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高中数学第一章坐标系二极坐标系教学案新人教A版选修4 4(数学教案)


二 极_坐_标_系 [对应学生用书P4] 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立:在平面内取一个定点 O,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox,叫 做极轴; 再选定一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 长度, 用 θ 表示射线 Ox 到 OM 的角度,ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角,有序数对(ρ , θ )就叫做点 M 的极坐标,记作 M(ρ ,θ ). (3)极坐标与直角坐标的区别与联系 直角坐标 区别 点与直角坐标是“一对一” 的关系 极坐标 由于终边相同的角有无数个, 即点的极角不惟一. 因 此点与极坐标是“一对多”的关系 联系 直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的,它们都是一对有序的实 数 2.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件:①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与 x 轴 的正半轴重合;③两种坐标系取相同的长度单位. ?x=ρ cos θ , ? (2)互化公式? ?y=ρ sin θ ; ? ρ =x +y , ? ? ,? y tan θ = x ? x ? 2 2 2 . [对应学生用书P4] 点的极坐标 1 [例 1] 已知点 Q(ρ ,θ ),分别按下列条件求出点 P 的极坐标. (1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点; π (2)点 P 是点 Q 关于直线 θ = 的对称点. 2 [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量, 为此应明确它们的 含义. [解] (1)由于 P, Q 关于极点对称, 得极径|OP|=|OQ|, 极角相差(2k+1)π (k∈Z). 所 以,点 P 的极坐标为(ρ ,(2k+1)π +θ )或(-ρ ,2kπ +θ )(k∈Z). π (2)由 P、Q 关于直线 θ = 对称, 2 得它们的极径|OP|=|OQ|, 点 P 的极角 θ ′满足 θ ′=π -θ +2kπ (k∈Z), 所以点 P 的坐标为 (ρ ,(2k+1)π -θ )或(-ρ ,2kπ -θ )(k∈Z). 设点 M 的极坐标是(ρ ,θ ),则 M 点关于极点的对称点的极坐标是(-ρ ,θ )或(ρ , θ +π );M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ ,-θ );M 点关于过极点且垂直于极轴的直 线的对称点的极坐标是(ρ ,π -θ )或(-ρ ,-θ ). 另外要注意,平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的. π? ? π ? ? 3π ? ? 1.在极坐标系中,画出点 A?1, ?,B?2, ?,C?3,- ?. 4? ? 2 ? 4? ? ? 解:如图所示. π ? π? 2.在极坐标系中,点 A 的极坐标是?3, ?,求点 A 关于直线 θ = 的对称点的极坐 6 2 ? ? 标(规定 ρ >0,θ ∈[0,2π ]). 2 解:作出图形,可知 A(3, π π ? 5π ? )关于直线 θ = 的对称点是?3, ?. 6 ? 6 2 ? 点的极坐标与直角坐标的互化 ? 7π ? [例 2] (1)把点 A 的极坐标?2, ?化成直角坐标; 6 ? ? (2)把点 P 的直角坐标(1,- 3)化成极坐标.(ρ >0,0≤θ <2π ). [思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题. 7π [解] (1)x=2cos =- 3,


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