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2016届云南省师大附中高三适应性月考(二)数学(理)试题 解析版


2016 届云南省师大附中高三适应性月考(二) 数学(理)试题及解析

一、选择题(题型注释) 1.函数 f ( x) ? ln( x2 ?1) 的定义域为( A. (0, ??) 答案:D 试题分析:由题意得 x 2 ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,所以 x ? ?1 或 x ? 1 ,故选 D. 考点:函数的定义域. 2.

已知双曲线 C: B. (1, ??) ) D. (??, ?1) ? (1, ??)

C. (?1,1)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线过点 (一 1, 2) , 则 C 的离心率为 ( a 2 b2
C、



A. 5 答案:A

B. 3

5 2

D.

3 2

b b ?c? 试 题 分 析 : ∵ 点 (?1,2) 在 直 线 y ? ? x 上 , ∴ 2 ? , b ? 2a, b2 ? 4a2 ? c2 ? a2, ? ? ? 5 , a a ?a?
∴ e ? 5 ,故选 A.

2

考点:双曲线的离心率. 3.已知等差数列{ an }中, an?1 ? an ,且 a3a7 ? 9, a4 ? a6 ? 10 = 9,则此等差数列的公差 d= ( ) B、-3 C、-2 D、 ?

A、-4 答案:C

1 3

?a3 a7 ? 9, ?a ? 9, 试题分析:∵ 且 an?1 ? an 得,? 3 {an } 是等差数列, ∴a4 ? a6 ? a3 ? a7 ? 10 ,由 ? ? a7 ? 1, ?a3 ? a7 ? 10,

∴d ?

a7 ? a3 ? ?2 ,故选 C. 4

考点:等差数列的通项公式和性质.

?x ? y ? 1 ? 4.已知 x, y ? N * 且满足约束条件 ? 2 x ? y ? 2 ,则 x ? y 的最小值为( ?x ? 5 ?
1



A、6 B、5 答案:A

C、4 D、3

试题分析: 如图 1 所示画出可行域, 注意到 x, 在点 (3,3) 处取得最优解, 所以 ( x ? y)min ? 6 , y ? N* , 故选 A.

考点:线性规划. 5. 一个棱锥的三视图如图所示, 其中侧视图为正三角形, 则四棱锥侧面中最大侧面的面积是 (



A、1

B、

3 4

C、 2

D、

7 4

答案:D 试题分析:由三视图可得四棱锥 P ? ABCD 的直观图,如图 2 所示,底面 ABCD 是边长为 1 的正
3 ,且底面 ABCD ? 平面 PAD,∵AB ? AD , 4 底面 ABCD ? 平面 PAD ? AD, ∴AB ? 平面 PAD ,∴AB⊥AP , ∴△PAB 是等腰直角三角形,

方形, △PAD 为边长为 1 的等边三角形, S△PAD ?

S△PAB ?

1 7 1 1 ?1? , 同理 S△PCD ? , ∵在等腰 △PBC 中,PB ? PC ? 2 , , ∴S△PBC ? ? 1? 2 ? ? ? ? 2 4 2 2 ?2?

2

∴S△PBC 最大,故选 D.

2

考点:棱锥的侧面积. 6.已知平行四边形 ABCD 中,点 E,F 满足 AE ? 2EC , BF ? 3FD ,则(

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?



? 5 ???? 1 ??? AB ? AD 12 12 ??? ? ??? ? 5 1 ???? AB ? AD B、 EF ? ? 12 12 ??? ? 5 ??? ? 1 ???? AB ? AD C、 EF ? 12 12 ??? ? ??? ? 1 5 ???? AB ? AD D、 EF ? ? 12 12
A、 EF ? 答案:B
??? ? 3 ??? ? 3 ???? ??? ? ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ???? 试题分析:如图所示,由题意得 AE ? AC ? ( AB ? AD) , BF ? BD ? ( AD ? AB) ,所以 4 4 3 3 ???? ??? ? ???? ???? 2 ??? ? 1 ???? ? ???? ??? ? 3 ???? ??? ? 5 ??? EF ? EA? AB? BF? ? ( AB ? AD) ? AB ? ( AD ? AB) ? ? AB ? AD ,故选 B. 12 12 3 4

??? ?

考点:向量的运算.
x 7.已知 a, b ? N*, f ( x) ? e ? 2x ,则“ f (a) ? f (b) ”是“ a ? b ”的(



A、充分不必要条件 C、充分必要条件 答案:C

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

ln 2) 上单调递减,在 (ln 2,? ?) 上 试题分析:由 f ?( x) ? e x ? 2 ? 0 得, x ? ln 2 ,所以 f ( x) 在 (??,

b ? N* 时,“ f (a) ? f (b) ”是“ a ? b ”的充要条件,故选 C. 单调递增,又 ln2 ? 1,所以当 a,
考点:充分必要条件、函数的单调性. 8.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? )(| ? |? ? ) 的图象向右平移 的图象,则 ? 的值为( A、- ) C、

? ? 个单位后得到 g ( x) ? sin(2 x ? ) 12 3

2? 3

B、-

? 3

? 3

D、

2? 3
3

答案:A
π? π ? 试题分析:∵f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,将 f ( x) 的图象向右平移 个单位后得到 2? 12 ?

