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高中数学竞赛第一次课辅导习题2


高中数学竞赛辅导班函数练习题
1、设 a 是实数,且方程
x 4 +3ax3 +a ?1-5a 2 ? x-3a 4 +a 2 +1=0有实根且不同的实根至多有两个 ,求 a 的取值范

围 解: 令x=y-a,代入原方程得:y4 -ay3 -3a 2 y 2 +ay +1=0 ,又 y ? 0
? 1? ? 1? 1 1 ? y

+ 2 -a(y - )-3a 2 =0 ? ? y - ? -a ? y - ? -3a 2 +2=0 y y ? y? ? y?
2
2

对任意的 t ? R ,

1 y- =t ? y 2 -ty-1=0 ? ?>0 ,如果方程 t 2 -at -3a 2 +2=0 无实数根,则原方程无实数 y

根,而由该方程一实数根对应原方程两不同的实根,故
? =a 2 -4 ? -3a 2 +2 ? =0 ? a = ? 2 26 13

2、已知函数 f, g : R+ ? R+ ,且满足
x ? ? f (g (x ))= xf (x )-2 ? a <xf (x)<bn ? , 求证:存在两个数列 ?an ? , ?bn ? 使得 ? n +1 ? x ?an +1 <xg (x)<bn ? g (f (x ))= ? xg (x )-2 ?

解: 令a1 =2,则xf (x)>a1 ,xg (x)>a1 , 若 an <xf (x), an <xg (x),则对 f (g(x))=
x ,两边乘以g (x) xf (x)-2



xg (x) =f (g (x))g (x)>an ,即xg (x)>an xf (x)-2an 同理得 xf ( x)>an xg (x)-2an xf (x)-2

第一个式子乘以 an +第二个式子,即有 xf (x)<

2an =bn an -1 2bn =an +1,xg (x)>an +1 bn -1

同理 xg (x)<bn ,又由 xf (x)<bn ,xg (x)<bn ,同样得xf(x)>

综上:对任意的正整数 n 和 x ? R ,都有 an +1 <xf (x)<bn ,和 an +1 <xg (x)<bn 其中 a1 =2,bn =
2an 2b ,an +1 = n an -1 bn -1

将 bn =

2an 2b 4a 1 1 1 1 1 1? 1 1? 代入a n +1 = n = n ? = + ? - = ? - ? an -1 bn -1 an +1 an +1 4an 4 an +1 3 4 ? an 3 ?

? an =

2a 3 ? 4 n 3 ? 4n ,bn = n = n 4n +2 1-an 4 -1

3、对非零 x,y,z 若表达式 2 x 2 +y 2 +z 2 +2 xy +tyz 恒大于 0,求 t 的取值范围 解:
f (x,y,z )=

?

2 1 ? t2 ? 1 ? 1 2 2 ? ?t ? 1 2 x +2 xy + ? y ? + y +z +tyz = ? 2 x + y ? +z 2 +tyz + ? y ? + y 2 - y 2 4 2 ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

?
2

2

2

2

1 ? ? t ? y ? + ? z+ = ? 2 x+ 2 ? ? 2 ?

? 1 t2 ? y ? +y 2 ? ? ?2 4
2

? 1 t2 >0 ? - >0 ? - 2<t < 2 ? 2 4 ?

4、 设函数f(x)=4x3 -2 x 2 -15x+9,和g (x)=12 x3 +6 x 2 -7 x+1 ,证明: 这两个函数的零点都 有 3 个实数解 (2):设 f(x),g(x)的最大根分别为 a,b 求证: a 2 +3b2 =4 证:
3 9 ? 33 ? 15- 33 1 2 ? f (-2)=-1,f(-1)=18,f( )=- ,f ? ,g (-2)=-57,g (-1)=2,g ( )=?= 2 2 ? 3 ? 9 3 9

g (1)=12,由零点定理第一问显然得

(2):? 4a3 -2a2 -15a+9=0 ? 4a3 -15a=2a 2 -9 ? 16a6 -124a4 +261a2 -81=0
3 33 ? a是f (x)的最大根,故 <a < ? 4-a 2 >0 2 3

只要证明

3 ? 4-a 2 ? 3

? 3 ? 4-a 2 ? ? ? =0 是g(x)的一个根,事实上g ? ? ? 3 ? ? ? ?

