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2016届新课标2高三考前适应性训练数学(理)试题 Word版含答案


2016 届高三考前适应性训练试题
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
x 1、若全集 U=R,集合 A ? x 1 ? 2 ? 4 , B ? x x ? 1 ? 0 ,则 A I ?U B = (C)

?

?

?

>
?

(A) x 1 ? x ? 2

?

?

(B) x 0 ? x ? 1

?

?

(C) x 0 ? x ? 1

?

?

(D) x 1 ? x ? 2

?

?

ix 2、欧拉公式 e ? cos x ? i sin x ( i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指

数函数的定义域扩大到复数, 建立了三角函数和指数函数的关系, 它在复变函数论里占有非 常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知, e 表示的复数在复平面中位 于( B ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2i

3. 已知 a , b 都是实数,那么“ a ? b ”是“ ln a ? ln b ”的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 4、 下列命题中: ①命题“若 x ? 5 x ? 6 ? 0 , 则 x ? 2 或 x ? 3 ”的逆否命题为“若 x ? 2 或

x ? 3 ,则 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”.②命题 p: “存在 x0 ?R,使得 log 2 x0 ? 0”的否定是“任
意 x ? R ,使得 log2 x >0” ;③回归直线方程一定过样本中心点( x, y ) .其中真命题的个 数为( C )A.0 B.1 C.2 D.3 5、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣 合(牟合)在一起的方形伞(方盖). 其直观图如下左图, 图中四边形是为体现其直观性所作的 辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( B )

A

B

C

D

6 、定义行列式运算

a1 b1

a2 b2

? a1b2 ? a2 b1 ,将函数 f ( x ) ?

3 1

sin x 的图象向左平移 cos x

t (t ? 0) 个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 t 的最小值为(C)
(A)

? 6

(B)

? 3

(C)

5? 6

(D)

2? 3

7、设等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 7 , a4 ? 3 , S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则使得 S n ? 0 最大 的自然数 n 是( A )
1

A.9

B. 10

C. 11

D. 12

8、定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 s 值,则 ? 2cos 值为(A) A.4

? ?

5? ? ? 5? ? ? ? ? 2 tan ? 的 3 ? ? 4 ?

B.3

C.2

D.―1 ,

在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 9、 ,则 A=( A. B. D ) C. D.

已知 F1 , F2 分别为双曲线 ? ? 1 的上下焦点,动点 P 在双曲线 10、 9 7

y2

x2

PF2 的上支,则 最小值为 (D) PF1
A.12 B. 18 C.20 D. 24 11、若一个四棱锥底面为正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心,且该四棱锥的体积为 9,当其外接球表面积最小时,它的高为( D ) A. 3 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3

2

12、已知函数 f ( x ) ? a( x ?

1 a ) ? 2 ln x( a ? R ) , g( x ) = ? ,若至少存在一个 x x

x0 ∈[1,e],使 f ( x0 ) ? g( x0 ) 成立,则实数 a 的范围为 (D)
A.[1,+∞) B. (1,+∞) C.[0,+∞) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13、已知向量 a , b 满足 | b |? 4 , a 在 b 方向上的投影是
n

D.(0,+∞)

1 b= ,则 a ? 2
3

2



14、已知 ( x ? 2 y) (x ? y) 的展开式系数和为 162,则 ( x ?

1 n ) 展开式中常数项为 x

-4

2 15、记由曲线 y ? x ( x ? 0) 与 y 轴和直线 x ? y ? 2 ? 0 围成的封闭区域为 D ,现在往由不等

? x?0 ? 式组 ? 表示平面的区域内随机地抛掷一粒小颗粒,则该颗粒落到区域 D 中的概 y?0 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
率为 .

