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第3部分-第2讲填空题解法


2016版· 二轮复习题型突破
第 一 招

第 四 招

第 二 招

第二讲

五招智取填空题
第 五 招

第 三 招

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[核 心 检 索] 1.具有小巧灵活、结构简单、运算量不大

等特点. 2.跨度大,覆盖面广,形式灵活,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活 地运用知识的能力和基本运算能力. 3.一般分成两种类型:一是定量型:要求考生填写数值、数集或数量关系; 二是定性型:要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种 性质.

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第一招
方法要诀

直接法

对于计算型的试题,多通过直接计算求得结果,这是解决填空题的基本方 法.它是直接从题设出发,利用有关性质或结论,通过巧妙地变形,直接得到 结果的方法.要善于透过现象抓本质,有意识地采取灵活、简捷的解法解决问 题.

2016版· 二轮复习题型突破 【案例 1】 (2015· 安徽高考)执行如图 21 所示的程序框图(算法流程图),
输出的 n 为________.

图 21

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3 [解析] 执行第一次循环体:|a-1.414|=0.414>0.005,a=2,n=2; 7 执行第二次循环体:|a-1.414|=0.086>0.005,a=5,n=3; 17 执行第三次循环体:|a-1.414|=0.014>0.005,a=12,n=4; 执行第四次循环体:|a-1.414|<0.005,输出 n=4. [答案] 4

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直接法的应用 直接法是解决计算型填空题最常用的方法,在计算过程中,我们要根据题 目的要求灵活处理,多角度思考问题,注意一些解题规律和解题技巧的灵活应 用,将计算过程简化从而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键.

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[对型训练] 1 (2015· 陕西高考)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y=x (x>0)上点 P 处的
x

切线垂直,则 P 的坐标为__________.

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[解析] y′=ex, 曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1=e0=1, 设 P(m, n), 1 1 1 1 y=x (x>0)的导数为 y′=-x2(x>0),曲线 y=x (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2=-m2 (m>0),因为两切线垂直,所以 k1k2=-1,所以 m=1,n=1,则点 P 的坐标为 (1,1).
[答案] (1,1)

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第二招
方法要诀

特殊值法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条 件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以从题中变化的不定量中选取符合 条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方 程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.为保证答案的正确性,在利 用此方法时,一般应多取几个特例.

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【案例 2】 (2014· 江西高考改编)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分 π 别为 a,b,c,若 c =(a-b) +6,C=3,则△ ABC 的面积是________.
2 2

2016版· 二轮复习题型突破 [解析] 法一 ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6. ①
π π 2 2 2 ∵C=3,∴c =a +b -2abcos3=a2+b2-aB. 由①②得-ab+6=0, 即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ ABC=2absin C=2× 6× 2 = 2 . 法二 △ ABC 为等边三角形时满足条件, ②

3 3 则 S△ ABC= 2 .
[答案] 3 3 2

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特殊值法的应用 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法,但要注意此种方法 仅限于求解结论只有一种的填空题,对于开放性的问题或者有多种答案的填空 题,则不能使用该种方法求解.本题中的法二把一般三角形看作等边三角形, 从而减少了计算量.

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[对型训练] (2015· 杭州五校模拟)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, cos A+cos C 若 a,b,c 成等差数列,则 =________. 1+cos Acos C

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[解析] 令 a=3,b=4,c=5, 4 则 △ ABC 为直角三角形,且 cos A = 5 , cos C = 0 ,代入所求式子,得 4 cos A+cos C 5+0 4 = 4 =5. 1+cos Acos C 1+5× 0 4 [答案] 5

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第三招
方法要诀

数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目中的条件,作出符合题意 的图形,并通过对图形的直观分析、判断,即可快速得出正确结果.这类问题 的几何意义一般较为明显,如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何 中两点间距离等.

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1 【案例 3】 (2015· 定远模拟)函数 f(x)= -2sin 2πx,x∈[-1,2]所有的 1-2x 零点之和等于________.

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1 [解析] 令 y1= ,y2=2sin 2πx,x∈[-1,2],作出两个函数的图象如图, 1-2x

1 由图象可知,函数 y1= 与 y2=2sin 2πx,x∈[-1,2]的图象有 8 个交点, 1-2x 两两关于点
?1 ? A?2,0?对称,所以每两个对称点的横坐标之和为 ? ?

1,所有交点的横

坐标之和为 1× 4=4,即函数 f(x)在定义域上所有零点之和为 4.

[答案] 4

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数形结合法的实质 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用,利用图形 的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论, 这也是高考命题的热点. 准 确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关 系,利用几何图形中的相关结论求出结果.

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[对型训练] (2015· 苏北四市一模)已知函数 f(x)=x|x-2|,则不等式 f( 2-x)≤f(1)的解集 为________.

2016版· 二轮复习题型突破 [解析] 函数 y=f(x)的图象如图,
由不等式 f( 2-x)≤f(1), 知 2-x≤ 2+1, 从而得到不等式 f( 2-x)≤f(1)的解集为[-1,+∞).