?

4 ? 4-a2 ? 3 ? 4-a2 ? +2 ? 4-a2 ? - 7 3 ? 4-a2 ? +1=0 3 3
2

2 ? 4a 2 ? ? 4a 2 ? 2 ? ? 33 ? 4-a 2 ? +9-2 a 2 =0 ? ? 9-2 a 2 ? = ? 3? ? ? 3 ? 4-a ? 3 ? 3 ? ? ?

? 3 ? 81-36a 2 +4a 4 ? = ? 81-72a 2 +16a 4 ?? 4-a 2 ? ? 16a 6 -124a 4 +261a 2 -81=0

? x0 =

3 ? 4-a 2 ? 3

3 ? 4-a 2 ? ? 1 21 ? ? 1 ? 3 33 是g (x)的根,由 ? a < 得 ?? , ??? , 1? 2 3 3 ?3 6 ? ?3 ?
3 ? 4-a 2 ? 3 ? a 2 +3b 2 =4

在大根范围内,故b =

5、 若二次三项式f (x)=x 2 +ax+b和g (x)=x 2 +cx+d 满足方程f(g(x))=g(f(x))没有实数根
求证:b ? d

反正假设 b=d ,则有 f (x)=x 2 +ax+b, g(x)=x 2 +cx+b 证:
代入f (g(x))=g(f(x)) ? ? a -c ? ? 2 x 3 + ? a +c -1? x 2 +2bx -b ? =0 ? ?

若a ? c,则x取任意实数时,x都是f(g(x))=g(f(x))的根 若a ? c,则f (g (x))=g (f (x))化为三次方程,一定有实数根,与题设均矛盾

故b ? d

6、设 F 是满足以下条件的全部函数 f 的集合 f: R+ ? R+ ,且对任意正实数x 都成立: f (3x) ? f(f(2x))+x ,求满足以下条件的最大实数 a,对所有
f ? F 成立 , f (x) ? ax 成立,其中 x 是任意正实数,

7、在下列情况下,求函数 f: N+ ? M ,满足1+f(n)f(n+1)=2n 2 ? f (n+1)-f (n) ? 其 中 n ? N+

?1? :M =N

(2):M =Q

8、设 f(x)是在任意实数上的可微函数,且满足
f (f (x))=-x 7 +x 6 -x 5 +x 4 -x 3 +x 2 +1 ,是否存在这样的函数?

并作推广: 是否存在这样的可导函数使得
f (f (x))=-x 2 n +1 +x 2 n -x 2 n -1 +x 2 n-2 -? +x 2 +1

解: 设f(1)=a ? f(f(1))=1 ? f(a)=1,令x=a ? f (f (a))=-a 7 +a 6 -a5 +a 4 -a3 +a 2 +1

? f (1)=-a 7 +a 6 -a5 +a 4 -a3 +a 2 +1

7 6 5 4 3 2 ? a= -a +a -a +a -a +a + 1

a 7 -a 6 +a 5 -a 4 +a 3 -a 2 +a -1=0 ? ? a-1? ? a 6 +a 4 +a 2 +1? =0

? a =1

所以 f (1)=1 对原函数方程两边求导得: f '(x) f '(f (x))=-7 x6 +6 x5 -5x 4 +4 x3 -3x 2 +2 x
1 (f 令 x=1 ? f '( ) f ' (1))=-3 ? ? f '(1)? =-3 显然矛盾。
2

推广:令 f (1)=a ? f (f (1)) ? 1 ? f (a)=1 ? f (f (a))=-a 2n +1 +a 2n -a 2n-1 + ??+a 2 +1
? f (1)=-a 2 n +1 +a 2 n -a 2 n -1 +?? +a 2 +1 ? a 2 n +1 -a 2 n +a 2 n-1 -a 2 n-2 +?? +a-1=0
? ? a -1? ? a 2 n +a 2 n -2 + ?? +a 2 +1? =0 ? a =1

? f '(x)f '(f (x))=-(2n+1)x 2 n +2nx 2 n -1 - ? 2n-1? x 2 n -2 + ? 2n-2 ? x 2 n -3 + ?? +2 x

令 x=1 ? [f '(1)]2 =-n显然矛盾


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