π? ? ? π? π? π? π? ? ? ? g ( x ) ? sin ? 2 x ? ? 的图象, ∴f ? x ? ? ? sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? g ( x) , 3? 12 ? 12 ? 2? 3? ? ? ? ? ?

∴? ?

2π π π ,故选 A. ? 2kπ ? (k ? Z) ,∵| ? |? π ,∴当 k ? 0 时, ? ? ? 3 3 3

考点:三角函数的图象变换. 【方法点睛】本题主要考查三角函数图象的变换, 1. ? 对图象的影响: (1) ? ? 0 ,图象向左平移; (2) ? ? 0 ,图象向右平移. 2. ? 对图象的影响: (1) ? ? 1 ,周期变小,因此图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (2) 0 ? ? ? 1 ,周期变大,因此图象上所有点的横坐标伸长为原来的 (2) 0 ? A ? 1 时,图象上所有点的纵坐标缩短为原来的 A 倍. 9.执行如图所示的程序框图,若输入 a=1,则输出的 k=( )

1

?

倍;

1

?

倍.

3.A 对图象的影响: (1) A ? 1 时,图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 A 倍;

A、8 答案:C

B、9

C、10

D、11

4

试题分析:依据程序框图,得 S ?

1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ? ?2? 1? 1 2

k

? ? k k 1 ? 1 ?1? ? ?1? ? 1 ? ,∵ ∴ , , 1 ? S ? ? ? ? ? ? 1000 ? 2 ? 1000 ?2?

∴2k ? 1000 ,又∵ k ? Ν , 210 ? 1024 ,∴ k≥10 ,故选 C. 考点:程序框图.

10.已知三棱锥 O ? ABC 的顶点 A,B,C 都在半径为 2 的球面上,O 是球心, ?AOB ? 1200 , 当△ ?AOC 与 ?BOC 的面积之和最大时,三棱锥 O ? ABC 的体积为( A、 )

3 2

B、

2 3 3

C、

2 3

D、

1 3
1 2 ∴当 ?AOC ? ?BOC R (sin ?AOC ? sin ?BOC ) , 2

答案:B 试题分析: 设球 O 的半径为 R, ∵S△AOC ? S△BOC ?
? 90? 时,

S△AOC ? S△BOC 取得最大值,此时 OA ? OC , OB ? OC ,∴ OC ? 平面 AOB,

2 3 1 1 1 ,故选 B. ∴VO ? ABC ? VC ?OAB ? OC ? OA ?OB sin ?AOB ? R3 sin ?AOB ? 3 3 2 6 考点:三棱锥的体积.

11.已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 ,若等边△PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦,则|PC|的 最大值为( A、 5 ) C、2 2 D、2 3

B、 6

答案:C A B ?? , ∵AC ? BC , △PAB 试题分析: 方法一: 如图, 连接 AC, BC, 设 ?C 连接 PC 与 AB 交于点 D, 是等边三角形,∴D 是 AB 的中点,∴PC ? AB ,∴在圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 中,圆 C 的半径 为 2,

| AB |? 2 2 cos? , | CD |? 2 sin ? ,∴在等边 △PAB 中, | PD |?

3 | AB |? 6 cos ? , 2

π? ? ∴| PC |?| CD | ? | PD | ? 2 sin ? ? 6 cos? ? 2 2 sin ? ? ? ?≤2 2 ,故选 C. 3? ?

方法二:设 | AD |? x,x ? (0, 2] , 则 | PC |? 3x ? 2 ? x2 , 记 f ( x) ?
x? 6 ?( , 0 2 2 ,]

3x ?

2 , 令 f ?( x ) ? 2 ? x

? 3

?2 x 2 2 ? x2

?0 , 得

? 6? ∴f ( x)max ? f ? ? 2 ? ? ? 2 2 ,故选 C. ? ?
5

考点:圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值. 【思路点睛】法一、先由 ?ACB 为等腰三角形,得出 D 为中点,再由 ?PAB 为等边三角形,得出 PD ? AB , 在 ?ADC 中,将 | AB | 和 | CD | 用 ? 表示,从而求出 | PD | 的值,得到 | PC |?| CD | ? | PD | 的表 达式,用三角函数的有界性求最值;法二:设出边 AD 的长 x,根据已知条件表示出 | PC | ,再利 用导数求出函数的最值. 12. 已知函数 f ( x) ? ?

?ln | x ? 1|, x ? 1 , g ( x) ? a( x ? 2a)( x ? a ? 2) ,若 f ( x) 与 g ( x) 同时满足条 ?0, x ? 1

件:① ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 ;② ?x0 ? (??, ?1], f ( x0 ) g ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围 是( )

1 ,2) 2 2 2 B、 (- ? ,-1) ? (0, ) ? ( ,2) 3 3 1 C、 (- ? ,0) ? ( ,2) 2 2 2 D、 (- ? ,0) ? (0, ) ? ( ,2) 3 3
A、 (- ? ,-1) ? ( 答案:B 0) ? (2, ? ?) 时, f ( x) ? 0 ,为满足条件①, 试题分析:如图,由 f ( x) 的图象可知,当 x ? (??, 可得 g ( x) ? 0 在 [0,2] 上恒成立; 为满足条件②, 由于在 (??,? 1] 上总有 f ( x) ? 0 , 故 ?x0?? ? ( ? ,1 ] , g ( x0 ) ? 0 ; 当a ? 0 时, g ( x) ? 0 ,不满足条件;当 a ? 0 时,考虑函数 g ( x) 的零点 x ? ?2 a , x ? a ? 2 ;当 a ? 0 时,
?2 a ? a ? 2 ,

