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高中数学组卷20


高中数学组卷 1
一.选择题(共 8 小题) 1. 设集合 A={x 丨丨 x﹣1 丨<2},B={y 丨 y=2 ,x∈[0,2]},则 A∩ B=( A.[0,2] B. (1,3) C.[1,3) ) ﹣x) C.y=e
x x



D. (1,4)

2.下列函数为偶函数的是( A.y=s

inx B.y=ln(

D.y=ln

3.已知 f(x)是定义域在 R 上的偶函数,且 f(x)在(﹣∞,0]上单调递增,设 a=f(sin π) ,b=f(cos π) ,c=f (tan π) ,则 a,b,c 的大小关系是, ( A.a<b<c B.b<a<c ) C.c<a<b D.a<c<b )

4.若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的平面,则下列结论正确的是( A.α∥ β,l?α,n?β?l∥ n B.α∥ β,l?α?l⊥ β C.l⊥ n,m⊥ n?l∥ m D .l⊥ α,l∥ β?α⊥ β 5.若 x∈[﹣1,1],则方程 2 A.2 6 . 过双曲线 B.3
﹣|x|

= sin2πx 的实数根的个数为(
C.4


D.5

x2 y2 ? 2 ? 1 的左焦点 F 作⊙ O: x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线,记切点为 A,B, 双曲线左顶点为 C ,若 2 a b
) (C) y ? ? 2 x ⊥ (λ ﹣ C.

?ACB ? 120? ,则双曲线的渐近线方程为(
(A) y ? ? 3x 7.已知两个单位向量 A.1 B. (B) y ? ?

3 x 3

(D)

y??

2 x 2


的夹角为 45°,且满足

) ,则实数 λ 的值为( D.2 )
n+1

8.已知单调递增的等比数列{an}中,a2?a6=16,a3+a5=10,则数列{an}的前 n 项和 Sn=( A. 二.填空题(共 6 小题) 9.若函数 (x0,0)成中心对称, 10.若函数 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ,则 x0= _________ . ,则 f(1)+f(2)+…+f(100)= _________ . B. C.2 ﹣1
n

D.2

﹣2

,且该函数图象关于点

12.已知数列{an}满足:a1=2,an+1= 13.已知 f(x)=x+1og2

,猜想数列{an}的前 2014 项的和 S2014= _______ .

则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)的值为 _________ .

14.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y _________ .

轴相交于点 D,若 AD⊥ F1B,则椭圆 C 的离心率等于 三.解答题(共 3 小题) 15.已知函数 (1)求 ω 的值; (2)若 f(α)=

(0<ω<1)的图象关于直线 x=

对称

,求 cosα 的值.

16.在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 sin2A﹣cosA=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 b= ,sinB= sinC,求 a.

17.已知数列{an}满足 a1= ,且 an+1?(an+1)=2an

(1)求证:{ (2)令 bn=

﹣1}是对比数列; +2(n﹣1) ,求{bn}的前 n 项和 Sn.

2015 年 02 月 16 日 15957346360 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 8 小题) 1.已知集合 M={x|x﹣2<0},N={x|x<a},若 M?N,则实数 a 的取值范围是( A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,0) 考点: 专题: 分析: 解答: 集合的包含关系判断及应用. 集合. 解出集合 M,根据子集的概念即可求得实数 a 的取值范围. 解:M={x|x<2}; ∵ M?N; ∴ a≥2; ∴ a 的取值范围是[2,+∞) . 故选 A. 点评: 考查子集的概念,描述法表示集合,可借助数轴求解.
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) D.(﹣∞,0]

2. (2015?肇庆二模)下列函数为偶函数的是( ) A.y=sinx B. y=ln( ﹣x)

C.y=ex

D. y=ln

考点: 专题: 分析: 解答:

偶函数. 函数的性质及应用. 结合选项,逐项检验是否满足 f(﹣x)=f(x) ,即可判断. 解:A:y=sinx,则有 f(﹣x)=sin(﹣x)=﹣sinx 为奇函数;
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B:y=ln(
x

﹣x) ,则有 f(﹣x)=ln(
﹣x

+x)≠f(x)不是偶函数;

C:y=e ,则有 f(﹣x)=e = D:y=ln

,为非奇非偶函数. =f(x)为偶函数

,则有 F(﹣x)=ln

故选:D 点评: 本题主要考查了函数的奇偶行的判断,解题的关键是熟练掌握基本定义,属于基础题.