7 12

16、将 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就读,每所大学
2

至少保送 1 人,则不同的保送方法共有 (17) (本小题满分 12 分)

150 种

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 已知 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,且 a3 ? 1 是 a1 ? 1 与 a7 ? 1 的等比中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? a2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 解(Ⅰ) ? a3 ? 1? ? ? a1 ? 1?? a7 ? 1? ,又 d=2,得 a1 =3,………………………2 分
2

? an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ? 1 ,? ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1……5 分
(Ⅱ) bn ? a2n ? 2 ? 2 ? 1 ? 2
n n ?1

? 1 ………………………………………………6分

Sn = 22 ? 1 ? 23 ? 1 ? ?? ? 2n?1 ? 1 ? 22 ? 23 ? ?? ? 2n?1 ? n …………8 分
? 4(1 ? 2n ) ? n ? 2n ? 2 ? n ? 4 ……………………………………………11 分 1? 2

? 数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? 2n?2 ? n ? 4 …………………………………12分
(18)( 本小题满分 12 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C 中 , 侧 棱 AA1 ? 底 面 ABC , AB ? AC ? 2 AA 1 ,

?BAC ? 120? , 过线段 AD 的中点 P 作 BC 的平行线, D, D1 分别是线段 BC, B1C1 的中点,
分别交 AB , AC 于点 M , N . (Ⅰ)证明: MN ? 平面 ADD1 A 1; (Ⅱ)求二面角 A ? A 1M ? N 的余弦值. C1 C N A D1 (Ⅰ)证明:因为 AB ? AC , D 是 BC 的中点,所以, BC ? AD . 因为 M , N 分别为 AB , AC 的中点,所以 MN ? BC . 所以 MN ? AD . 因为 AA 1 ? 平面 ABC , MN ? 平面 ABC ,所以 AA 1 ? MN . A1 B1 P D M B

AD 与 AA1 相交, 又因为 AD, AA1 在平面 ADD1 A 1 内,且
所以 MN ? 平面 ADD1 A 1. (Ⅱ)解法一:连接 A 1P ,过 A 作 AE ? A 1P 于 E ,

C N A E P F D M D1 B

3

C1

过 E 作 EF ? A1M 于 F ,连接 AF . 由(Ⅰ)知, MN ? 平面 AEA1 , 所以平面 AEA1 ? 平面 A1MN . 所以 AE ? 平面 A1MN ,则 A1M ? AE . 所以 A1M ? 平面 AEF ,则 A1M ? AF .

? 故 ?AFE 为二面角 A ? A 1M ? N 的平面角(设为 ).


AA1 ? 1

,





A ?B

? 2A

1

C ,

? BACA ? 120? A

,



?BAD ? 60? , AB ? 2, AD ? 1 .
又 P 为 AD 的中点,则 M 为 AB 的中点,所以 AP ? 在 Rt? AA 1P ? 1P , A

1 , AM ? 1 . 2

5 ,在 Rt? A1 AM 中, A 1M ? 2 . 2

从而 AE ?

AA1 ?AP AA1 ?AM 5 2 , AF ? . ? ? A1P 5 A1M 2
AE 10 ? . AF 5
2

所以 sin ? ?

因为 ?AFE 为锐角,

? 10 ? 15 所以 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? . ? 5 ? ? ? 5 ? ?
故二面角 A ? A 1M ? N 的余弦值为

15 . 5

解 法 二 : 设 AA1 ? 1 . 如 图 , 过 A1 作 A 1E 平 行 于 B 1C1 , 以 A 1 为坐标原点,分别以

???? ????? ???? A1E, A1D1 , A1 A 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O ? xyz (点
O 与点 A1 重合).
则A 1 ? 0,0,0? , A ? 0,0,1? . C1 因为 P 为 AD 的中点,所以 M , N 分别为 AB, AC 的中点, A1
4

C N

z P A D1 B1 x D M y B

故M ?

? 3 1 ? ? 3 1 ? ? 2 , 2 ,1? ?, N ? ? ? , ,1? ?, ? ? ? 2 2 ?

所以 A1M ? ?

?????

???? ? ? 3 1 ? ???? , ,1 , A1 A ? ? 0,0,1? , NM ? ? ? 2 2 ? ? ?

?

3,0,0 .

?

设平面 AA1M 的法向量为 n1 ? ? x1, y1, z1 ? ,

? ????? ? ????? ? 3 1 ? ? ? n ? A M , n ? A M ? 0, ?? x1 , y1 , z1 ? ? ? ? 1 ? 1 1 1 ? 2 , 2 ,1? ? ? 0, 则? 故有 ? ???? ? 即? ???? ? ? ? ? ? ? n1 ? A1 A, ? n1 ? A1 A ? 0, ? ? x1 , y1 , z1 ? ? ? 0, 0,1? ? 0.

