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2016天津高考理科数学(答案及解析)


2016 年天津数学理科高考试题及答案

1,2,3,4? ,B ? y y ? 3 x ? 2, x ? A , 则 A ? B ? ( 1. 已知集合 A ? ? A.? 1?
【答案】 :D 【考点】 :集合交集 【解析】 :分别带入 A 中元素到 B 中,可得 1,4,7,10,取交集即可

?

?<

br />


B.?4?

C.? 1,3?

D.? 1,4?

------------------------------本题解析由左亚老师提供

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2. 设变量 x, y 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? 5 y 的最小值为 ?3 x ? 2 y ? 9 ? 0 ?
( )

A. ? 4
【答案】 :B

B.6

C.10

D.17

【考点】 :线性规划 【解析】 :如图,故最小值为 6.

------------------------------本题解析由张晓东老师提供

爱智康高中数学研发部

第 1 页 共 16 页

3.在 ?ABC 中,若 AB ? 13 , BC ? 3, ?C ? 120? 则 AC ? (



A.1
【答案】 :A

B.2

C .3

D.4

【考点】 :解三角形,余弦定理 【解析】 :由余弦定理, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,代入数据计算得 b ? 1 或 b ? ?4 (舍) ------------------------------本题解析由左亚老师提供

4,阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8

【答案】 :B 【考点】 :程序框图 【解析】 :S=4,n=1;4<6 S=8,n=2;8>6 S=2,n=3;2<6 S=4,n=4>3 所以,选 B

------------------------------本题解析由李禄老师提供

5.设 ?an ? 是首项为正数的等比数列,公比为 q,则 是“对任意的正整数 n , “q ? 0”

a2 n ?1 ? a2 n ? 0 ”的
(A)充要条件
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第 2 页 共 16 页

(B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】 :C 【考点】 :简易逻辑用语 【解析】 :

? a2 n ?1 ? a2 n ? 0,a2 n ?1 ? 0, a2 n ? 0 ? a2 n ? ? a2 n ?1 , ? q ? ?1 a2 n ? ?1 a2 n ?1

? “q ? 0” 是“ q ? ?1 ”的必要而不充分条件
所以,选 C ------------------------------本题解析由李禄老师提供

6.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1?b ? 0 ? ,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双 4 b2

曲线的两条渐近线相交于 A, B, C , D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b ,则双曲线的 方程为 (A)

x2 3y2 ? ?1 4 4 x2 y2 ? ?1 4 4

(B)

x2 4 y2 ? ?1 4 3 x2 y2 ? ?1 4 12

(C)

(D)

【答案】 :D 【考点】 :双曲线的性质 【解析】 :双曲线

b x2 y2 ? 2 ? 1?b ? 0 ? 的两条渐近线分别为 y ? ? x 2 4 b

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第 3 页 共 16 页

b ? ? b ? ? b ? ? b ? ? A, B, C , D 四点坐标分别为 A? x0 , x0 ?, B? ? x0 , x0 ?, C ? ? x0 ,? x0 ?, D? x0 ,? x0 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?
四边形 ABCD 面积= 2 x0 ? bx0 ? 2b ,

b? ? b? ? b? ? b? ? ? x0 ? 1 , A?1, ?, B? ? 1, ?, C ? ? 1,? ?, D?1,? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? ?b? ? 圆的半径为 2,?1 ? ? ? ? 2 2 ? b 2 ? 12 ,所以选 D ?2?
2 2

------------------------------本题解析由李禄老师提供

7.已知 ?ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE 并 延长到点 F ,使得 DE ? 2 EF ,则 AF ? BC 的值为( (A) ? ) (D)

5 8

(B)

1 8

(C)

1 4

11 8

【答案】 :B 【考点】 :向量 【解析】 : 以 AC 边中点为直角坐标坐标系原点,以 AC 边为 X 轴,高为 y 轴,建立直

0 ?,F ? 角坐标系,可得 A? ? , ? , ?1 3? ? BC ? ? , ? ?2 ? 2 ? ?
所以, AF ? BC =

? 1 ? 2

? ?

