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《3.4.1 基本不等式的证明(1)》学案3


曹县一中精品课堂学案 3.4.1 基本不等式的证明(1)

一、问题情景 1.提问:
a?b 2

方形的边长为多少?面积为多少呢? 与 a b 哪个大?
ab ? a?b 2

2. 基 本 不 等 式 景:

的几何背 问题 2 呢? 那 4 个直角三角形的面积和

如图是在 北京召开的第 24 界国际数学 家大会的会标,会标是根据中国古代数学家 赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去 象一个风车,代表中国人民热情 好客.你能 在这个图案中找出一些相等关系或不等关 系吗? 问题 3 好,根据观察 4 个直角三角形 的面积和正方形的面积,我们可得容易得到 一个不等式, 两部分面积相等呢? . 三、建构数学 1.重要不等式:一般地,对于任意实
2 2 数 a 、 b ,我们有 a ? b ? 2 ab ,当且仅

.什么时候这

当 a ? b 时,等号成立. 问题 4: 你能给出它的证明吗?(学生尝 二、学生活动 问题 1 我们把“风车”造型抽象成上 图. 在正方形 A B C D 中有 4 个全等的直角三 角形.设直角三角形的长为 a、 b ,那么正
用心 爱心 专心 1

试证明后口答,老师板书)

(3) 注意: (1)等号成立的条件, “当且仅当” 指充要条件; (2) 公式中的字母和既可以是具体 的数字,也可以是比较复杂的变量式,因 此应用范围比较广泛. 问题 5: a 降次为 a , b 降次为 b , 将 则由这个不等式可以得出什么结论?
CD
2

a?b 2

?

ab 的几何解释: (如图

1)以 a ? b 为直径作圆,在直径 A B 上取一 点 C ,
? 过 C 作 弦 D D? A B 则 ,

? CA ? CB ? ab ,从而 CD ?

ab ,

而半径

a?b 2

? CD ?

ab
a?b 2

基本不等式 a b ? “半径不小于半弦” ;

几何意义是:

(4)当且仅当 a ? b 时,取“ ? ”的含 义:一方面是当 a ? b 时取等号,即
a ?b ?

ab ?

a?b 2

;另一方面是仅当
a?b 2 ? a ?b;
2

2.基本不等式:对任意 正数 a 、 b ,有
a?b 2 ? a b , 当且仅当 a ? b 时等号成立 .
a?b 2
a , b 的算术平均数和几何平均数,上述不等

a ? b 时取等号,即

ab ?

(5) 如果 a , b ? R , 那么 a ? b ? 2 ab
2

说明: 把

和 a b 分别叫做正数 (当且仅当 a ? b 时取“ ? ”; ) (6) 如果把
a ?b 2

看作是正数 a 、b 的

式可叙述 为:两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数. 注意: (1)基本不等式成立的条件是:
a ? 0, b ? 0 ;

等差中项, ab 看作是正数 a 、b 的等比中 项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等 差中项不小于它们的等比中项. 四、数学运用 例 1 设 a , b 为正数,证明下列不等式成立: (1)
b a
用心 爱心 专心

(2)不等式证明的三种方法:比较法 (证法 1) 、分析法(证法 2) 、综合法(证 法 3) ;

?

a b

? 2; (2) a ?

1 a

? 2.

2

(2) y ? 4 x ? 2 ?

1 4x ? 5

拓展 1、
2

已知 a , b , c 为两两不相等的
2 2

练习 1:求 y ? x ?

3 x?4

的值域;

实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca .

练习 2:求 y ? sin x ?

4 sin x

的值域。

例 2.已知 a,b,c 求证:
1 a ? 1 b ? 1 c ?9

正数,且 a+b+c=1 五、课堂反馈 1. 给 出下列结论,其中正确的有 (1)若 x ? 0, y ? 0, 则
lg x ? lg y ? 2 lg x ? lg y

(2)若 x ? 0 , 则 练 习 : 已 知 a,b,c
( 1 a ? 1)( 1 b ? 1)( 1 c ? 1) ? 8

正数,求证:

1 co s x

? co s x ? 2

1 co s x
4 x

? co s x ? 2
? ?2
?x

(3)若 x ? 0 ,则 x ?

x?
x

4 x

? ?4
x?

(4) x ? 0 , 2 x ? 2 若 则

?2 2 2 ?

2?

2. 若 b>a>0 , 则下列不等式一定成立的有 ____________ 例 3、求下列函数的值域: (1)、 y ? x ?
1 x
用心 爱心

(1). a>

a?b 2

?

ab ? b ?a



(2). b> ab ?

a?b 2

专心

3

(3)(3). b> (4). b>a>

a?b 2 a?b 2

? ?

ab ? a ab
a
2

3.求证: (

a?b 2

) ≤

2

?b 2

2

4.已知 a , b , c , d 都是正数,求证
( ab ? cd )( ac ? bd ) ? 4 abcd .

六、定时作业 [课外作业]

用心

爱心

专心

4

用心

爱心

专心

5



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