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湖南省凤凰县华鑫实验中学2015-2016学年高二上学期第二次月考数学(理)试题


华鑫中学 2015-2016 学年第一学期第二次月考试卷 高二数学(理工类)
考试时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的。 1.已知向量 a ? ? 2 , 1? , b ? ? x, ? 2? ,若 a ∥ b ,则 a + b 等于

A. ? ?2, ?1? B. ? 2,1? C. ? 3, ?1? D. ? ?3,1?

2.不等式 ( x ? )( ? x ) ? 0 的解集是

1 3 2 2

1 ?x? 2 1 C. {x | ? ? x ? 2
A. {x | ? 3.若 lg 2,lg(2 A.1
x

3 } 2 3 } 2

1 3 2 2 1 3 D. {x | x ? ? 或x ? } 2 2
B. {x | x ? ? 或x ? }

? 1),lg(2x ? 3)成等差数列,则 x 的值等于
B.0或32 C.32 D log 2 5

4.下面结论正确的是 A.若 a ? b ,则有

1 1 ? a b

B.若 a ? b ,则有 a | c |? b | c | D.若 a ? b ,则有
2 2

C.若 a ? b ,则有 | a |? b

a ?1 b

5.在直角坐标系内,满足不等式 x -y ≥0 的点(x,y)的集合(用阴影表示)是

6. 若 ? 2x

2

? 5x ? 2 ? 0,则 4x 2 ? 4x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(
B. ? 3 C. 3

) D. 5 ? 4x

A. 4x ? 5

7 . 定 义 一 种 新 的 运 算 “ ? ” 对 任 意 正 整 数 n 满 足 下 列 两 个 条 件 : (1) 1 ? 1 ? 1

(2)(n ? 1) ?1 ? 2 ? (n ?1), 则 2006 ? 1 ?
A.2007 B.4011 C.4012 D.2008

8.已 知 集 合 A ? ??x, y ? | y ? f ( x)? , 若 对 于 任 意 ?x1 , y1 ? ? A , 存 在 ?x2 , y2 ?? A , 使 得

,给出下列集合: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 A 是“ V 集合” ① M ? ??x, y ? | y ?

? ?

1? ? x?

② M ? ?x, y ? | y ? x 2 ?1

?

?

③ M ? ??x, y ? | y ? 1 ? cos x? A.1 个 B.2 个

④ M ? ??x, y ? | y ? ln x?。其中是“ V 集合”的个数是 C.3 个 D.4 个

二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分。 9.在△ABC 中,若 ,则 。

10.已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 2, b ? 4, cos B ? 11.等差数列

3 ,则 sin A ? 5


?an ?中, a

3

? a7 ? a10 ? 8 , a11 ? a 4 ? 4 则 s13 =

12.已知等比数列{an}中,a1+a2=9,a1a2a3=27,则{an}的前 n 项和 Sn= __________。 13.在等比数列

?an ?中, 若 a

3

? 3,a9 ? 75 则 a12 =___________.

14. 若不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是____. 15.定义平面向量的一种运算: a ? b ? ①a ? b ?

a ? b ? sin a,b ,则下列命题:

b ?a;

② ?(a ? b ) ? (?a ? (?b ); ④若 a ? (x 1 ,y 1 ), b ? (x 2 ,y 2 ),则 。

③(a ? b ) ? c ?

a ? c ? b ? c;

a ? b ? x 1y 2 ? x 2 y 1 ,其中真命题是

//////// 密 /////////// 封 ///////////// 线 ///////////// 内 ///////////// 不 ///////////// 要 ///////////// 答 ///////////// 题 ///////

华鑫中学 2015-2016 学年第一学期第二次月考答卷 高二年级数学(理工类)答题卡
1 2 3 4 5 6 7 8

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 题 号 选 项

二、填空题(每小题 5 分,共 35 分)

考号

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

姓名

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

)的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。

学校

班级

17. (本小题满分 12 分) 向量 a ? (

1 1 3 已知 a // b , , sin x ? cos x ),b ? (1,y ) , 2 2 2

且有函数 y ? f(x ).

(1)求函数 y ? f(x )的最小正周期;

(2)已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C。若有 f (A ?

?
3

)?

3 ,边 BC ?

7,

sin B ?