?1

? ? 3? 3? 1 ? 3? ?,B? 0, ?,C ? ? 2, ? , , 0 AF ? ,故可得 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?2 ? ?2 4 ? ? ? ? ?

1 8
------------------------------本题解析由田雨龙老师提供
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第 4 页 共 16 页

8.已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? ?4a ? 3?x ? 3a, x ? 0 ? log a ( x ? 1) ? 1, x ? 0

?a ? 0, 且a ? 1? 在 R 上单调递减, 且关于


x 的方程 f ( x ) ? 2 ? x 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是(
(A) ?0, ? 【答案】 :C 【考点】 :函数图像及综合性质 【解析】 : 因为在 R 上单调, ① x ? 0 时的二次函数 y ? x 2 ? ?4a ? 3?x ? 3a 对称轴要大于等于 0,得 a ? ② x ? 0 时的对数函数 log a ? x ? 1? ? 1 ,底数符合,得 0 ? a ? 1

2? 3?

(B)? , ? 3 4

?2 3? ? ?

(C)? , ? ? ? ? 33 4

?1 2 ? ? ?

?3? ? ?

(D)? , ? ? ? ?

?1 2 ? ? 3 ? ?3 3 ? ?4 ?

3 4

③又因为抛物线与 y 轴交点纵坐标 3a,要大于等于对数函数与 y 轴交点的纵坐标 1,故 得 3a ? 1, a ?

1 3

◆◆ 到此时综上:

1 3 ?a? 3 4
恰有两个不相等的实数解,可以看出是

接 下 来 , 又 因 为 方 程 f ( x) ? 2 ? x

y ? f ? x ? 与y ? 2 ? x 有两个交点。这条直线 y ? 2 ? x 与右边对数函数 log a ? x ? 1? ? 1 必
有交点, 所以只需要满足直线 y ? 2 ? x 与左边抛物线 y ? x 2 ? ?4a ? 3?x ? 3a 有一个交点 即可。 ①当 a ?

3 时,直线 y ? 2 ? x 与抛物线 y ? x 2 ? ?4a ? 3?x ? 3a 且有一个交点符合题意。 4

②因为直线 y ? 2 ? x 过定点 ?0,2 ? ,若想与抛物线 y ? x 2 ? ?4a ? 3?x ? 3a 在左面有一个 交点,抛物线 y ? x 2 ? ?4a ? 3?x ? 3a 与 y 轴交点纵坐标 ?0,3a ? ,要低于或等于定点 ?0,2 ? 故 3a ? 2, a ? 综上:

2 3 ?1 2 ? ? 3 ? a 的范围是 ? , ? ? ? ? ?3 3 ? ?4 ?
------------------------------本题解析由田雨龙老师提供

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第 5 页 共 16 页

9.已知 a , b ? R , i 是虚数单位,若 (1 ? i )(1 ? bi ) ? a ,则 【答案】 :2 【考点】 :复数计算

a 的值为 b

【解析】 :当复数的虚部为 0 时,该复数是一个实数。本题考查复数概念及计算。 ------------------------------本题解析由王可君老师提供

10. ( x 2 ? )8 的展开式中 x 7 的系数为 【答案】 :-56 【考点】 :二项式定理

1 x

.(用数字作答)

5 5 7 ( x 2 )5 ( ? )3 ? ?C8 x ? ?56 x 7 ,问的是系数, 【解析】 :C8 所以是-56.本题考查二项式系

1 x

数计算。 ------------------------------本题解析由王可君老师提供

11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m) ,则 该四棱锥的体积为

m3

【答案】 :2 【考点】 :四棱锥体积计算

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第 6 页 共 16 页

【解析】 : 底面是以 2 为边长, 1 为高的平行四边形, 四棱锥高为 3, 故V ? 2 ? 1 ? 3 ? 本题考查四棱锥体积计算。

1 ? 2。 3

------------------------------本题解析由王可君老师提供

12.如图, AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E , BE ? 2 AE ? 2, BD ? ED ,则 线段 CE 的长为