? a ? 2 ? 0, 2 为满足条件,得 ? 解得 a ? ?1 ;当 a ? 0 时, (ⅰ)当 0 ? a ? 时, ?2a ? a ? 2 ,为满足 3 ? ?2a ? 2,
6

条件,得
?a ? 2 ? ?1, ? a ? 2 ? 0, 2 2 ?2 a ? a ? 2 , 解得 0 ? a ? 1 , (ⅱ) 当 a ? 时, 为满足条件, 得? ∴0 ? a ? ; ? 3 3 ? ?2a ? ?1, ??2a ? 0,

解得
2? 4? 1 2 2 (ⅲ)当 a ? 时, g ( x) ? ? x ? ? ≥0 ,不满足条件.综上所述,得 ? a ? 2 ,∴ ? a ? 2 ; 3? 3? 2 3 3
? 2? ?2 ? a ? (??,? 1) ? ? 0, ? ? ? ,2 ? ,故选 B. ? 3? ?3 ?
2

考点:分段函数图象、二次函数的图象和性质. 【思路点睛】先画出分段函数 f ( x ) 的图象,结合条件①,得 g ( x) ? 0 在 [0, 2] 上恒成立,由条件 ②得 ?x0 ? (??, ? 1] , g ( x0 ) ? 0 ,对 a 是否得 0 进行讨论,当 a ? 0 时, g ( x) 恒等于 0,不符合题 意,当 a ? 0 时,分 a ? 0 和 a ? 0 进行讨论,根据二次函数的图象讨论方程根的位置. 二、填空题(题型注释) 13.已知复数 z ? (1 ? i )(2 ? i ), 则|z|= 答案: 10 试题分析:由题意得 z ? 3 ? i ,所以 | z |? 32 ? 1 ? 10 . 考点:复数的模. 14.若函数 f ( x) ? 答案:3
0) ? (0, ? ?) , f ( x) 为奇函数,∴f (1) ? 试题分析:∵f ( x) 的定义域为 x ? (??,



a ? 2x ? 3 是奇函数,则 a= 2x ? 1



2a ? 3 ? ? f (?1) 2 ?1

1 a?3 3 ?2x ? 3 ??2 ,∴a ? 3 ,经验证, f ( x) ? x 为奇函数. 1 2 ? 1 ?1 2
考点:函数的奇偶性. 15.已知集合 A={ (x,y)| x ? y ? 1, x, y ? Z } ,B={ (x,y)| | x |? 2,| y | ? 3, x, y ? Z } ,
2 2

设集合 M= { (x1+x2, y1+y2) | ( x1 , y1) ? A ,( x, 2 y)2
7

, 则集合 M 中元素的个数为 B ? }



答案:59 0), (0, 0), (1, 0), (0, ? 1), (0, 1)} ,B 中有 5 ? 7 ? 35 个元素,当 试题分析:由题意知, A ? {(?1,
( x1,y1 ) ? (0, 0) 时,B 中的元素都在 M 中;当 ( x1,y1 ) ? (?1 , 0), (1 , 0) 时,M 中元素各增加 7 个;

当 ( x1,y1 ) ? (0, ? 1), (0, 1) 时,M 中元素各增加 5 个,所以 M 中元素共有 35 ? 7 ? 7 ? 5 ? 5 ? 59 个. 考点:集合中的元素个数问题. 【思路点睛】先分析出集合 A 和 B 中的元素,从 A 中的元素逐个分析,当 ( x1,y1 ) ? (0, 0) 时,B 中的元素都在 M 中,当 ( x1,y1 ) ? (?1, 0), (1 , 0) 时,M 中元素在原来基础上多横坐标为 3 和-3 的 7 个,当 ( x1,y1 ) ? (0,? 1),(0, 1) 时,M 中元素在原来基础上多纵坐标为 4 和-4 的 5 个,再算总数. 16.已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意的 x,y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 ,且当 x>0 时, f ( x ) ? 2 ,若数列 ?an ? 满足 a1 ? f (0) ,且 f (an?1 ) ? 4 ? f (?an ? n ? (? 1)n )( n ? N * ) ,则

a2015 ?
答案:1009



试题分析:任取 x1 ? x2 且 x1 , x2 ? R ,∴x2 ? x1 ? 0 ,∴f ( x2 ? x1 ) ? 2 ,又由题意,得
f ( x2 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 ) ,∴f ( x) 在 R 上是减函数.

∵f (0) ? f (0) ? f (0) ? 2 ,∴f (0) ? 2 ,∵f (an?1 ) ? 4 ? f (?an ? n ? (?1)n ) ,

∴f (an?1 ? an ? n ? (?1)n ) ? f (an?1 ) ? f (?an ? n ? (?1)n ) ? 2 ? 2 ? f (0) ,又 f ( x) 在 R 上是减函数, ∴an?1 ? an ? n ? (?1)n ? 0 ,即 an?1 ? an ? n ? (?1)n (n ? N* ) ,
∴a2015 ? (a2015 ? a2014 ) ? (a2014 ? a2013 ) ? … ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2014 ? 2013 ? … ? 1 ? 2

? (2014 ? 2013) ? (2012 ? 2011) ? … ? (2 ? 1) ? 2 ? 1009 .

