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二次函数知识点总结与典型例题


二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数。

y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数,a ? 0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 x

? ? 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法: 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式: y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) (2)顶点式: y ? a( x ? h) 2 ? k (a, h, k是常数, a ? 0)
2 2 (3)当抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴有交点时,即对应二次好方程 ax ? bx ? c ? 0

b 对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 2a

有实根 x1 和 x2 存在时,根据二次三项式的分解因式 ax ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,二
2 2 次函数 y ? ax ? bx ? c 可转化为两根式 y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。如果没有交点,则不能这

样表示。 三、抛物线 y ? ax ? bx ? c 中, a, b, c 的作用
2

(1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y ? ax 中的 a 完全一样.
2

(2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ? ax ? bx ? c 的对称轴是直线
2

b b ,故:① b ? 0 时,对称轴为 y 轴所在直线;② ? 0 (即 a 、b 同号)时, 2a a b 对称轴在 y 轴左侧;③ ? 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧. a x??
(3) c 的大小决定抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴交点的位置.
2

当 x ? 0 时, y ? c ,∴抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ) : ① c ? 0 ,抛物线经过原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c ? 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 四、二次函数的性质 1、二次函数的性质
二次函数 函数

b ? 0. a

y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数,a ? 0)
a>0 a<0

y y

图像

0

x

0

x

(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸; (1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;

性质

b ,顶点坐标是 2a 4ac ? b 2 b (? , ) ; 2a 4a b (3)在对称轴的左侧,即当 x< ? 时,y 随 x 2a b 的增大而减小; 在对称轴的右侧, 即当 x> ? 2a
(2)对称轴是 x= ? 时,y 随 x 的增大而增大,简记左减右增; (4)抛物线有最低点,当 x= ?

b ,顶点坐标是 2a 4ac ? b 2 b (? , ) ; 2a 4a b (3)在对称轴的左侧,即当 x< ? 时,y 2a
(2)对称轴是 x= ? 随 x 的增大 而增大;在对称轴的右侧,即当 x> ? 时,y 随 x 的增大而减小,简记左增右减; (4)抛物线有最高点,当 x= ?

b 2a

y 有最小值,

y最小值

b 时, 2a 4ac ? b 2 ? 4a

y 有最大值,

y最大值

b 时, 2a 4ac ? b 2 ? 4a

五、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ? ? b 2 ? 4ac ,在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。 当 ? >0 时,图像与 x 轴有两个交点; 当 ? =0 时,图像与 x 轴有一个交点; 当 ? <0 时,图像与 x 轴没有交点。 补充: 函数平移规律:左加右减、上加下减 六、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) ,即当

x??

4ac ? b 2 b 时, y最值 ? 。 2a 4a
b 是否在自变量取值范围 2a

如果自变量的取值范围是 x1 ? x ? x2 ,那么,首先要看 ?

4ac ? b 2 b x1 ? x ? x2 内,若在此范围内,则当 x= ? 时, y最值 ? ; 2a 4a
若不在此范围内,则需要考虑函数在 x1 ? x ? x2 范围内的增减性,
2 如果在此范围内, y 随 x 的增大而增大, 则当 x ? x2 时, 当 x ? x1 y最大 ? ax2 ? bx2 ? c , 2 时, y最小 ? ax1 ? bx1 ? c ; 2 如果在此范围内, y 随 x 的增大而减小, 则当 x ? x1 时,y最大 ? ax1 当 x ? x2 ? bx1 ? c , 2 时, y最小 ? ax2 ? bx2 ? c 。

典型例题
2 ? ?? x ? 1? ? 1? x≤3? 1. 已知函数 y ? ? , 则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个, 则 k 的值为 ( 2 x ? 5 ? 1 x > 3 ? ? ? ? ? ?