C A E B

2 3 【答案】 : 3
【考点】: 几何证明选讲

D

【解析】 : ? ACE 相似于 ? DBE ,所以根据线段比可求 AC ? 1 ,再根据勾股定理可求

BC ? 2 3 ,设 BD ? ED ? x ,勾股定理可求 AD ? 9 ? x 2 , ?CEB 相似
于 ? AED ,可求 BD ? 3 ,根据 AE ? BE ? CE ? DE ,可求 CE ?

2 3 3

------------------------------本题解析由刘会玲老师提供

13.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 ? ??, 0 ? 上单调递增,若实数 a 满足

f 2

?

a ?1

? ? f ? ? 2 ? ,则 a 的取值范围是
1 3 ?a? 2 2

【答案】 :

【考点】: 函数 【解析】 : 根据偶函数及在区间 ? ??, 0 ? 上单调递增, 可知 f ? x ? 在 x ? 0 时取得最大值,

f ? 2 ? f

?

?

? 2 ? ,所以1 ? 2

a ?1

? 2 ,可求 a

------------------------------本题解析由刘会玲老师提供

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第 7 页 共 16 页

14.设抛物线 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

, ( t 为参数,p ? 0 ) 的焦点为 F , 准线为 l , 过抛物线上一点 A ,

作 l 的垂线,垂足为 B ,设 C ?

?7 ? p , 0 ? , AF 与 BC 相交于点 E ,若 CF ? 2 AF ,且 ?2 ?

? ACE 的面积为 3 2 ,则 p 的值为
【答案】 : 6 【考点】: 圆锥曲线 【解析】 : CF ? 3 p ,因为 CF ? 2 AF ,所以 AF ?

点横坐标为 p ,所以 A p , ? 2 p ,根据 ? ACE 的面积为 3 2 ,可求 p ? 6 ------------------------------本题解析由刘会玲老师提供

?

?

3 p ,因为 AB ? AF ,所以 A 2

15.已知函数 f ( x ) ? 4 tan x sin(

? ? ? x) cos( x ? ) ? 3 . 2 3

(1)求 f ( x ) 的定义域与最小正周期 ; (2)讨论 f ( x ) 在区间 [ ? 【答案】 : (1) {x | x ?

? ? ? ? ? ? k? , k ? Z } , ? ; (2) ( ? , ) 单增,在 ( ? ,? ) 单减 2 12 4 4 12 ? ? k? , k ? Z } ,即为 f ( x ) 的定义域。 2

? ? , ] 上的单调性. 4 4

【考点】 :三角函数图像性质及恒等变换 【解析】 : (1)正切函数定义域为 {x | x ?

f ( x) ?

4 sin x 1 3 cos x( cos x ? sin x) ? 3 cos x 2 2

? 2 sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) 3

?

∴最小正周期为 ?

(2)由 第 ( 1 ) 问 , 得 f ( x ) 的 单 增 区 间 为 ( k? ?

? 5 , k? ? ? ) , 单 减 区 间 为 12 12 5 11 ? ? ? ? (k? ? ? , k? ? ? ) , k ? Z ,∴ f ( x ) 在 (? , ) 单增,在 (? ,? ) 单减 12 12 12 4 4 12
------------------------------本题解析由陈鑫老师提供
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第 8 页 共 16 页

16.某小组共 10 人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数 分别为 3,3,4,现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会。 (1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ,求事件 A 的概率; (2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和 数学期望。 【答案】 :见解析 【考点】 :排列组合、分布列 【解析】 : (1)10 人中任选 2 人,有 C10 种可能; A 事件发生的可能有 ①两人次数均为 2 次,②一人 1 次一人 3 次,故其可能情况有
2

C ?C C

2 3

1 3

1 4 种,所以

1 1 C32 ? C3 C4 1 P ( A) ? ? 2 C10 3

(2)X 的可能取值为 0,1,2

P ( X ? 0) ?