3. (2015?万州区模拟)已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2 且 f( A.﹣4 B.2 C .0

)=4,则 f(2015)的值为( D.﹣2



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先构造函数 F(x)=f(x)﹣2,然后判断出设 F(x)是奇函数,最后根据奇函数的性质,求出 F(2015) 的值,进而求出 f(2015)的值即可. 解答: 解:设 F(x)=f(x)﹣2,
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则 F( )=f(x)﹣2=alog2 +blog3 =﹣(alog2x+blog3x)=﹣F(x) ,

∴ F(2015)=﹣f(

)=﹣(4﹣2)=﹣2

∴ f(2015)=F(2015)+2=﹣2+2=0 故选:C 点评: 此题主要考查了函数的奇偶性质的运用,考查了对数的运算性质,属于基础题,解答此题的关键是构造出 函数设 F(x)=f(x)﹣2,并判断出它是奇函数. 4. (2015?泉州模拟)若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α、β 是不重合的平面,则下列结论正确的是( A . α∥ β,l?α,n?β?l∥ n B.α∥ β,l?α?l⊥ β C.l⊥ n,m⊥ n?l∥ m D.l⊥ α,l∥ β?α⊥ β )

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: A 根据面面平行的性质进行判断. B 根据面面平行的性质以及线面垂直的判定定理进行判断. C 根据直线垂直的性质进行判断. D 根据线面垂直和平行的性质进行判断. 解答: 解:对于 A,α∥ β,l?α,n?β,l,n 平行或 异面,所以错误; 对于 B,α∥ β,l?α,l 与 β 可能相交可能平行,所以错误; 对于 C,l⊥ n,m⊥ n,在空间,l 与 m 还可能异面或相交,所以错误. 故选 D. 点评: 本题考查了空间直线和平面,平面和平面位置关系的判断,要求熟练掌握相应的定义和判断条件,比较基 础.
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5. (2015?沈阳模拟)直线 y=x+4 与圆(x﹣a) +(y﹣3) =8 相切,则 a 的值为( A .3 B.2 C.3 或﹣5 考点: 专题: 分析: 解答:

2

2

) D.﹣3 或 5

圆的切线方程. 直线与圆. 根据直线和圆相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径即可得到结论.
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解:∵ 直线 y=x+4 与圆(x﹣a) +(y﹣3) =8 相切, ∴ 圆心(a,3)到直线 x﹣y+4=0 的距离等于半径 =2 即 d= =2 ,

2

2



即|a+1|=2 =4, 解得 a=3 或 a=﹣5, 故选:C 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,根据相切的等价条件是解决本题的关键.

6. (2014?宝鸡二模)已知 sin( A. B. ﹣

+α)=

,则 cos(

﹣α)等于( C.

) D. ﹣

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式化简,将已知等式代入计算即可求出值. 解答: 解:∵ sin( +α)= ,
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∴ cos(

﹣α)=cos[

﹣(

+α)]=sin(

+α)=



故选:C. 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 7. (2015?佛山一模)已知两个单位向量 A .1 B. 的夹角为 45°,且满足 C. ⊥ (λ ﹣ ) ,则实数 λ 的值为( D.2 )

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的定义,可得两个单位向量
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的数量积,再由向量垂直的条件:数量积为 0,计算

即可得到所求值. 解答: 解:由单位向量 则 由 ? =1×1×cos45°= ﹣ ?(λ ﹣ ﹣1=0, ) , ﹣

的夹角为 45°, ,

⊥ (λ

可得, 即λ 则

)=0,

=0,

解得 λ= . 故选 B. 点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质,考查向量垂直的条件,考查运算能力,属于基础题. 8. (2014?江西)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 积是( A. ) B. C. D.3
2 2