考点:抽象函数的单调性、累加法. 【思路点睛】本题考查抽象函数的单调性、累加法等基础知识,先利用单调性的定义证明 f ( x ) 在 R 上的单调性,再赋值 x ? y ? 0 ,得出 f (0) ? 2 ,再利用已知 f (an?1 ) ? 4 ? f (?an ? n ? (?1)n ) 和

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 转化出∴an?1 ? an ? n ? (?1)n ? 0 ,再利用累加法求 a2015 .
三、解答题(题型注释) 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a ? 1 ,A=

? , 4

8

b sin(

?
4

? C ) ? c sin(

?
4

? B) ? 1 .

(1)求 B,C 的值; (2)求 ?ABC 的面积. 5π π 1 答案: (1) B ? , (2) S ? . C? ; 8 8 4 试题分析:本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式、三角形面积公式、诱导公式等基础 知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先将已知表达式的 1 转化为 a,再利用正弦定理将边转化为角,再利用两角和的正弦公式将式子展开,代入 A= 再利用两角和与差的正弦公式化简出 sin( B ? C ) ? 1 ,结合角 B 和 C 的范围,得出 B ? C ?

? , 4

π ,代入 2

三角形内角和中得出 A、B、C 的值;第二问,已知条件中有 a 边和 C 角,所以需求 b 边,利用正
1 弦定理转化 b 边,代入 S? ? ab sin C 中,利用诱导公式和倍角公式化简求值. 2 ?π ? ?π ? ?π ? ∴ b sin ? ? C ? ? c sin ? ? B ? ? 1 ? c sin ? ? B ? ? a , 试题解析: (1)∵ a ? 1, ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?π ? ?π ? ∴ sin B sin ? ? C ? ? sin C sin ? ? B ? ? sin A , 4 4 ? ? ? ? π ∵A ? , 4
2 2 2 sin B (sin C ? cos C ) ? sin C (sin B ? cos B ) ? , 2 2 2 ∴sin B cos C ? cos B sin C ? 1 , ∴sin( B ? C ) ? 1, ∴
C ? (0,π),∴B ? C ? 又∵B,

π . 2

又∵A ? B ? C ? π,A ? (2)由

π 5π π ,∴ B ? , C? . 4 8 8

a b a sin B 5π ,得 b ? , ? ? 2 sin sin A sin B sin A 8

1 2 5π π 2 π π 2 π 1 ab sin C ? sin sin ? cos sin ? sin ? . 2 2 8 8 2 8 8 4 4 4 考点:正弦定理、两角和与差的正弦公式、三角形面积公式、诱导公式. ∴ S△ABC ?

18. (本小题满分 12 分)如图,多面体 ABCDEF 中,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直,

CD ? 4 , 已知 AB / / CD ,AD ? CD ,AB ? 2 , 直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的正切值等于

2 2

9

(1)求证:平面 BCE⊥平面 BDE; (2)求平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值.
3 . 3 试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识,考查学生的分析

答案: (1)证明详见解析; (2)

问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,由面面垂直的性质可 知 ED ? 平面 ABCD,再由线面垂直的性质可知 BC ? ED ,从而可判断 ?EBD 为 BE 与平面 ABCD 所 成的角,设出 ED ? a ,用勾股定理先计算出 BD 的值,在 Rt ?EDB 中,求 tan ?EBD 的值,解方程 求出 a 的值,由勾股定理证明 BC ? BD ,利用线面垂直的判定得 BC ? 平面 BDE,最后利用面面 垂直的判定得到结论;第二问,利用 DA,DC,DE 两两垂直,建立空间直角坐标系,写出有关点和 向量坐标,先求出平面 CDE 与平面 BDF 的法向量,再利用夹角公式求平面 BDF 与平面 CDE 所成锐 二面角的余弦值. 试题解析: (1)证明:∵平面 ADEF ? 平面 ABCD, 平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD ,

ED ? AD , ED ? 平面ADEF ,∴ ED ? 平面 ABCD, 又 BC ? 平面 ABCD,∴BC ? ED . ∵ED ? 平面 ABCD,∴?EBD 为 BE 与平面 ABCD 所成的角,
设 ED ? a ,则 AD ? a, DB ? 4 ? a2 , 在 Rt△ EDB 中, tan ?EBD ?
ED a 2 ? ? ,∴a ? 2 , 2 DB 2 4?a

在直角梯形 ABCD 中, BC ? AD2 ? (CD ? AB)2 ? 2 2 , 在 △ DBC 中, BD ? 2 2, BC ? 2 2, CD ? 4 ,
∴BD2 ? BC 2 ? CD2 ,∴BC ? BD , 又 BD ? ED ? D ,∴ BC⊥ 平面 BDE,

又 BC ? 平面BCE ,∴平面 BCE⊥ 平面 BDE . (2)解:由题知,DA,DC,DE 两两垂直,如图,以 D 为原点,DA,DC,DE 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