2 C32 ? C32 ? C4 4 ? 2 C10 15 1 1 1 1 C3 C3 ? C3 C4 7 ? 2 C10 15

P ( X ? 1) ?

1 1 C3 C 4 P ( X ? 2) ? 2 4 ? C10 15

X P

0

1

2

4 15 4 7 4 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 15 15 15

7 15

4 15

------------------------------本题解析由陈鑫老师提供

17.如图, 正方形 ABCD 的中心为 O , 四边形 OBEF 为矩形, 平面 OBEF ? 平面 ABCD , 点 G 为 AB 的中点, AB ? BE ? 2 (1)求证: EG // 平面 ADF ; (2)求二面角 O ? EF ? C 的正弦值;
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(3)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH ? 值.

2 HF ,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦 3

【答案】 : (Ⅰ)略, (Ⅱ) 【考点】 :立体几何

3 7 , (Ⅲ) 3 21

【解析】 : (Ⅰ)求证: EG ? 平面 ADF 证明:取 AD 中点 M ,连接 GM , FM . ∵点 G , M 分别为 AB, AD 中点 ∴ GM ? BD ,且 GM ? 又∵ O 为正方形 ABCD 的中心 ∴ BO ?

1 BD 2

1 BD 2

∴ GM ? BO ∵ OBEF 为矩形 ∴ GM ? EF ,即四边形 EFMG 为平行四边形

? ? ∴ EG ? ADF ? ? EG ? ADF ; FM ? ADF ? ?
(Ⅱ)求二面角 O ? EF ? C 的大小
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第 10 页 共 16 页

EG ? FM

∵四边形 OBEF 为矩形 ∴ OF ? EF ∴

OF ? EF ? ? ? EF ? COF OC ? EF ?

∴角 ?CFO 为所求角 又∵平面 OBEF ? 平面 ABCD , ABCD 为正方形 ∴ CO ? BO ∴ CO ? OF

FO ? EB ? AB ? 2 , CO ? 2 CF ? CO 2 ? OF 2 ? 6
∴ sin ?CFO ?

3 ; 3

(Ⅲ)以点 B 为坐标原点,分别以 BA, BC , BE 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐 标系 则 B : (0, 0, 0) E : (0, 0, 2)

F : (1,1, 2)

8 2 4 C : (0, 2, 0) H : ( , , ) 5 5 5

???? 8 2 4 ???? 2 21 ??? ? ??? ? EF ? (1,1, 0) EC ? (0, 2, ?2) BH ? ( , , ) BH ? 5 5 5 5
设 n 为平面 EFC 的法向量,则有

?

??? ? ? ? ? ? ? EF ? n ? 0 ? ? ? ? ? n ? (1, ?1, ?1) , n ? 3 ? ??? ? ? EC ? n ? 0 ???? ? ???? ? BH ? n 7 cos BH , n ? ???? ? ? 21 BH ? n
即直线 BH 与平面 CEF 所成角的正弦值为

7 。 21

------------------------------本题解析由乔春艳老师提供

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第 11 页 共 16 页

18.已知 ?an ?是各项均为正数的等差数列,公差为 d,对任意的 n ? N , bn 是 an 和 an ?1
*

的等比中项.
2 2 * (1)设 cn ? bn cn ?是等差数列. ?1 ? bn , n ? N ,求证:数列 ? k ? ?? 1? bk2 , n ? N * ,求证: ? k ?1 2n

(2)设 a1 ? d , Tn ? 【答案】 :见解析.

