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3.4基本不等式(2)


知识回顾
1.重要不等式:

a2 ? b2 ? 2ab(a、b ? R),当且仅当a ? b时取" ? "号
2.基本不等式(均值不等式): a?b ? ab (a、b ? R ?),当且仅当a ? b时取 " ? "号. 2
a?b 为a, b的算术平均数,称 ab为a, b 的 3.

我们称 2

几何平均数;
2 2

a ? b ? 2ab和

a?b 2

? ab 成立的条件是不同的:

前者要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数。

1 注意等号成 (1)a ? ? 2(a ? 0), a 立的条件 1 a ? ? ?2(a ? 0) a b a (2) ? ? 2 (a ? 0, b ? 0) a b a2 (3) ? b ? 2a (b ? 0) b

基本不等式的应用
应用一:证明不等式

1 1 1.已知a, b ? R , 求证: ( a ? )(b ? ) ? 4, a b 并推导出等号成立的条件。
?

2.已知a, b, c, d 都是正实数, 求证: (ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd,并 推导出等号成立的条件。

24 3.已知 m ? 0, 求证 : ? 6m ? 24 m

4 (变式题 )求证 : ? a ? 7(其中 a ? 3). a ?3
?

4.已知a, b, c ? R , 且a ? b ? c ? 1, 1 1 1 求证 : ? ? ? 9. a b c

(变式题)已知a, b, c ? R ? , 且a ? b ? c ? 1, 1 1 1 求证 : ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8. a b c

5.已知a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1, 1 1 25 求证 : (a ? )(b ? ) ? . a b 4
(变式题)已知a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1, 1 2 1 2 25 求证 : (a ? ) ? (b ? ) ? . a b 2

基本不等式的应用
应用二:判断代数式的大小关系
1:设a>0,b>0,给出下列不等式

1 1 1 (2)(a ? )(b ? ) ? 4 (1)a ? ? 2 a b a 1 1 1 2 (3)(a ? b)( ? ) ? 4 (4)a ? 1 ? 2 ? 2 a b a ?1
其中恒成立的 (1)(2)(3) 。

应用二:判断代数式的大小关系

2.(2002全国)若a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b ,

1 a?b Q ? (lg a ? lg b), R ? lg( ), 则( 2 2
A、R<P<Q C、Q<P<R

B



B、P<Q<R D、P<R<Q

a 2 ? b2 a?b 3.若a ? 0, b ? 0, 设A ? ,B ? , C ? ab , 2 2 A? B ?C ? D 2 D? , 则A、B、C、D的大小关系是 . 1 1 ? a b

应用三:求最值

设 、y都是正数,则有: ( 1x )如果积 xy是定值P,那么当x=y时, (1)如果积 xy是定值 ,那么当x=y时, 和x+y有最小值 2 P P;
(2)如果和 x ? y是定值 x=y时, 和x+y有最小值 2S,那么当 P; 1 2 S,那么当x=y时, (2)如果和 x ? y 是定值 积xy有最大值 S .

极值定理: 已知x、y都是正数,求证:

1 2 积xy有最大值 S . 4

4

应用三:求最值

5 1 已知x ? , 求y ? 1 ? 4 x ? 的最小值 例: 4 5 ? 4x
利用极值定理求最大值和最小值时应注意: (1) x,y一定要都是正数; 一正

(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值; (3)等号是否能够成立.

二定 求和x ? y的最小值时,应看积xy是否为定值; 三相等

另注意:(1)项的配凑;(2)“1”的代换;(3)公式的变形.

应用三:求最值

1 (1)已知x ? 0, 求y ? x ? 的最值.若x ? 0呢 ? x 2

练习:

x ? 3x ? 1 (2)求函数y ? ( x ? ?1)的最值. x ?1 2 x ?5 (3)求函数y ? 的最小值. 2 x ?4
注:当式子中等号不成立时,则不能用此
重要不等式,而改用函数单调性求最值。


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