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2004年高考数学试题分类汇编:三角(一)


2004 年全国高考数学试题汇编——三角、向量(一)
1[2004 年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第 3 题,文科数学第 3 题]. 已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那 么|a+3b|= ( ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4

2[2004 年全国高考(四川云南吉林黑龙江)文科数学第 9 题]. 已知向

量 a、b 满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|= A.1 B. 2 C. 5 D. 6 ( )

3[2004 年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第 14 题,文科数学第 15 题]. 向量 a、b 满足(a-b)(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,则 a 与 b 夹角的余弦值等于 · . ▲4[2004 年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第 9 题]. 已知平面上直线 l 的方向向量 e= (?

4 3 , ), 点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分 5 5
( ) D.-2
[来源:学科网 ZXXK]

别是 O′和 A′,则 O ?A? ? ? e,其中 ? = A.

11 5

B. ?

11 5

C.2

5[2004 年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第 5 题,文科数学第 5 题]. 已知函数 y ? tan(2 x ? ? ) 的图象过点 ( A. ?

?

?
6

B.

? 6

12

,0) ,则 ? 可以是

( D.



C. ?

? 12

? 12

( 6 2004 年北京高考数学· 文史类第 9 题)函数 f ( x ) ? sin x cos x 的最小正周期是_________ . . 7(2004 年北京高考数学·理工第 9 题) . 函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________ 8[2004 年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第 2 题,文科数学第 2 题]. 函数 y ? sin x 的最小正周期是 2
学|科|网 Z|X|X|K]





[来源:

A.

? 2

B.

?

C. 2?

D. 4?

9[2004 年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第 14 题]. 已知函数 y ?

1 x ?? sin ( A ? 0) 的最小正周期为 3 ? ,则 A= 2 A
2

.

10[2004 年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第 11 题 ,文科数学第 11 题]. 函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为
4

( ) C. ? D.2 ?

A.

? 4

B.

? 2

11[2004 年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)文科数学第 10 题]. 函数 y ? 2 sin( A.-3

?

? x) ? cos( ? x)( x ? R) 的最小值等于 3 6
B.-2 C.-1 D.- 5

?





12[2004 年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第 15 题]. 函数 f ( x) ? cos x ?

1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2

.

13 [ 2004 年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)文科数学第 15 题] . 函数 y ? sin x ?

1 cos x( x ? R) 的最大值为 2
3 cos x 在区间 ?0, ? ? 上的最小值为
? ? 2? ?

.

14[2004 年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第 14 题]. 函数 y ? sin x ? .

15[2004 年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)文科数学第 6 题]. 设 ? ? (0, A.

?

7 5

3 ? ) 若 sin? ? , 则 2 cos( ? ) = ? 2 5 4 1 7 B. C. 5 2

( ) D.4

16[2004 年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第 9 题]. 为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象





? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位 长度 3
B.向右平移

[来源:Z*xx*k.Com]

17[2004 年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第 10 题,文科数学第 11 题]. 在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为 ( )

A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

18[2004 年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第 11 题,文科数学第 12 题]. △ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列, ∠B=30°,△ABC 的面积为

3 ,那么 b= 2
C.





A.

1? 3 2

B. 1? 3

2? 3 2

D. 2 ? 3

▲19[2004 年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第 10 题]. 函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数 A. ( ( D. (2? ,3? ) )

? 3?
2 2 ,

)

B. (? ,2? )

C. (

3? 5? , ) 2 2

20[2004 年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第 17 题, 文科数学第 18 题, 本小题满分 12 分]. 求函数 f ( x) ?

sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 的最小正周期、最大值和最小值. 2 ? sin 2 x

21[2004 年 全国高考(四 川云南吉林黑 龙江)理科数学第 17 题,文科数学第 18 题,本小题满分 12 分].

已知锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B) ?

(Ⅰ)求证: tan A ? 2 tan B ; (Ⅱ)设 AB=3,求 AB 边上的高. 22.[2004 年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第 17 题,文科数学第 18 题,本小题满分 12 分] 已知 ? 为锐角,且 tan? ?

3 1 , sin( A ? B) ? . 5 5

1 sin 2? cos? ? sin ? ,求 的值. 2 sin 2? cos 2?

23.[2004 年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第 17 题,文科数学第 17 题,本小题满分 12 分]

sin(? ? ) 15 4 ,求 已知α 为第二象限角,且 sinα = 的值. 4 sin 2? ? cos 2? ? 1
24(2004 年北京高考数学·理工第 15 题,文史第 15 题) .

?

在 ?ABC 中, sin

A ? cos A ?

2 2



AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ?ABC 的面积.

参考答案
1.C 2.D 3. ?

1 2
3 4

4.D

5.A

6. ?

7. ?

8.C

9.

3 2

[来源:Zxxk.Com]

10.B 18.B

11.C 19..B

12.

13.

5 2

14.1

15.B

16.B

17.B

20[2004 年全国高考(山东山西河南河北江西安徽卷)理科数学第 17 题, 文科数学第 18 题]. 本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分 12 分.

