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【全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学 第五章 第四节 数列求和课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第五章 第四节 数列求和课时 提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 * 1.已知数列{an},若点(n,an)(n∈N )在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列{an}的前 9 项和 S9=( (A)9 (B)10 (C)18 (D)27 2.(2013·菏泽模拟)数列{an}的通项公式 an= (A)11 (B)99 (C)120 )

1 n ? n ?1
(D)121

, 若前 n 项的和为 10,则项数 n 为( )

3.在等差数列{an}中,a9= (A)24

1 a12 ? 6 ,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于( 2
(C)66 (D)132

)

(B)48

4.(2013·临沂模拟)若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn=

1 1 ? ??+ a1a 2 a 2 a 3

1 的结果可化为( ) a n a n ?1
(A) 1 ? (C)

1 4n

(B) 1 ? (D)

1 2n

2 1 (1 ? n ) 3 4

2 1 (1 ? n ) 3 2

5.(2013·太原模拟)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则

a1 ? a 3 ? a 9 =( a 2 ? a 4 ? a10

)

(A)

9 14

(B)

11 15

(C)

13 16

(D)

15 17
*

6.设等比数列{an}的各项均为正数,公比为 q,前 n 项和为 Sn.若对? n∈N ,有 S2n<3Sn,则 q 的取值范围 是( ) (A)(0,1] (B)(0,2) (C)[1,2) (D)(0, 2 ) )

7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1- a 2 m =0,S2m-1=38,则 m=( (A)38 (B)20 (C)10
n

(D)9 )

2 2 2 8.(能力挑战题)数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1 ? a2 2 ? a 3 ? …+ a n 等于(

(A)(2 -1) (C)4 -1
n

n

2

1 n 2 3 1 n (D) (4 ? 1) 3
(B) (2 ? 1)

二、填空题 9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3=20-a6,则 S8 等于_________. n-1 10.数列{1+2 }的前 n 项和为__________.
-1-

11.(2013· 芜湖模拟)已知数列{an}中, a1=1,a2=2, 当整数 n>1 时, Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立, 则 S5=_________. 12.(2013·哈尔滨模拟)在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值 * (n∈N ),且 a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前 100 项的和 S100=________. 三、解答题 * 13.已知数列{log2(an-1)}(n∈N )为等差数列,且 a1=3,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式. (2)求和: Sn ?

1 1 1 . ? ?…? a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n ?1 ? a n

14.(能力挑战题)等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设数列{bn}满足 b n ?

3 * 其前 n 项和为 Tn,求证: Tn ? (n∈N ). , 4 Sn ?1 ? 1

1

15.(2013·湖州模拟)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13. (1)求{an},{bn}的通项公式. (2)求数列{

an }的前 n 项和 Sn. bn

答案解析 1.【思路点拨】(n,an)在直线上说明数列{an}为等差数列. * 【解析】选 D.点(n,an)(n∈N )在经过点(5,3)的定直线 l 上,a5=3,根据等差数列性质得:S9=9a5=27. 2.【解析】选 C.∵ a n ?

1 n ? n ?1

? n ?1 ? n ,

∴ Sn ? n ? 1 ?1 ? 10, ∴n=120. 3.【解析】选 D.设公差为 d,则 a1 ? 8d ? 所以 S11=11a6=132. 4.【解析】选 C.an=2 ,设 bn=
n-1

1 11 a1 ? d ? 6 ,即 a1+5d=12,即 a6=12, 2 2

1 1 ? ( )2n ?1 , a n a n ?1 2

则 Tn=b1+b2+…+bn=

1 1 3 1 ? ( ) ??? ( ) 2n ?1 2 2 2

1 1 (1 ? n ) 4 ? 2 (1 ? 1 ). ?2 1 3 4n 1? 4
5. 【解析】选 C.等差数列 {an}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d, 因为 a1,a3,a9 恰好构成某等比数列,所以有
-2-

2 a3 ? a1a 9 ,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得 d=a1,所以该等差数列的通项为 an=nd.则

13 a1 ? a 3 ? a 9 的值为 . 16 a 2 ? a 4 ? a10

a1 (1 ? q 2n ) 3a1 (1 ? q n ) 6.【解析】选 A.若 q=1,则 S2n=2na1<3na1=3Sn,所以 q=1 符合要求;当 q≠1 时, ? , 1? q 1? q
若 q>1,则可得 q -3q +2<0,即(q -1)(q -2)<0,即 1<q <2,而 q>1 不可能对任意 n 值都有 q <2,所以 q>1 n n n n 不符合要求;当 0<q<1 时,可得(q -1)(q -2)>0,即 q <1,由于 0<q<1,所以对任意 n 值都有 q <1,所以 q<1 符合要求.综合可得 q 的取值范围是(0,1].
2 7. 【解析】 选 C.因为{an}是等差数列, 所以 am-1+am+1=2am, 由 am-1+am+1- a 2 得 2a m ? a m 所以 am=2(am=0 ?0, m =0,
2n n n n n n