1 1 . ? 2d 2 k ?1 Tk
n

【考点】 :等差数列与等比数列的定义;数列求和.
2 【解析】 : (1)证明:依题意可知, bn 是 an 和 an ?1 的等比中项,∴ bn ? an an ?1 2 2 又∵ cn ? bn ?1 ? bn 且 ?an ?是各项均为正数的等差数列,公差为 d 2 2 ∴ cn ? bn ?1 ? bn ? an ?1an ? 2 ? an an ?1 ? 2dan ?1 2 ∴ cn ?1 ? cn ? 2dan ? 2 ? 2dan ?1 ? 2d ( an ? 2 ? an ?1 ) ? 2d (常数)

∴根据等差数列的定义可知,数列 ?cn ?是等差数列. 证明:∵ ?an ?是各项均为正数的等差数列,公差为 d,且 a1 ? d
2 2 ∴ an ? a1 ? ?n ? 1?d ? nd ,又∵ bn 是 an 和 an ?1 的等比中项,∴ bn ? an an ?1 ? n( n ? 1) d

∴可以得到:
2 2k 2 2 2 Tn ? ? ?? 1? bk2 ? ? (?1) 2 k ?1 b2 k ?1 ? ( ?1) b2 k ? d ? ?2k ( 2k ? 1) ? ( 2k ? 1) 2k ? ? 2n( n ? 1) d k k ?1 k ?1 k ?1 2n n

?

?

n



?T
k ?1

n

1
k

?

1 1 1 1 ( ? ? ???? ) 以 2 2d 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 ? 2 2d 1 ? 2 2d

1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ????? ? ) 1 2 2 3 n n ?1 1 1 (1 ? ) ? 2 , 得证. n ? 1 2d
------------------------------本题解析由金维老师提供

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19. 设 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 3 ) 的 右 焦 点 为 F , 右 顶 点 为 A , 已 知 3 a2

1 1 3e ,其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率 ? ? | OF | | OA | | FA |
(1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交于 点 M ,与 y 轴交于点 H ,若 BF ? HF ,且 ?MOA ? ?MAO ,求直线 l 的斜率的取值 范围 【答案】 :

x2 y2 6 6 ? ? 1 ; ( ?? ,? ]?[ ,?? ) 4 3 4 4

【考点】 :椭圆的性质与计算 【解析】 : (1)由题意可得 b ? 3 , | OF |? c , | OA |? a , | FA |? a ? c 则

1 1 3e 1 1 3e ? ? 可转化为 ? ? | OF | | OA | | FA | c a a?c

解方程可得 a 2 ? 4c 2 即 a ? 2c 又由于 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,可得 a ? 2,c ? 1 故椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(2)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,将直线方程与椭圆方程联立可得

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0
设 B ( x 0 , y 0 ) ,由韦达定理可得 x 0 ? 2 ?

16k 2 8k 2 ? 6 ,解得 ,则 x ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

B(

8k 2 ? 6 ? 12k , ) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
直线 MH 与 l 垂直,斜率为 ? 则 H (0, b) , F B ? (

1 1 ,设方程为 y ? ? x ? b k k

?

? 4k 2 ? 9 ? 12k , ) , F H ? (?1, b) 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
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第 13 页 共 16 页

由 BF ? HF 可得 B F ? H F ? ?

?

?

4k 2 ? 9 ? 12k ? ?b ? 0 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

解得 b ?

9 ? 4k 2 1 9 ? 4k 2 ,则直线 MH 方程为 y ? ? x ? 12k k 12k 9 ? 20 k 2 12( k 2 ? 1)

联立两条直线方程可得 M 点横坐标为 x 0 ?

由 ?MOA ? ?MAO 可得 x 0 ?

9 ? 20 k 2 ? 1 ,解得 x 0 ? ? 6 或 x 0 ? 6 2 12(k ? 1) 4 4

故取值范围是 ( ?? ,?

6 6 ]?[ ,?? ) 4 4

------------------------------本题解析由蔡磊老师提供

20.设函数 f ( x ) ? ? x ? 1? ? ax ? b, x ? R ,其中 a, b ? R
3

(1).求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 f ? x ? 存在极值点 x0 ,且 f ? x1 ? ? f ? x0 ?, ,其中 x1 ? x0 ,求证: x1 ? 2 x0 ? 3 ; (3)设 a ? 0 ,函数 g ? x ? ? f ? x ? ,求证:在区间 ?0,2? 上的最大值不小于 【答案】 :见解析 【考点】 :导函数、不等式 【解析】 : (1) f ' ( x ) ? 3( x ? 1) 2 ? a 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 在 R 上单增; 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , 解得 x ? 1 ?