,则△ ABC 的面

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 将“c2=(a﹣b)2+6”展开,另一方面,由余弦定理得到 c2=a2+b2﹣2abcosC,比较两式,得到 ab 的值,计算 其面积. 2 2 2 解答: 解:由题意得,c =a +b ﹣2ab+6, 2 2 2 2 2 又由余弦定理可知,c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab, ∴ ﹣2ab+6=﹣ab,即 ab=6.
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∴ S△ABC=

=



故选:C. 点评: 本题是余弦定理的考查,在高中范围内,正弦定理和余弦定理是应用最为广泛,也是最方便的定理之一, 高考中对这部分知识的考查一般不会太难,有时也会和三角函数,向量,不等式等放在一起综合考查.

二.填空题(共 6 小题) 9. (2015?盐城一模)若函数 该函数图象关于点(x0,0)成中心对称, ,则 x0= 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 . ,且

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和的正弦公式化简 f(x) ,然后由 f(x0)=0 求得[0,
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]内的 x0 的值. ,

解答:

解:∵ 函数 ∴ ∴ ω=2 ∴ f(x)=sin(2x+ ) . =π,

图象的两条相邻的对称轴之间的距离为

∵ f(x)的图象关于点(x0,0)成中心对称, ∴ f(x0)=0,即 sin(2x0+ ∴ 2x0+ ∴ x0= =kπ, ﹣ ,k∈Z, ], )=0,

∵ x0∈[0, ∴ x0= .

故答案为:



点评: 本题考查两角和与差的正弦函数,考查了正弦函数的对称中心的求法,属于基本知识的考查.

10. (2015?沈阳模拟)若 sin(π+x)+sin(

+x)= ,则 sin2x=



考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 根据已知和诱导公式化简可得:cosx﹣sinx= ,两边平方可得:1﹣sin2x= ,从而可求 sin2x 的值.
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解答:

解:∵ sin(π+x)+sin( ∴ 可得:cosx﹣sinx= ,

+x)= ,

∴ 两边平方可得:1﹣sin2x= , ∴ sin2x= .

故答案为: . 点评: 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,诱导公式的应用,倍角公式的应用,属于基础题. 11. (2015?广安模拟)在数列{an}中,a1=﹣1,a2=0,且 an+2﹣an=0(n∈N ) ,则 a1+a2+a3+…+a2015= ﹣1008 . 考点: 专题: 分析: 解答: 数列的求和. 等差数列与等比数列.
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*

由 an+2﹣an=0(n∈N ) ,a1=﹣1,a2=0,可得 a1=a3=a5=…=﹣1,a2=a4=a6=…=0,即可得出. * 解:∵ an+2﹣an=0(n∈N ) ,a1=﹣1,a2=0, ∴ a1=a3=a5=…=﹣1,a2=a4=a6=…=0, ∴ a1+a2+a3+…+a2015=(a1+a3+…+a2015)+(a2+a4+…+a2014) =﹣1008+0 =﹣1008. 故答案为:﹣1008. 点评: 本题考查了数列的周期性、分组求和方法,考查了计算能力,属于基础题.

*

12. (2015?惠州模拟)设变量 x,y 满足

,则 z=x+y 的最大值是 3 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 画出约束条件不是的可行域,判断目标函数经过的点,求出最大值. 解答: 解:由约束条件 画出可行域如图所示, ,可得
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则目标函数 z=x+y 在点 A(2,1)取得最大值, 代入得 x+y=3,故 x+y 的最大值为 3. 故答案为:3.

点评: 本题考查线性规划的应用,画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键. 13. (2008?扬州二模)一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形,边长如图所示,那么这个几何体 的体积为 1 .

