ? 0 ? a ? 0

x 2sin 2 1 ? cos x 2 a? 对于 x ? 0 恒成立 即 a ? 2 x2 x
令t ?

x sin ? 2a ? ( 2 2) x 2

x (t ? 0) ,设 g (t ) ? sin t ? t (t ? 0) 2

g ' (t ) ? cos x ?1 ? 0 ? g (t ) 在 t ? 0 上单调递减,则 g (t ) ? g (0) ? 0 即 sin t ? t

?(

sin t 2 ) ?1 t 1 ?1 ? 综上所述实数 a 取值范围是 ? ? ? ? 2 ?2 ?

即 2a ? 1 ? a ?

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