(sin 2 x ? cos2 x) 2 ? sin 2 x cos2 x 解: f ( x) ? 2 ? 2 sin x cos x
1 ? sin 2 x cos2 x 2(1 ? sin x cos x) 1 ? (1 ? sin x cos x) 2 1 1 ? sin 2 x ? 4 2 ?
所以函数 f(x)的最小正周期是π ,最大值是

3 1 ,最小值是 . 4 4

21[2004 年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第 17 题,文科数学第 18 题]. 本小题主要考查三角函数概念,两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力, 满分 12 分. (Ⅰ)证明:? sin(A ? B) ?

3 1 , sin(A ? B) ? , 5 5
2 , tan A 5 ? ? 2. 1 tan B 5

3 ? ? ?sin A cos B ? cos A sin B ? 5 , ?sin A cos B ? ? ? ?? ?? ?sin A cos B ? cos A sin B ? 1 . ?cos A sin B ? ? ? 5 ? ?
所以 tan A ? 2 tan B.

(Ⅱ)解:?

3 3 ? A ? B ? ? , sin(A ? B) ? , ? tan(A ? B) ? ? , 2 5 4 tan A ? tan B 3 即 ,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理得 ?? 1 ? tan A tan B 4
2 tan 2 B ? 4 tan B ? 1 ? 0.

?

解得 tan B ?

2? 6 2? 6 ,舍去负值得 tan B ? , 2 2
设 AB 边上的高为 CD.

? tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6.
则 AB=AD+DB=

CD CD 3CD ? ? . tan A tan B 2 ? 6
所以 AB 边上的高等于 2+ 6 .

由 AB=3,得 CD=2+ 6 .

22.[2004 年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第 17 题,文科数学第 18 题] 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形 的能力.满分 12 分. 解:原式 ? 所以

sin? cos 2? , 2 sin ? cos? cos 2?
1 . 2c o ? s
5 . 4

因为 tan? ?

1 时, sin ? ? 0, cos 2? ?? 0, 2
1 2 得 cos? ? , 2 5

原式 ?

因为 ? 为锐角,由 tan? ?

所以 原式 ?

23.[2004 年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第 17 题,文科数学第 17 题] 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分 12 分.

2 (sin ? ? cos? ) 4 2 解: ? sin 2? ? cos 2? ? 1 2 sin ? cos? ? 2 cos2 ? sin(? ? )
? 2 (sin ? ? cos? ) . 4 cos? (sin ? ? cos? )

?

当 ? 为第二象限角,且 sin ? ?

15 时 4

1 s i n ? c o ? ? 0, c o ? ? ? , ? s s 4

sin(? ? ) 2 4 所以 = ? ? 2. sin 2? ? cos 2? ? 1 4 cos?

?

24(2004 年北京高考数学·理工第 15 题,文史第 15 题) 本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,考查运算能力。满分 13 分。 解法一:

? sin A ? cos A ? 2 cos( A ? 45? ) ? 1 ? cos( A ? 45 ) ? 2
?

2 2
[来源:学*科*网]

又 0 ? A ? 180
?

?

? ? A ? 4 5 ? 6 ?0 A, ?

1? 0 5 1? 3 ? ?2 ? 3 1? 3

? tan A ? tan(45? ? 60? ) ?

sin A ? sin 105? ? sin(45? ? 60 ? ) ? sin 45? cos 60 ? ? cos 45? sin 60 ? ? 1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 2 2 4 4

2? 6 4

S ?ABC ?

解法二:

? sin A ? cos A ?

2 2

(1)

? (sin A ? cos A) 2 ? ? 2 sin A cos A ? ?

1 2

1 2 ? ? ? 0 ? A ? 180 ,? sin A ? 0,cos A ? 0

? (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? 2 sin A cos A ?
? sin A ? cos A ? 6 2
(2)

3 2

(1)+(2)得: sin A ?

2? 6 4 2? 6 4
6 ? 4 ?? 2 ? 2? 6 3

(1)-(2)得: cos A ?

? t a nA ?

s i nA ? cos A

2 ? 4

(以下同解法一)

※ 待续

试题整理者:陈斌

E-mail:cqsbcqsb@126.com

注:
(1) (3) 第▲4 题适合高二学生做,第▲19 题适合高三学生做; 2004 年全国高考数学试卷共计 27 套——全国卷 8 套(四川、吉林、黑龙江、云南等地区文理 2 套,山东、山西、河南、河北、江西、安徽等地区文理 2 套,陕西、广西、海南、西藏、内蒙 古等地区文理 2 套,甘肃、贵州、宁夏、青海、新疆等地区文理 2 套) ;单独命题的 11 个省市 的高考数学试卷共计 19 套(北京文理 2 套,天津文理 2 套,上海文理 2 套,重庆文理 2 套,湖 南文理 2 套,湖北文理 2 套,浙江文理 2 套,福建文理 2 套,江苏 1 套,广东 1 套,辽宁 1 套) 。 请老师和同学们注意收集整理。

(2) 平面向量与解析几何综合的解答题将放在“2004 年全国高考数学试题汇编——解析几何”中;


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