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北京市顺义区2014届高三第一次统练考试数学(文)试题


北京市顺义区 2014 届高三第一次统练考试 数学(文)试题
本试卷共 4 页,150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.

第一部分(选择题

共 40 分)

一. 选择题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中

,选 出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 A ? ? x | ?3 ? x ? 1? , B ? ? x | x ? 2? ,则集合 A U B ? A. ? x | ?3 ? x ? 1? B. ? x | ?3 ? x ? 2? C.

? x | x ? 1?

D.

? x | x ? 2?

2.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 1 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其 频率分布直方图如图所示.已知 9 时至 10 时的销售额为 3 万元,则 11 时至 12 时的销售 额为
频率/组距 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05

A. 8 万元

B. 10 万元

C. 12 万元

D. 15 万

2i 3.已知 i 为虚数单位,在复平面内复数 对应点的坐标为 1? i

0

9

10

11

12

13

14 时间

A.

(1,1)

B.

(?1,1)

C.

(2, 2)

D. (?2, 2)

4. 执行右边的程序框图,若 p ? 5 , 则输出的 S 值为 7 A. 8 31 C. 32
15 16 63 D. 64

B.

·1 ·

5.下列函数,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? 2 x ( x ? R) C.
y ? x ? x3 ( x ? R)

B. y ? ? log 2 x ( x ? 0, x ? R) D. y ? ?

1 ( x ? R, x ? 0) x ? ? ? ? ? 6. 已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? (1, k 2 ? 1) ,则 k ? 2 是 a ? b 的

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 7.过椭圆

(B) 必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x2 y 2 x2 y 2 1 x 的焦点垂直于 轴的弦长为 ,则双曲线 ? ? 1 ? ? 1 的离 a ( a ? b ? 0) a 2 b2 a 2 b2 2

心率 e 的值是 A.
5 4

B.

5 4

C.

3 2

D.

5 2

8.设数集 M 同时满足条件 ① M 中不含元素 ?1, 0,1 ,
1? a ?M . 1? a 则下列结论正确的是 (A)集合 M 中至多有 2 个元素; (B)集合 M 中至多有 3 个元素; (C)集合 M 中有且仅有 4 个元素; (D)集合 M 中有无穷多个元素.

②若 a ? M ,则

二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
9.命题“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是_________________. 10.抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 A 的横坐标为 4 ,则点 A 与抛物线焦点的距离为________. 11.一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积是_________.
4 主视图

3

侧(左)视图

·2 ·
俯视图

12. 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x ? 1 ( x ? R )的最小正周期为_____,最大值为____.

?x ? 1 ? 13.设 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 , 则目标函数 z ? x 2 ? y 2 的最小值为___________. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
14. 设等比数列 ?an ? 满足公比 q ? N ? , an ? N ? ,且数列 ?an ? 中任意两项之积也是该数列的 一项.若 a1 ? 24 ,则 q 的所有可能取值之和为_______________.

三.解答题(本大题共 6 个小题,共 80 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15 .(本小题共 13 分)
在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为为 a , b , c ,且 sin 2 B ? sin B ? 0 (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 2 , S? ABC ? 2 3 ,求 a , c 的值.

16.(本小题共 13 分) 已知关于 x 的一次函数 y ? ax ? b (Ⅰ) 设集合 A ? ??2, ?1,1, 2? 和 B ? ??2, 2? , 分别从集合 A 和 B 中随机取一个数作为 a ,b , 求函数 y ? ax ? b 是增函数的概率;

?a ? b ? 1 ? 0 ? (Ⅱ)若实数 a ,b 满足条件 ??1 ? a ? 1 ,求函数 y ? ax ? b 的图象不经过第四象限的概率. ??1 ? b ? 1 ?

·3 ·

P

17.(本小题共 14 分) 如图在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD ,
PA ? AD ? 1, AB ? 3 ,点 F 是 PD 中点,

F A B E C D

点 E 是 DC 边上的任意一点.

(Ⅰ)当点 E 为 DC 边的中点时,判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明; (Ⅱ)证明:无论点 E 在 DC 边的何处,都有 AF ? FE ; (Ⅲ)求三棱锥 B ? AFE 的体积.

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?
ex , (其中常数 a ? 0 ) x?a

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若存在实数 x ? ? a, 2? 使得不等式 f ( x) ? e 2 成立,求 a 的取值范围.

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? b 与曲线 C 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 2 相交于点 Q . 求证:以 PQ 为直径的圆过定点 N (1, 0) .
·4 ·

2 ,长轴的左右端点分别为 A1 (? 2, 0) , A2 ( 2, 0) . 2

20.(本小题共 13 分) 在 n ? n 个实数组成的 n 行 n 列数表中,先将第一行的所有空格依次填上 1, 2 , 22 ,
23 ??? 2n ?1 ,再将首项为 1 公比为 q 的数列 ?an ? 依次填入第一列的空格内,然后按照“任意

一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规律填写其它空格. 第1列 第2列 第3列 第4列 第n列 2 3 第1行 1 2 2 2 2n ?1 q 第2行 第3行 第4行
q2 q3

??????