[答案]

[-1,+∞)

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第四招
方法要诀

构造法

用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型,从而 简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,首 先应观察题目, 观察已知(例如代数式)形式上的特点, 然后积极调动思维, 联想、 类比已学过的知识及各种数学结构、 数学模型, 深刻地了解问题及问题的背景(几 何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型,达到快速 解题的目的.

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【案例 4】 (1)如图 22,已知球 O 的球面上有四点 A,B,C,D,DA⊥平 面 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= 2,则球 O 的体积等于________. e4 e5 e6 (2)16,25,36(其中 e 为自然对数的底数)的大小关系是________.

图 22

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[解析] (1)如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体, 设正方体的外接球球 O 的半径为 R, 则正方体的体对角线 长即为球 O 的直径,所以|CD|= ( 2)2+( 2)2+( 2)2= 6 4πR3 2R,所以 R= 2 ,故球 O 的体积 V= 3 = 6π.

2016版· 二轮复习题型突破 e4 e4 e5 e5 e6 e6 (2)由于16=42,25=52,36=62,
ex 故可构造函数 f(x)=x2, e4 e5 e6 于是 f(4)=16,f(5)=25,f(6)=36. 而
?ex ?′ ex· x2-ex· 2x ex(x2-2x) f′(x)=?x2? = = ,令 4 4 x x ? ?

f′(x)>0 得 x<0 或 x>2,即函数

e4 e5 e6 f(x)在(2,+∞)上单调递增,因此有 f(4)<f(5)<f(6),即16<25<36. e4 e5 e6 [答案] (1) 6π (2)16<25<36

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构造法的实质 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所 要解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型, 从而转化为自己熟悉的问题.第(1)题巧妙地构造出正方体,而球的直径恰好为 正方体的体对角线,问题很容易得到解决.

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[对型训练] 1 1 1 1 1 1 (1)已知 a=ln2 013-2 013, b=ln2 014-2 014, c=ln2 015-2 015, 则 a, b, c 的大小关系为________. (2)已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在 α 上的投影有 可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直 线及其外一点. 在上面的结论中,正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号).

2016版· 二轮复习题型突破 1-x 1 [解析] (1)令 f(x)=ln x-x,则 f′(x)=x -1= x .当 0<x<1 时,f′(x)>0,
即函数 f(x)在(0,1)上是增函数. 1 1 1 ∵1>2 013>2 014>2 015>0,∴a>b>C. (2)用正方体 ABCDA1B1C1D1 实例说明 A1D1 与 BC1 在平面 ABCD 上的投影互相平行, AB1 与 BC1 在平面 ABCD 上的投影 互相垂直,BC1 与 DD1 在平面 ABCD 上的投影是一条直线及 其外一点.故①②④正确.

[答案] (1)a>b>c (2)①②④

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第五招
方法要诀

归纳推理法

做关于归纳推理的填空题的时候,一般是由题目的已知可以得出几个结论 (或直接给出了几个结论 ),然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结 论,再利用这个一般性的结论来解决问题.归纳推理是从个别或特殊认识到一 般性认识的推演过程,这里可以大胆地猜想.

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【案例 5】

观察下列算式:13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17

+19,…,若某数 m3 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2 015”这个数,则 m=________.

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[解析] 由题意可得第 n 个算式的左边是 n3,右边是 n 个连续奇数的和,设 第 n 个算式的第一个数为 an,则有 a2-a1=3-1=2,a3-a2=7-3=4,…,an (n-1)[2+2(n-1)] -an-1=2(n-1),以上 n-1 个式子相加可得 an-a1= ,故 an 2 =n2-n+1,可得 a45=1 981,a46=2 071,故可知 2 015 在 453 的展开式中,故 m=45.

[答案] 45

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归纳推理法的应用 归纳推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中,一般在数列的 推理中常涉及.即通过前几个等式或不等式出发,找出其规律,即找出一般的 项与项数之间的对应关系,一般的有平方关系、立方关系、指数关系变化或两 个相邻的自然数或奇数相乘基本关系,需要对相应的数字的规律进行观察、归 纳,一般对等式或不等式中的项的结构保持一致.

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[对型训练] 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 n(n+1) 1 2 1 1,3,6,10,…,第 n 个三角形数为 2 =2n +2n,记第 n 个 k 边形数为 N(n, k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 1 2 1 N(n,3)=2n +2n, N(n,4)=n2,

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五边形数 六边形数 …

3 2 1 N(n,5)=2n -2n, N(n,6)=2n2-n

可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=________.

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[解析] 由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n, k-2 2 4-k 可以推测:当 k 为偶数时,N(n,k)= 2 n + 2 n, 24-2 4-24 ∴N(10,24)= 2 × 100+ 2 × 10=1 100-100=1 000.

[答案] 1 000


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