1 . 4

3a 3a 3a , f ( x ) 在 ( ??,1 ? ) 和 (1 ? ,?? ) 单增, 3 3 3

在 (1 ?

3a 3a ,1 ? ) 单减。 3 3 3a )和 3

综上所述,当 a ? 0 时,增区间为 R ;当 a ? 0 时,增区间为 ( ??,1 ?

(1 ?

3a 3a 3a ,?? ) ,减区间为 (1 ? ,1 ? )。 3 3 3
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(2)∵ f ( x1 ) ? f ( x0 )

3 3 ∴ ( x1 ? 1) ? ax1 ? b ? ( x0 ? 1) ? ax0 ? b ,化简得

[( x1 ? 1) 2 ? ( x1 ? 1)( x0 ? 1) ? ( x0 ? 1) 2 ]( x1 ? x0 ) ? a ( x1 ? x0 )
2 2 ∵ x1 ? x0 ,∴ ( x1 ? 1) ? ( x1 ? 1)( x0 ? 1) ? ( x0 ? 1) ? a 2 又∵ f ' ( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ? a ? 0 2 2 2 ∴ ( x1 ? 1) ? ( x1 ? 1)( x0 ? 1) ? ( x0 ? 1) ? 3( x0 ? 1)

整理得 ( x1 ? x0 )( x1 ? 2 x0 ? 3) ? 0 ∴ x1 ? 2 x0 ? 3 ,得证。 (3) f ( x ) 的两个极值点为 x01 ? 1 ?

3a 3a 和 x02 ? 1 ? 3 3

①当 a ? 3 时, x01 ? 0 , x02 ? 2 ,∴ f max ? f (0) ? ?1 ? b , f min ? f ( 2) ? 1 ? 2a ? b 此时 g (0) ? g ( 2) ? 1 ? b ? 1 ? 2a ? b ? 1 ? b ? 1 ? 2a ? b ? 2a ? 2 ∴ g (0) 与 g ( 2) 至少有一个不小于 a ? 1 ,且 a ? 1 ? 2 ∴该情况得证 ②当 0 ? a ? 3 时, 0 ? x01 ? 1 , 1 ? x02 ? 2 当0 ? a ?

3 1 3 时, ? x01 ? 1 , 1 ? x02 ? ; 4 2 2

结合第(2)问结论可得,若 f ( x11 ) ? f ( x01 ) , f ( x12 ) ? f ( x02 ) ,则 1 ? x11 ? 2 ,

0 ? x12 ? 1 ,故此时 f max ? f (0) ? ?1 ? b , f min ? f (2) ? 1 ? 2a ? b
同理可得 g (0) 与 g ( 2) 至少有一个不小于 a ? 1 ,且 a ? 1 ? 当

3 1 3 ? a ? 3 时, 0 ? x01 ? , ? x02 ? 2 ; 4 2 2

1 ,该情况得证。 4

结合第(2)问结论可得,若 f ( x11 ) ? f ( x01 ) , f ( x12 ) ? f ( x02 ) ,则 2 ? x11 ? 3 ,

? 1 ? x12 ? 0 ,故此时 f max ? f ( x01 ) ? g ( x01 ) ? g ( x02 ) ?

2a 3a 2a 3a ? a ? b , f min ? f ( x02 ) ? ? ?a ?b 9 9

2a 3a 2a 3a 4a 3a 1 ?a ?b ? ?a?b ? ? 9 9 9 2
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1 ,该情况得证。 4 1 综上所述,函数在区间 ?0,2? 上的最大值不小于 4
∴ g ( x01 ) 与 g ( x02 ) 至少有一个不小于 ------------------------------本题解析由张晓东老师提供

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