舍),又 S2m-1=38,即

(2m ? 1)(a1 ? a 2m ?1 ) =38,即(2m-1)×2=38,解得 m=10,故选 C. 2
n-1 0 n-1 * 2

2 8.【解析】选 D.an=Sn-Sn-1=2 (n>1),又 a1=S1=1=2 ,适合上式,∴an=2 (n∈N ),∴{ a 2 n }是 a1 =1,q=2

的等比数列,由求和公式 a ? a ? a ? …? a
2 1 2 2 2 3

2 n=

1? (1 ? 4n ) 1 n ? (4 ? 1). 1? 4 3

9.【解析】因为 a3=20-a6,所以 S8=4(a3+a6)=4×20=80. 答案:80 10.【解析】前 n 项和 Sn=1+2 +1+2 +1+2 +…+1+2 = n ?
0 1 2 n-1 n

1 ? 2n n =n+2 -1. 1? 2

答案:n+2 -1 11.【解析】由 Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1), 得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2, 即 an+1-an=2(n≥2),数列{an}从第二项起构成等差数列,则 S5=1+2+4+6+8=21. 答案:21 12.【解析】设定值为 M,则 an+an+1+an+2=M,进而 an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得 an+3=an,即数列{an}是以 3 为周期的数列.由 a7=2,可知 a1=a4=a7=…=a100=2,共 34 项,其和为 68;由 a9=3,可得 a3=a6=…=a99=3,共 33 项,其和为 99;由 a98=4,可得 a2=a5=…=a98=4,共 33 项,其和为 132.故数列{an}的前 100 项的和 S100=68+99+132=299. 答案:299 13.【解析】(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d. 由 a1=3,a3=9 得 2(log22+d)=log22+log28, 即 d=1. n 所以 log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即 an=2 +1. (2)因为

1 1 1 ? n ?1 n ? n , a n ?1 ? a n 2 ? 2 2
1 1 1 1 1 1 1 = 1 ? 2 ? 3 ?…? n ? ?…? 2 a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n ?1 ? a n 2 2 2

所以 Sn ?

-3-

1 1 1 ? n? 2 2 2 ? 1? 1 . = 1 2n 1? 2
14.【解析】(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11, 2a3=a2+a6-4, 即 2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4,得 d=2, 则 a1=1,故 an=2n-1. (2)由(1)得 Sn=n ,∴ bn ?
2

1 Sn ?1 ? 1

?

1 (n ? 1)2 ? 1

=

1 1 ? n ? 2n n ? n ? 2 ?
2

1 1 1 ( ? ), 2 n n?2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ( ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ) 2 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 n n ? 2 1 1 1 1 1 3 ? ) ? (n ? N* ) . = ( ? ? 2 1 2 n ?1 n ? 2 4
= 【方法技巧】裂项相消法的应用技巧 裂项相消法的基本思想是把数列的通项 an 分拆成 an=bn+1-bn 或者 an=bn-bn+1 或者 an=bn+2-bn 等,从而达到在求 和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据这个基本思想变换数列 an 的通项公式,使之符合裂项相消的条 件.在裂项时一定要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的 两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求和的目的. 15.【解析】(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且 ? 所以 an=1+(n-1)d=2n-1,bn=q =2 . (2)
n-1 n-1

4 ? ?d ? 2, ?1 ? 2d ? q ? 21, 解得 ? 2 ? ?q ? 2. ?1 ? 4d ? q ? 13,

a n 2n ? 1 ? n ?1 , bn 2
① ②

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? … ? n ?2 ? n ?1 , 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn= 2 ? 3 ? ? … ? n ?3 ? n ? 2 . 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①,得 Sn= 2 ? 2 ? ? 2 ? … ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 1 1 1 2n ? 1 =2+2× (1 ? ? 2 ? … ? n ? 2 ) ? n ?1 , 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2 ? 2n ? 1 ? 6 ? 2n ? 3 . = 2 ? 2? 1 2n ?1 2n ?1 1? 2 Sn ? 1 ?

【变式备选】(2012·石家庄模拟)已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等
-4-

比中项. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N ),且 b1=3,求数列{ 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 则?
*

1 }的前 n 项和 Tn. bn

? ?6a1 ? 15d ? 60, 2 ? ?a1 ? a1 ? 20d ? ? ? a1 ? 5d ? ,
?d ? 2, ∴an=2n+3. ?a1 ? 5,

解得 ?

(2)由 bn+1-bn=an, * ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N ), bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+2), 当 n=1 时,b1=3 也适合上式, * ∴bn=n(n+2)(n∈N ). ∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), bn n ? n ? 2 ? 2 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? … ? ? ) 2 3 2 4 n n?2

Tn=

1 3 1 1 3n 2 ? 5n = ( ? . ? )? 2 2 n ? 1 n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2)

-5-



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