A.0

B.1

C.2

D.3

2. 如图为抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图像, A、 B、 C 为抛物线与坐标轴的交点, 且 OA=OC=1, 则下列关系中正确的是 ( ) A.a+b=-1 B. a-b=-1

C. b<2a

D. ac<0

3. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则反比例函数 y ? 在同一坐标系中的大致图象是( ).

a 与一次函数 y ? bx ? c x

4. 如图,已知二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图象经过点(-1,0) , (1,-2) ,当 y 随 x 的增大 而增大时, x 的取值范围是 .

y
1
-1 O

y ? x 2 ? bx ? c

1
(1,-2)

x

5. 在平面直角坐标系中,将抛物线 y ? x ? 2x ? 3 绕着它与 y 轴的交点旋转 180° ,所得抛
2

物线的解析式是(
2

) . B. y ? ?( x ? 1) ? 4
2

A. y ? ?( x ? 1) ? 2 C. y ? ?( x ? 1) ? 2
2

D. y ? ?( x ? 1) ? 4
2

2 6. 已 知 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 的 图 像 如 图 , 其 对 称 轴 x ? ?1 , 给 出 下 列 结 果
2 ① b ? 4ac ② abc ? 0 ③ 2a ? b ? 0 ④ a ? b ? c ? 0 ⑤ a ? b ? c ? 0 ,则正确的结论是





A ①②③④

B ②④⑤

C ②③④

D ①④⑤

7.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对应值如下表: x y … … -2 0 -1 4 0 6 1 6 2 4 … …

从上表可知,下列说法中正确的是

. (填写序号)

①抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0) ; ②函数 y ? ax2 ? bx ? c 的最大值为 6; ③抛物线的对称轴是 x ?

1 ; 2

④在对称轴左侧, y 随 x 增大而增大.

8. 如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 A 的坐标是(-2,4) ,过点 A 作 AB⊥y 轴,垂足为 B,连结 OA. (1)求△ OAB 的面积; (2)若抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? c 经过点 A. ①求 c 的值; ②将抛物线向下平移 m 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△ OAB 的内部(不包 括△ OAB 的边界) ,求 m 的取值范围(直接写出答案即可) .

9.已知二次函数 y= ?

1 2 3 x + x 的图像如图. 4 2

(1)求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标; (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与 x 轴、y 轴的交点分别 为 A、B、C 三点,若∠ACB=90° ,求此时抛物线的解析式; (3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为 M,以 AB 为直径,D 为圆心作⊙D,试判断 直线 CM 与⊙D 的位置关系,并说明理由.

10. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,AB 在 x 轴上,AB=10,以 AB 为直径的⊙O′与 y 轴 正半轴交于点 C,连接 BC,AC.CD 是⊙O′的切线,AD⊥CD 于点 D,tan∠CAD= 线 y ? ax ? bx ? c 过 A,B,C 三点.
2

1 ,抛物 2

(1)求证:∠CAD=∠CAB; (2)①求抛物线的解析式; ②判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上,并说明理由; (3)在抛物线上是否存在一点 P,使四边形 PBCA 是直角梯形.若存在,直接写出点 P 的坐标(不写求解过程) ;若不存在,请说明理由.

11. 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是直角梯形,BC∥AD,∠BAD= 90° , BC 与 y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点,A、B、D 三点的坐标分别是 A(-1,0) ,B( -1, 2),D( 3,0),连接 DM,并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON,若抛物线 y=ax2+bx+c 经过 点 D、M、N. (1)求抛物线的解析式 (2)抛物线上是否存在点 P.使得 PA= PC.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在.请 说明理由。 (3)设抛物线与 x 轴的另—个交点为 E.点 Q 是抛物线的对称轴上的—个动点,当点 Q 在什么位置时有 QE ? QC 最大?并求出最大值。 y

N

B

M C

E

A 图

O

D

x

12.如图,抛物线 y=

1 2 x +bx-2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(一 1,0). 2

⑴求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; ⑵判断△ABC的形状,证明你的结论; ⑶点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.

13.在平面直角坐标系中,如图 1,将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC,相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上,设抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点 B、C. (1)当 n=1 时,如果 a=-1,试求 b 的值; (2)当 n=2 时,如图 2,在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN,使 EF 在线段 CB 上,如果 M,N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式; (3)将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转,使得点 B 落到 x 轴的正半轴上,如果该抛物线同时 经过原点 O, ①试求出当 n=3 时 a 的值; ②直接写出 a 关于 n 的关系式.
y

y

CDy= 1.15厘米
M N B
O

C

B

C
x


O A

F

E A

C

O

x


A

B x

图1

图2

图3


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