10

0, 0),A(2, 0, 0), B(2, 2, 0),F (2, 0, 2), C (0, 4, 0),E (0, 0, 2) , 则 D(0, ??? ? 取平面 CDE 的一个法向量 DA ? (2, 0, 0) ,

设平面 BDF 的一个法向量 n ? ( x,y,z ) , ??? ? ? ?n ? DB ? 0, ? x ? y ? 0, 则 ? ???? 即? ? ?n ? DF ? 0, ? x ? z ? 0, 令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1 , 所以 n ? (1,? 1,? 1) . 设平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的大小为 ? ,
??? ? 1 3 ? 则 cos ? ?| cos? DA,n? |? , 3 3

所以平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值是

3 . 3

考点:线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角. 19. (本小题满分 12 分)为了了解中学生的体能状况,某校抽取了 n 名高一学生进行一分钟跳绳 次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图) ,图中第二小组频数为 14.

(1)求频率分布直方图中 a 的值及抽取的学生人数 n; (2) 现从跳绳次数在 [179. 5, 199. 5] 内的学生中随机选取 3 人, 记 3 人中跳绳次数在 [189. 5, 199.5]内的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 答案: (1) a ? 0.028 , n ? 25 ; (2)分布列详见解析, EX =1 . 试题分析:本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识,考 查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,由所有频率之和为 1,得出 a

11

的值,再利用频数÷样本容量=频率,计算样本容量 n 的值;第二问,先利用第一问的样本容量求 199.5] 和 [189.5, 199.5] 内的学生人数,利用概率公式计算出每种情况的概率,列出分布 出 [179.5, 列,最后利用 EX =x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn 计算数学期望. 试题解析: (Ⅰ)由直方图知, (0.008 ? a ? 0.04 ? 0.016 ? 0.008) ? 10 ? 1 ,
∴a ? 0.028 ,

14 . ? 50 (人) 0.028 ?10 199.5] 内的学生人数有 50 ? (0.016 ? 0.008) ? 10 ? 12 (人) (Ⅱ)跳绳次数在 [179.5, , 199.5] 内的学生人数有 50 ? 0.008 ? 10=4 (人) 其中跳绳次数在 [189.5, . 1 2, 3. 由题意,X 的取值可为 0,,

所以抽取的学生人数为 n ?

P( X ? 0) ?

3 2 C8 C1 14 28 4 C8 ? P ( X ? 1) ? ? , , 3 3 C12 55 C12 55

P( X ? 2) ?

1 C2 C3 12 1 4 C8 4 ? P ( X ? 3) ? ? , . 3 3 C12 55 C12 55

所以随机变量 X 的分布列为 X P 0
14 55

1
28 55

2
12 55

3
1 55

随机变量 X 的数学期望为 E( X ) ? 0 ?

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 . 55 55 55 55
2 2 2 2

考点:频率分布直方图、离散型随机变量的分布列和数学期望. 20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 与椭圆 C2 : x ? 2 y ? m 的一个交点为 P(1, t ) ,点 F 是抛物线 C1 的焦点,且 | PF |? (1)求 p,t,m 的值; (2)设 O 为坐标原点,椭圆 C2 上是否存在点 A(不考虑点 A 为 C2 的顶点) ,使得过点 O 作线段 OA 的垂线与抛物线 C1 交于点 B,直线 AB 交 y 轴于点 E,满足∠OAE=∠EOB?若存在,求点 A 的坐 标;若不存在,说明理由.

(m ? 0)

3 · 2

? ? 2? 2? 答案: (1) p ? 1, t ? ? 2 ; (2)点 A ? ? ?2, 2 ? ? , A? ? ?2,? 2 ? ?. ? ? ? ?
试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面 积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用 抛物线的定义,得 | PF |? 1 ?
p 3 ? ,解出 p 的值,从而得到抛物线的标准方程,将 P 点代入方程 2 2

中,即可解出 t 的值;第二问,先通知已知分析直线 OA 的斜率是否存在,若存在,设出直线 OA、 OB 的方程,分别与椭圆、抛物线的方程联立,解出 x,根据椭圆及抛物线的对称性,分别讨论点 A 在第一、二象限的情形,当 A 点在第一象限时,结合图象分析出 D 是线段 AB 的中点,列出等式,
12

解出 K 的值,当点 A 在第二象限时,结合图象分析出 y A ? yB ,列出等式,解出 k 的值,即得到 A 点坐标. 试题解析: (1)由抛物线的定义,得 | PF |? 1 ?
∴p ? 1 ,∴y 2 ? 2 x ; t ) 代入 C1 : y 2 ? 2 x ,得 t 2 ? 2 ,∴t ? ? 2 ; 将点 P(1,

p 3 ? , 2 2

将点 P(1 , ? 2) 代入 C2 : x2 ? 2 y 2 ? m2 , 得 m2 ? 1 ? 4 ? 5 ,∵ m ? 0 ,∴m ? 5 . (2)由题意,直线 OA 的斜率存在且不为 0, 设直线 OA 的方程为 y ? kx(k ? 0) , OA ? OB ,
1 则直线 OB 的方程为 y ? ? x . k
? x 2 ? 2 y 2 ? 5, 5 由? 得 x2 ? 2k 2 x2 ? 5 ,∴x ? ? ; 1 ? 2k 2 ? y ? kx,

? y 2 ? 2 x, x2 ? 由? 得 2 ? 2 x ,∴x ? 0 (舍去)或 x ? 2k 2 . 1 ? y ? ? x, k k ?