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题. 三视图复原的几何体是长方体的一个角,依据三视图的数据,求出几何体的体积. 解:三视图复原的几何体是长方体的一个角,长方体的三度分别是:1,2,3;所以三棱锥的体积为:
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=1 故答案为:1 点评: 本题是基础题,考查三视图的视图能力,计算能力,空间想象能力,常考题型.

14. (2014?江西)设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A,B 两

点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥ F1B,则椭圆 C 的离心率等于



考点: 专题: 分析: 解答:

椭圆的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程.
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根据条件分别求出 A,B,D 的坐标,利用 AD⊥ F1B,建立方程关系即可得到结论. 解:不妨假设椭圆中的 a=1,则 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 当 x=c 时,由 + =1 得 y= =b ,即 A(c,b ) ,B(c,﹣b ) ,
2 2 2

设 D(0,m) ,∵ F1,D,B 三点共线, ∴ ,解得 m=﹣ ,即 D(0,﹣ ) ,

∴ 若 AD⊥ F1B, 则 ,

即 即 3b =4c , 2 则 b =2c= 2 即 c +2c﹣ 解得 c=
4 2

=﹣1,
2

(1﹣c )=2c, =0, = ,

则 c= ∵ a=1,



∴ 离心率 e= = 故答案为: .



点评: 本题主要考查椭圆离心率的求解,根据条件求出对应点的坐标,利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本 题的关键,运算量较大.为了方便,可以先确定一个参数的值. 三.解答题(共 4 小题) 15. (2015?安康二模)已知函数 f(x)=sinωx?cos(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)求函数 f(x)在[0, ]上的最大值. ) (ω>0)图象的两相邻对称轴间的距离为 .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)先化简求得解析式 f(x)= 可求周期,即可求 w 的值; (2)由(1)知 (x)在[0, 解答: 解: (1) ]上的最大值.

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,由 f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为



,由

,可得

,即可求函数 f

=

…(5 分) .

因为 f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 则 f(x)的周期 所以 w=1…(7 分) ,

(2)由(1)知 因为 所以 则当 ,即 , ;…(9 分) 时,f(x)在



上有最大值

.…(12 分)

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的图象与性质,属于基础题. 16. (2015?永州一模)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 sin2A﹣cosA=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 b= ,sinB= sinC,求 a. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简,整理求出 sinA 的值,即可确定出 A 的度数; (2)已知等式利用正弦定理化简,把 b 的值代入求出 c 的值,利用余弦定理列出关系,将 b,c,cosA 的 值代入即可求出 a 的值. 解答: 解: (1)由 sin2A﹣cosA=0,得 2sinAcosA﹣cosA=0,
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即 cosA(2sinA﹣1)=0 得 cosA=0 或 sinA= , ∵ △ ABC 为锐角三角形, ∴ sinA= , 则 A= ; c,

(2)把 sinB= sinC,由正弦定理得 b= ∵ b= ,∴ c=1,
2 2 2

由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=3+1﹣2×

×1×

=1,

解得:a=1. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键. 17. (2015?惠州模拟)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且 a2,a5,a14 分别是等比数列{bn}的 b2,b3,b4. (Ⅰ )求数列{an}与{bn}的通项公式; (Ⅱ )设数列{cn}对任意自然数 n 均有 =an+1 成立,求 c1+c2+…+c2014 的值.

考点: 数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 2 分析: (Ⅰ )依题意,a2,a5,a14 成等比数列?(1+4d) =(1+d) (1+13d) ,可求得 d,继而可求得数列{an}的通 项公式;由 b2=a2=3,b3=a5=9,可求得 q 与其首项,从而可得数列{bn}的通项公式;
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(Ⅱ )由(Ⅰ )知 an=2n﹣1,bn=3

n﹣1

,由

+

+…+

=an+1,可求得 c1=b1a2=3,

=an+1﹣an=2(n≥2) ,

于是可求得数列{cn}的通项公式,继而可求得 c1+c2+…+c2014 的值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,

∵ a2,a5,a14 成等比数列, 2 ∴ (1+4d) =(1+d) (1+13d) , 解得 d=2, ∴ an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1; 又 b2=a2=3,b3=a5=9, ∴ q=3,b1=1, n﹣1 ∴ bn=3 . (Ⅱ )∵ + +…+ =an+1,

∴ =a2,即 c1=b1a2=3,



+

+…+

=an(n≥2) ,

∴ =an+1﹣an=2(n≥2) , ∴ cn=2bn=2?3 ∴ cn=
n﹣1

(n≥2) , .
2 2013

∴ c1+c2+…+c2014=3+2?3+2?3 +…+2?3 2 2013 =3+2(3+?3 +…+3 ) =3+2?

