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(文章)等比数列前n项和公式的推导


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等比数列前 n 项和公式的推导
设数列{an}是等比数列,首项为 a1,公比为 q,前 n 项的和为 Sn. 当 q=1 时,Sn=na1. 下面只要讨论 q≠1 的情况. 2 n-1 方法 1:Sn=a1 + a1q + a1q +?+ a1q

qSn=a1q + a1q2+?+ a1qn-1+ a1qn n (1-q)Sn=a1-a1q (错位相减)

a1(1-qn) ∵q≠1,∴ Sn= . 1-q
等比数列的特征是它的每一项乘以公比 q 后,就”变成了”它的后一项,这就 为”错位相减”后,项数由多变少提供了可能. 方法 2:Sn= a1+ a2+?+ an 2 n-1 n = a1 + a1q + a1q +?+ a1q + a1q (等比数列定义) 2 n-2 = a1+q ( a1 + a1q + a1q +?+ a1q ) = a1+ q Sn-1 n-1 = a1+ q ( Sn-a1q ) n = a1+ qSn-a1q (方程思想 ) n ∴(1-q)Sn = a1(1-q ),∵q≠1,

a1(1-qn) ∴Sn= . 1-q
方法 3:Sn= a1+ a2+?+ an= a1+ a1 q + a2q +?+ an-1 q = a1+ q ( a1+ a2+?+ an-1) = a1+ q (Sn-an) = a1+ q Sn-an q ∴(1-q)Sn = a1-an q ,∵q≠1, ∴Sn= (等比数列定义)

a1-an q a1(1-qn) = 1-q 1-q a2 a3 an = =?= (等比数列定义) a1 a2 an-1

方法 4:q = =

a2+a3+?+an Sn-a1 = (比例的性质) a1+a2+?+an-1 Sn-an a1-an q a1(1-qn) = . 1-q 1-q

∴q(Sn-an) = Sn-a1,(1-q) Sn=a1-an q ∵q≠1∴Sn=

方法 5: a2= a1q a3=a2q a4=a3q ?? an=an-1q 即 Sn-a1= q(Sn-an) , ∴(1-q) Sn=a1-an q ∵q≠1, ∴ Sn=

?

a2+a3+?+an= q ( a1+ a2+?+ an-1)

a1-an q a1(1-qn) = (累加法) 1-q 1-q

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等比数列求和公式的推导过程中,学生紧扣定义,探索如何将数列前 n 项的和 Sn 用 a1、q、n 来表示,如何用一个较简单的式子来表示随 n 而变化的“多项”的和.教师 及时点拨、启发,学生争论、探索,并比较不同方法间的内在联系,抓住本质,既学到了具 体的计算方法,又领悟到数学思想,有利于数学素质的提高.

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