若满足 ?OAE ? ?EOB 的点 A 存在,根据椭圆及抛物线的对称性,现考虑点 A 在第一、第二象限 的情形. (ⅰ)当点 A 在第一象限时, k ? 0 ,如图 7 所示,

? 5 5 此时点 A ? ? 1 ? 2k 2 ,k 1 ? 2k 2 ?

5 ? 2k 2 , 1 ? 2k 2

? 2 ? 2k ) , ? ? , B(2k , ?

设直线 AB 与 x 轴交于点 D. ∵?OAE ? ?EOB , ?AOB ? ?DOE ? 90? ,
13

∴?OAD ? ?AOD , ?DOB ? ?OBD ,
∴AD ? OD ? BD ,即点 D 是线段 AB 的中点,∴y A ? ? yB ,即 k

5 ? 2k , 1 ? 2k 2

∴ 1 ? 2k 2 ?

? 2? 5 1 ,∴k 2 ? ,∴A ? . 2, ? ? 2 ? 4 8 ? ?

(ⅱ)当点 A 在第二象限时, k ? 0 ,如图 8 所示,

? 5 5 此时点 A ? ? ? 1 ? 2k 2 ,? k 1 ? 2k 2 ?

? 2 ? 2k ) . ? ? , B(2k , ?

∵?OAE ? ?EOB , ?AOB ? 90? , ∴?OAE ? ?EOA ? ?EOB ? ?EOA ? 90? ,

即 OE ? AB ,∴y A ? yB , 即 ?k

? 2? 5 5 1 ? ?2k ,∴ ?2, ? . 1 ? 2k 2 ? ,∴k 2 ? ,∴A ? 2 ? 1 ? 2k 2 ? 4 8 ? ?

? ? 2? 2? ? 2 , A ? 2 , ? 综合(ⅰ) 、 (ⅱ)及椭圆和抛物线的对称性,得点 A ? , ? ? ?. ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
考点:抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e (2 x ?1) , g ( x) ? ax ? a(a ? R) .
x

(1)若 y ? g ( x) 为曲线 y ? f ( x) 的一条切线,求 a 的值; (2)已知 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,求 a 的取值范围.
3 ≤a ? 1. 2e 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利 用导数求函数的最值、函数的零点等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、

答案: (1) a ? e x0 (2 x0 ? 1) ? 1或4e 2 ; (2)

3

计算能力.第一问,对 f ( x ) 求导,设出切点坐标,由纵坐标为 f ( x0 ) ,斜率为 f ' ( x0 ) ,列出方 程,解出 x0 的值,从而得到 a 的值;第二问,构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,先证明存在唯一的整

14

数 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,再求 a 的取值范围,对 F ( x) 求导,通过 F ' ( x) ? 0 和 F ' ( x) ? 0 ,判断函 数的单调性,由于 F ( x) ? F (0) ? 0 ,且 F (1) ? e ? 0 ,则存在唯一的整数 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 再对 a 进行讨论,得出结论. 试题解析: (1)函数 f ( x) 的定义域为 R, f ?( x) ? e x (2 x ? 1) , 设切点 ( x0, ex0 (2x0 ? 1)) ,则切线的斜率 f ?( x0 ) ? e x0 (2 x0 ? 1) , ∴切线为: y ? e x0 (2 x0 ? 1) ? e x0 (2 x0 ? 1)( x ? x0 ) ,
∵y ? g ( x) 恒过点 (1,0) ,斜率为 a,且为 y ? f ( x) 的一条切线,

∴0 ? e x0 (2 x0 ? 1) ? e x0 (2 x0 ? 1)(1 ? x0 ) ,
3 x ∴x0 ? 0或 ,∴a ? e 0 (2 x0 ? 1) ? 1或4e 2 . 2
3

(2)令 F ( x) ? e x (2 x ?1) ? ax ? a , x ? R ,

F ?( x) ? e x (2 x ? 1) ? a , 1, 当 x≥0 时,∵e x≥1 , 2 x ? 1≥1 ,∴ex (2 x ? 1)≥
又 a ? 1 ,∴F ?( x) ? 0 ,∴F ( x)在(0, ? ?)上递增 ,
∴F ( x)≥F (0) ? ?1 ? a ? 0 ,又 F (1) ? e ? 0 ,

则存在唯一的整数 x0 ? 0 使得 F ( x0 ) ? 0 ,即 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ; 当 x ? 0 时,为满足题意, F ( x)在(??, 0) 上不存在整数使 F ( x) ? 0 , 即 F ( x)在(??, ? 1] 上不存在整数使 F ( x) ? 0 ,
∵x≤ ? 1 ,∴e x (2 x ? 1) ? 0 ,

①当 0≤ a ? 1 时, F ?( x) ? 0 ,
∴F ( x)在(??, ? 1]上递减 ,

3 ∴当 x≤ ? 1 时, F ( x)≥F (?1) ? ? ? 2a≥0 , e ∴a≥ 3 3 ,∴ ≤a ? 1 ; 2e 2e

3 ②当 a ? 0 时, F (?1) ? ? ? 2a ? 0 ,不符合题意. e

综上所述,

3 ≤a ? 1. 2e
15

解法 2:
1 令 f ?( x) ? ex (2 x ? 1) ? 0 得 x ? ? , 2 1 当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 , 2 1 当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 , 2 1? ? ? 1 ? ∴ f ( x) 在 ? ??,? ? 上递减,在 ? ? ,? ? ? 上递增, 2 2 ? ? ? ?
1 ? ? 1? ∴f ( x)min ? f ? ? ? ? ?2e 2 . ? 2?

