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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 正余弦定理在解决三角形问题中的应用典例分析素材 北师大版必修5


正余弦定理在解决三角形问题中的应用 典型例题分析: 一、判定三角形的形状 例1 根据下列条件判断三角形 ABC 的形状: 2 2 (1)若 a tanB=b tanA; 解:由已知及正弦定理得 (2RsinA) 2 sin B sin A 2 ? = (2RsinB) cos B cos A 2sinAcosA=2sinBcosB ? sin2A=sin2B ? 2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90 或 A – B=0 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. (2)b sin C + c sin B=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得 sin Bsin C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90 , A=90 , 故△ABC 是直角三角形. (3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解:(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1 o o 2 2 2 2 2 2 o ? [2sin 1]=0 C A?B A?B A?B A?B 2 cos + sin(A + B)] – [2cos cos + 2cos 2 2 2 2 2 A?B A?B A?B A?B cos + sin(A + B)] – 2cos cos 2 2 2 2 ? [2sin 2sin 2 A?B =0 2 A?B A?B A?B A?B - cos )(cos - sin )=0 ?(sin 2 2 2 2 ? A?B A?C?B A?B?C )sin sin =0 ?sin( 4 2 4 4 ?△ABC 是 Rt△。 二、三角形中的求角或求边长问题 例 2、△ABC 中,已知:AB=2,BC=1,CA= ,分别在边 AB、BC、CA 上取点 D、E、F, 使△DEF 是等边三角形(如图 1)。设∠FEC=α ,问 sinα 为何值时,△DEF 的边长最短?并 求出最短边的长。 图 1 分析:要求最短边的长,需建立边长关于角α 的目标函数。 解:设△DEF 的边长为 x,显然∠C=90°,∠B=60°,故 EC=x·cosα 。因为∠DEC=∠DEF+ α =∠EDB+∠B,所以∠EDB=α 。在△BDE 中,由正弦定理得 所以 ,因为 BE+EC=BC,所以 , , 所以 当 , 。 注:在三角形中,已知两角一边求其它边,自然应联想到正弦定理。 例 2 在△ABC 中,已知 sinB= 解:由 cosA= 3 5 , cosA= , 试求 cosC 的值。 5 13 5 12 ,得 sinA= , 13 13 ∵ sinB<sinA, ∴ B 中能是锐角 ∴ cosB= 4 , 5 16 . 65 又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB – cosAcosB= 例 3 (98 年高考题)已知△ABC 中, a、b、c 为角 A、B、C 的对边,且 a + c=2b, A – B=60 , 求 sinB 的值. 解:由 a + c=2b, 得 sinA + sinC=2sinB o A?C A?C cos =2sinB 2 2 A?C B o 由 A + B + C=180 得 sin =cos . 2 2 即 2sin 又 A – C= 60

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