=3 . 点评: 本题考查数列的求和,着重考查等差数列与等比数列的通项公式,考查逻辑思维与综合分析、运算能力, 属于难题. 18. (2014?抚顺二模)已知四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD∥ BC,AB⊥ BC,AB=AD=1,BC=2, 又 PB⊥ 平面 ABCD,且 PB=1,点 E 在棱 PD 上,且 DE=2PE. (Ⅰ )求异面直线 PA 与 CD 所成的角的大小; (Ⅱ )求证:BE⊥ 平面 PCD; (Ⅲ )求二面角 A﹣PD﹣B 的大小.

2014

考点: 异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)由于直线 PA 与 CD 不在同一平面内,要把两条异面直线移到同一平面内,做 AF∥ CD,异面直线 PA
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与 CD 所成的角与 AF 与 PA 所成的角相等. (2)由三角形中等比例关系可得 BE⊥ PD,由于 CD=BD=得 ,BC=2,可知三角形 BCD 为直角三角形, 即 CD⊥ DB.同时利用勾股定理也可得 CD⊥ PD,即可得 CD⊥ 平面 PDB.即 CD⊥ BE,即可得证. (3)连接 AF,交 BD 于点 O,则 AO⊥ BD.过点 O 作 OH⊥ PD 于点 H,连接 AH,则 AH⊥ PD,则∠ AHO 为 二面角 A﹣PD﹣B 的平面角. 解答: 解: (Ⅰ )取 BC 中点 F,连接 AF,则 CF=AD,且 CF∥ AD, ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形,∴ AF∥ CD, ∴ ∠ PAF(或其补角)为异面直线 PA 与 CD 所成的角(2 分) ∵ PB⊥ 平面 ABCD,∴ PB⊥ BA,PB⊥ BF. ∵ PB=AB=BF=1,∴ AB⊥ BC,∴ PA=PF=AF= . (4 分) ∴ △ PAF 是正三角形,∠ PAF=60° 即异面直线 PA 与 CD 所成的角等于 60°. (5 分) (Ⅱ )在 Rt△ PBD 中,PB=1,BD= ,∴ PD= ∵ DE=2PE,∴ PE= 则 ,∴ △ PBE∽ △ PDB,∴ BE⊥ PD、 (7 分)

由(Ⅰ )知,CF=BF=DF,∴ ∠ CDB=90°. ∴ CD⊥ BD、又 PB⊥ 平面 PBD,∴ PB⊥ CD、 ∵ PB∩ BD=B,∴ CD⊥ 平面 PBD,∴ CD⊥ BE (9 分) ∵ CD∩ PD=D,∴ BE⊥ 平面 PCD、 (10 分) (Ⅲ )连接 AF,交 BD 于点 O,则 AO⊥ BD、 ∵ PB⊥ 平面 ABCD,∴ 平面 PBD⊥ 平面 ABD,∴ AO⊥ 平面 PBD、 过点 O 作 OH⊥ PD 于点 H,连接 AH,则 AH⊥ PD、 ∴ ∠ AHO 为二面角 A﹣PD﹣B 的平面角. (12 分) 在 Rt△ ABD 中,AO= 在 Rt△ PAD 中,AH= . . (14 分)

在 Rt△ AOH 中,sin∠ AHO=



∴ ∠ AHO=60°. 即二面角 A﹣PD﹣B 的大小为 60°. (15 分)

点评: 此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算.


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