1 , 2 作出函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)(a ? 1) 的大致图象,如图 9 所示.

令 f ( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 存在唯一零点 x ?

由题意,存在唯一的整数 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,
??a ? ?1, ? g (0) ? f (0), 结合图象得 ? 即 ? ?1 ? f (?1)≥g (?1), ??3e ≥ ? 2a,



3 ≤a ? 1 . 2e

(解法 2 为数形结合的方法,作为解答题的解法不甚严密,评卷时酌情给分. ) 考点:利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、函数的零 点. 【方法点睛】一、导数的几何意义:函数在 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线

y ? f ( x) 在 点 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 , 即 斜 率 为 f ' ( x0 ) , 过 点 P 的 切 线 方 程 为

y ? y0 ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) .
二、函数单调性的判断:函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ( x) ? 0 ,那么 y ? f ( x) 在这
'

16

个区间内单调递增;如果 f ' ( x) ? 0 ,那么 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4 一 1:几何证明选讲】 如图,已知 AB 是圆 O 的一条弦,延长 AB 到点 C 使 AB ? BC ,过点 B 作 DB ? AC 且 DB ? AB , 连接 DA 与圆 O 交于点 E,连接 CE 与圆 O 交于点 F.

(1)求证: DF ? CE ; (2)若 AB ? 6 , DF ? 3 ,求 BE. 答案: (1)证明详见解析; (2) BE ? 10 ? 4 3 . 试题分析:本题主要考查圆中的垂直关系、割线定理、三角形相似、勾股定理、余弦定理等基础 知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先由割线定理得
CA ? CB ? CF ? CE , 再 由 图 中 的 等 量 关 系 , 得 ∴CA ? CB ? 2CB2 ? DC 2 ? CF ? CE , 再 通 过

?DCE ? ?DCF ,证明 △ CDE 和 △ CFD 相似,从而得出 ?CDA ? 90? ,即 DF

? CE ;第二问,

在等腰 Rt△ CDB 中, CD ? 2 3 ,在 Rt△ DFC 中, ?DCF ? 30? ,在 Rt△ CDE 中,求出 CE ? 4 , 最后在 △BCE 中,利用余弦定理求出 BE 的值. 试题解析: (1)证明:如图所示,

∵CA 与⊙O 交于点 B,CE 与⊙O 交于点 F, ∴由割线定理,得 CA ? CB ? CF ? CE ,
∵AB ? BC ? DB , DB ? AC ,

∴DA ? DC ? 2CB , ?CDB ? ?ADB ? 45? ,
∴△ CDA 是等腰直角三角形,即 ?CDA ? 90? ,

17

∴CA ? CB ? 2CB2 ? DC 2 ? CF ? CE ,即

DC CE . ? CF DC

又∵?DCE ? ?DCF ,∴△CDE∽△CFD , ∴?CFD ? ?CDE ? 90? , 即 DF ? CE . (2)解:在等腰 Rt△ CDB 中, AB ? BC ? DB ? 6 ,∴CD ? 2 3 . 在 Rt△ DFC 中, DF ? 3 ,
∴sin ?DCF ? DF 3 1 ? ? ,∴?DCF ? 30? , CD 2 3 2

CD 2 3 ? ?4. cos ?DCE cos30? 又∵?ECB ? ?DCB ? ?DCE ? 45? ? 30? ? 15? ,

∴在 Rt△ CDE 中, CE ?

∴cos ?ECB ? cos15? ? cos(45? ? 30?) ?

6? 2 , 4

∴在 △BCE 中, BE 2 ? BC 2 ? CE 2 ? 2BC ?CE ?cos ?BCE ? 10 ? 4 3 , 即 BE ? 10 ? 4 3 . 考点:圆中的垂直关系、割线定理、三角形相似、勾股定理、余弦定理. 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4 一 4:坐标系与参数方程】 已知在直角坐标系 x0y 中,曲线 C1 : ?

? ? x ? 3 cos ? ? sin ? ? ? y ? 3 sin ? ? cos ?

( ? 为参数) ,在以平面直角坐标系

? sin(? ? 的原点) 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 取相同单位长度的极坐标系中, 曲线 C2 :
(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;

?
6

) ? 1.

(2)曲线 C1 上恰好存在三个不同的点到曲线 C2 的距离相等,分别求这三个点的极坐标.
? 11π ? ? 5π ? ? π ? 答案: (1) x2 ? y 2 ? 4 , x ? 3 y ? 2 ? 0 ; (2) ? 2, ? , ? 2, ? , ? 2, ? . 6 ? ? 6 ? ? 3? ?