21 ,求 AC 的长及 ?ABC 的面积。 7

18. (本小题满分 12 分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园 由长方形的休闲区 A1B1C1D (阴影部分) 和环公园人行道组成。 已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 1 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米。 (I)若设休闲区的长 A1B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S ( x) 的解析式; (II)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? D D1 C1 C
4米

A1 A 10 米

B1

4米

10 米 B

19. (本小题满分 13 分)已知数列 (Ⅰ)求数列

?an ?的前 n 项和为 s n

? n 2 ? 4n ? 1 ,

?an ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn

bn ?的前 n 项和Tn . ? 2n ?1 ? (an ? 1),求数列 ?

x 2 ? (1 ? p) x ? p 20. (本小题满分 13 分)已知 f ( x) ? ( p ? 0) 2x ? p
(1)若 p ? 1 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 (2)若 f ( x) ?2 ,对 2 ? x ? 4 恒成立,求 p 的范围

21 .( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知

x,

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成 等 差 数 列 . 又 数 列 2

{an }(an ? 0)中, a1 ? 3, 此数列的前 n 项的和 Sn( n ? N ? )对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ? f (S n?1 ).
(I)求数列 {an } 的第 n+1 项; (II)若 bn 是

1 a n ?1

,

1 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn an

华鑫中学 2015-2016 学年第一学期第二次月考高二理科数学 参考答案

一.

选择题: 题号 答案 1 A 2 A 3 A 4 B 5 C 6 B 7 D 8 B

二.填空题 9.

?x ? (0, 2), x2 ? 2x ? 2 > 0

10.

( -2,2]

11.

1 1 { x | x ? ? 或x ? } 3 2

12. -2 13.

1 n (4 ? 1) 3

14.

3? ? ? ? ?, ? 2? ?

15. ① ② ④

三.解答题 16.解:由题意 p: ? 2 ? x ? 3 ? 2 ∴ ?p : x ? 1或x ? 5 … q: m ? 1 ? x ? m ? 1 ∴ ?q : x ? m ? 1或x ? m ? 1 又∵ ?p 是 ?q 充分而不必要条件∴ ? ∴ 1? x ? 5

?m ? 1 ? 1 ?m ? 1 ? 5

∴2 ? m ? 4

17、解析: (Ⅰ)由题设知公差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 Sm=2+2 +2 +?+2 =
2 3 n

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

am

=2n,由等比数列前 n 项和公式得

2(1 ? 2 n ) n+1 =2 -2. 1? 2

18.解: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以

sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ?

?
4

B?
(II)由(I)知

3? ? A. 4 于是

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? ,即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

?

) 6 取最大值 2.

? ? 5? 3 sin A ? cos( B ? ) A? ,B ? . 4 的最大值为 2,此时 3 12 综上所述,
19.⑴由 A1B1 ? x ,知 B1C1 ?

4000 x

4000 ? 8) x 80000 ? 4160 ? 8 x ? ( x ? 0) x S ? ( x ? 20)(
⑵ S ? 4160 ? 8 x ? 当且仅当 8 x ?

80000 80000 ? 4160 ? 2 8 x? ? 5760 x x

80000 即x ? 100 时取等号 x

∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米、宽为 40 米. 20.解: (1)

( x ? p)( x ? 1) ?0 p x? 2

p ? 2时, x ? ? x x ? 2

?
p 或x ? ?1 2

p ? 2时, x ? ? x ? p ? x ? ?

?
p 2

1 ? p ? 2时, x ? ? x ? p ? x ? ?1或x ? ?

? ?? 6 分

(2) f ( x) ? 2 在 x ?? 2, 4? 恒成立,即 x2 ? (1 ? p) x ? p ? 2(2 x ? p) 恒成立
也p?

3x ? x 2 恒成立。 ???8 分 x ?1

3x ? x 2 2 设 g ( x) ? ,令 x ? 1 ? t 得, g ( x) ? ?t ? ? 1 ,在 t ??1,3? 上为减函数 t x ?1

当 t ? 1 时, g ( x)max ? 2 , ???10 分

?p ?2
21.解: (1)? x ,

???13 分
f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列,∴ 2
2

f ( x) ?2 ? x ? 3 2

∴ f ( x) ? ( x ? 3) . ????2 分 ∵ S n ? f (S n?1 ), (n ? 2),? S n ? f (S n?1 ) ? ( S n?1 ? 3) 2 , ∴ Sn ?

Sn?1 ? 3, Sn ? Sn?1 ? 3,

∴{ S n }是以 3 为公差的等差数列.????????4 分 ∵ a1 ? 3,? S1 ? a1 ? 3,? S n ? ∴ S n ? 3n (n ? N ? ).
2

S1 ? (n ? 1) 3 ? 3 ? 3n ? 3 ? 3n ,

∴ an?1 ? S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) ? 3n ? 6n ? 3.
2 2

????7 分

(2)∵数列 bn 是

1 a n ?1

,

1 1 1 2 ? , ????9 分 的等比中项,∴ ( bn ) ? an a n ?1 a n

∴ bn ?

1 a n?1an

?

1 1 1 1 ? ( ? ). 3(2n ? 1) ? 3(2n ? 1) 18 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ). ??13 18 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 18 2n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

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