第n行

q n ?1

(Ⅰ)设第 2 行的数依次为 B1 , B2 , B3 ??? Bn . 试用 n, q 表示 B1 ? B2 ? B3 ? ??? ? Bn 的值; (Ⅱ)设第 3 行的数依次为 C1 , C2 , C3 ??? Cn ,记为数列 ?Cn ? . ①求数列 ?Cn ? 的通项 Cn ; ②能否找到 q 的值使数列 ?Cn ? 的前 m 项 C1 , C2 , C3 ??? Cm ( m ? 3, m ? N ? )成等比数列?若 能找到, m 的值是多少?若不能找到,说明理由.

·5 ·

顺义区 2014 届高三第一次统练 高三数学(文科)试卷参考答案及评分标准
题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 C 5 C 6 A 7 D 8 C

二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分 9. ?x ? R, x ? 0 ;10. 5 ;11. 8? ;12. ? , 2 ;13.
2

2 5 ; 5

14. 22 .



S? ABC ? 2 3
?

1 ac sin B ? 2 3 ,? ac ? 8 ———10 分 2

?ac ? 8 由? 2 2 解得 a ? c ? 2 2 ———13 分 ?a ? c ? ac ? 8
16.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)抽取全部结果所构成的基本事件空间为
(?2, ?2), (?2, 2), (?1, ?2), (?1, 2), (1, ?2), (1, 2), (2, ?2), (2, 2), 共 8 个———4 分

设函数是增函数为事件 A ,? a ? 0 ,有 4 个 ? P( A) ?

1 ———7 分 2

?a ? b ? 1 ? 0 ? (Ⅱ)实数 a , b 满足条件 ??1 ? a ? 1 要函数 y ? ax ? b 的图象不经过第四象限 ??1 ? b ? 1 ?
·6 ·

?a ? 0 ?0 ? a ? 1 则需使 a, b 满足 ? ,即 ? ,———10 分 ?b ? 0 ?0 ? b ? 1

Q
EF ? 平面 PCD ? AF ? EF ———10 分

(Ⅲ)作 FG ∥ PA 交 AD 于 G ,则 FG ? 平面 ABCD ,且 FG ?
1 3 ? VB ? AFE ? VF ? ABE ? S? ABE FG ? 3 12
? 三棱锥 B — AFE 的体积为

1 2

3 .———14 分 12

18. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)定义域 ? x | x ? a?

e x ( x ? 2) ex ' 当 a ? 1 时, f ( x) ? , f ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2
? f (0) ? ?1 , f ' (0) ? ?2 ? 曲线在 (0, f (0)) 处的切线方程为: 2 x ? y ? 1 ? 0 .———4 分

(Ⅱ) f ' ( x) ?

e x ? x ? (a ? 1) ? ( x ? a)2

,令 f '( x) ? 0 , ? x ? a ? 1
·7 ·

? f ( x) 在 (??, a), (a, a ? 1) 递减,在 (a ? 1, ??) 递增. .———8 分

若存在实数 ? a, 2? 使不等式 f ( x) ? e 2 成立, 只需在 ? a, 2? 上 f ( x) min ? e 2 成立, ①若 a ? 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 1 时, f ( x) min ? f (a ? 1) ? e a ?1 ? e 2
? a ? 1 ? 2 ,即 a ? 1 ,? 0 ? a ? 1 .———10 分

(Ⅱ)
? y ? kx ? b ? 2 消去得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 2 ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?2

Q 曲线 C 与直线 l 只有一个公共点,? ? ? 0 ,
可得 b 2 ? 2k 2 ? 1 (*)————6 分 设 P( xP , yP ) ,? xP ?
? P(?

?4kb 2k 1 , yP ? kxP ? b ? ?? 2 b 2(2k ? 1) b

2k 1 , ) .———8 分 b b

? y ? kx ? b 又由 ? ,? Q(2, 2k ? b) ————9 分 ?x ? 2 ???? ???? 2k 1 Q N (1, 0) ,? PN ? (1 ? , ? ) , NQ ? (1, 2k ? b) b b
·8 ·

???? ???? 2k 2k ? PN ? QN ? 1 ? ? ? 1 ? 0 , ? PN ? QN b b
? 以 PQ 为直径的圆过定点 N (1, 0) ..———14 分
20. (本小题共 13 分)

=2

n ?1

? 2(n ? 1) ? (n ? 1)q ? q 2

? Cn ? 2n ?1 ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)q ? q 2 ————8 分
2 ②当 m ? 3 时,设 C1 , C2 , C3 成等比数列,则 C1C3 ? C2

? q 2 (8 ? 2q ? q 2 ) ? (2 ? q ? q 2 ) 2 化简得 3q 2 ? 4q ? 4 ? 0 ,
解得 q ? 2 或 q ? ?

2 ————10 分 3

当 q ? 2 时, Cn ? 2n ?1 ,?

Cn ?2 Cn ?1

? 当 q ? 2 时数列 C1 , C2 , C3 ??? Cn 的前 m 项 (m ? N ? , m ? 3) 成等比数列;
当q ? ?

2 4 16 64 184 时, C1 ? , C2 ? , C3 ? , C4 ? 3 9 9 9 9

?

C2 C3 C4 2 ,? 当且仅当 m ? 3 , q ? ? 时 C1 , C2 , C3 成等比数列.————13 分 ? ? 3 C1 C2 C3
·9 ·


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