试题分析:本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到 直线的距离、两直线间的距离等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计 算能力.第一问,先将曲线 C1 的方程平方,利用平方关系,消去参数 ? ,得到曲线 C1 的普通方 程,将曲线 C2 的方程利用两角和的正弦公式展开,再利用 ? sin ? ? y , ? cos? ? x 代换,得到曲 线 C2 的直角坐标方程;第二问,结合第一问知,曲线 C1 为圆,曲线 C2 为直线,画出图形,通过 图形分析得这三个点分别在平行于直线 C2 的两条直线 l1 , l2 上,通过直线的位置得到直线 l1 和直

18

线 l2 的方程,再与圆的方程联立,得到三个点 E、F、G 的坐标.
? x2 ? 3cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 3 sin ? cos?, ? 试题解析: (1)由题意,得 ? 2 2 2 ? ? y ? 3sin ? ? cos ? ? 2 3 sin ? cos?,

∴曲线 C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 .
π? 3 1 ? ? sin ? ? ? cos? ? 1, ∵曲线 C2 : ? sin ? ? ? ? ? 6 2 2 ? ?

∴曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 . (2)∵曲线 C1 为圆 C1 ,圆心 C1 (0, 0) ,半径为 r ? 2 ,曲线 C2 为直线, ∴圆心 C1 到直线 C2 的距离 d ? 1 , ∵圆 C1 上恰好存在三个不同的点到直线 C2 的距离相等, ∴这三个点分别在平行于直线 C2 的两条直线 l1 , l2 上, 如图所示,

设 l1 与圆 C1 相交于点 E,F, 设 l2 与圆 C1 相切于点 G, ∴直线 l1 , l2 分别与直线 C2 的距离为 r ? d ? 2 ? 1 ? 1 , ∴ l1 : x ? 3 y ? 0 ,
l2 : x ? 3 y ? 4 ? 0 .
2 2 ? ? x ? 3, ? ? x ? ? 3, ? x ? y ? 4, ? 由? 得? 或? ? ? ? y ? ?1 ? y ? 1, ? x ? 3 y ? 0, ?

即 E( 3, ? 1) , F (? 3, 1) ;
19

2 2 ? ? ? x ? 1, ? x ? y ? 4, 由? 得? 即 G(1, 3) , ? ? y ? 3, ? x ? 3 y ? 4 ? 0, ?

? 11π ? ? 5π ? ? π ? ∴E,F,G 这三个点的极坐标分别为 ? 2, ? , ? 2, ? , ? 2, ? . 6 ? ? 6 ? ? 3? ?

考点:参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直 线间的距离. 【方法点睛】参数方程与普通方程的互化:把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选 取适当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法;加减消参法;平方和(差)消参法;乘法 消参法;混合消参法等.把曲线 C 的普通方程 F ( x, y) ? 0 化为参数方程的关键:一是适当选取参 数;二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变化范围. 24. (本小题满分一 10 分) 【选修 4 一 5:不等式选讲】 已知 f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? | x ? 1| (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)设 m,n,p 为正实数,且 m ? n ? p ? f (2) ,求证: mn ? np ? pm ? 3 .
3) ; 答案: (1) x ? (?1, (2)证明详见解析.

试题分析:本题主要考查绝对值不等式的解法、均值不等式等基础知识,考查学生的分析问题解 决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用零点分段法去掉绝对值符号,转化为不等式 ?, 平 方 得 组 , 解 出 x 的 范 围 ; 第 二 问 , 由 f (2) ? 3 , 所 以 m ? n ? p3

(m ? n ? p)2 ? m2 ? n2 ? p2 ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9 ( ) , 利 用 均 值 不 等 式 得 m2 ? n 2≥2mn 、 n2 ? p 2≥2np 、 p2 ? m2≥2 pm ,相加得: m2 ? n2 ? p2≥mn ? np ? pm ,代入()中得到结论.
试题解析: (1)解:不等式 2 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 6 等价于不等式组
? x ? ?1, ? ?1≤x≤2, ? x ? 2, 或? 或? ? ??3x ? 3 ? 6, ?? x ? 5 ? 6, ?3x ? 3 ? 6,

解不等式组,得 x ? ? 或 ?1 ? x≤2 或 2 ? x ? 3 , 3) . 所以不等式 2 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 6 的解集为 x ? (?1, (2)证明:∵m ? n ? p ? 3 ,

∴ (m ? n ? p)2 ? m2 ? n2 ? p2 ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9 ,
∵m,n,p 为正实数, ∴由均值不等式,得 m2 ? n 2≥2mn (当且仅当 m ? n 时取等号) ,

n2 ? p 2≥2np (当且仅当 n ? p 时取等号) , p2 ? m2≥2 pm (当且仅当 p ? m 时取等号) , ∴m2 ? n2 ? p2≥mn ? np ? pm (当且仅当 m ? n ? p 时取等号) ,

20

∴ (m ? n ? p)2 ? m2 ? n2 ? p2 ? 2mn ? 2np ? 2 pm ? 9≥3mn ? 3np ? 3 pm ,
∴mn ? np ? pm≤3 (当且仅当 m ? n ? p 时取等号) .

考点:绝对值不等式的解法、均值不等式.

21


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