? 3 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0, ? 从而 ? 2 取 x1 ? 1 ,则 y1 ? ? 3 , 2 ? z1 ? 0. ?
所以 n1 ? 1, ? 3, 0 是平面 AA1M 的一个法向量. 设平面 A1MN 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,

?

?

? ? 3 1 ? ????? ? ????? x , y , z ? ? ? ? ? ? ? 2 , 2 ,1? ? ? 0, ?n2 ? A1M , ?n2 ? A1M ? 0, ? 2 2 2 ? 则? 故有 ? ? ? ????? ? 即? ???? ? n ? NM , n ? NM ? 0, ? ? ? ? 2 ? 2 x , y , z ? 3, 0, 0 ? 0. ? ? ? 2 2 2?

?

?

? 3 1 x2 ? y2 ? z2 ? 0, ? 从而 ? 2 取 y2 ? 2 ,则 z2 ? ?1, 2 ? 3 x2 ? 0. ?
所以 n2 ? ? 0, 2, ?1? 是平面 A1MN 的一个法向量.

? ? 设二面角 A ? A 1M ? N 的平面角为 ,又 为锐角,
则 cos ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

?1, ?

3, 0 ? ? 0, 2, ?1? 2? 5

?

?

15 . 5
15 . 5

故二面角 A ? A 1M ? N 的余弦值为

(19) (本小题满分 12 分)
5

国家“十三五”计划,提出创新兴国,实现中国创新,某市教育局为了提高学生的创新能力 把行动落到实处,举办一次物理、化学综合创新技能大赛,某校对其甲、乙、丙、丁四位 学生的物理成绩( x )和化学成绩( y )进行回归分析,求得回归直线方程为

y ? 1.5 x ? 35 .由于某种原因,成绩表(如下表所示)中缺失了乙的物理和化学成绩.

甲 物理成绩(x) 化学成绩(y) 综合素质 (x? y) 155 75 80

乙 m n 160

丙 80 85 165

丁 85 95 180

(1)请设法还原乙的物理成绩 m 和化学成绩 n ; (2)在全市物理、化学科技创新比赛中,由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参 赛.共举行 3 场比赛,每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛,每场比赛所 抽的选手中,只要有一名选手的综合素质分高于 160 分,就能为所在学校赢得一枚荣誉奖 章.若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为 ? ,试根据上表所提供数据,预测该校所获奖章数 ? 的分布列与数学期望.

2 C2 5 5 (2)在每场比赛中,获得一枚荣誉奖章的概率 p ? 1 ? 2 ? ,则 ? ~ B (3, ) ,所以 6 C4 6

1 1 1 2 5 1 5 P(? ? 0) ? C30 ( )3 ? , P(? ? 1) ? C3 ? ? ( ) ? , 6 216 6 6 72 5 3 125 5 1 25 3 P(? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? , P (? ? 3) ? C3 ? ( ) ? .………………8 分 6 216 6 6 72
所以预测 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 216

5 72
6

25 72

125 216

故预测 E? ? 3 ?

5 5 ? .………………12 分 6 2

(20) (本小题满分 12 分) 如图所示,点 N 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 8 上,点 D 是 N 在 x 轴上投影, M 为 DN 上一点,且

???? ???? ? 满足 DN ? 2 DM .
(Ⅰ)当点 N 在圆 O 上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程. (Ⅱ)过 F (2, 0) 不与坐标轴垂直的直线交曲线 C 于 P, Q 两点, 线段 PQ 的垂直平分线交 x 轴于点 E , 试判断

EF PQ

是否为定值?

若是定值,求此定值;若不是定值,请说明理由.

解:(Ⅰ)设 M ( x , y ) 、 N ( x0 , y0 ) ,由于 DN ? 所以 ?

????

???? ? 2 DM 和 ND ? x 轴,

? ? x ? x0 ? ? y0 ? 2 y

代入圆方程得:

x2 y 2 ? ?1 8 4

所以,曲线 C 的轨迹方程为 (Ⅱ)

x2 y 2 ? ?1 8 4

EF PQ

是定值,值为

2 。理由如下: 4
交曲线 C:

由题设直线 x ? my ? 2

x2 y 2 ? ? 1 于 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,所以: 8 4 ?4 m ? y1 ? y2 ? 2 ? ? x ? my ? 2 ? m ?2 2 2 得 ? m ? 2 ? y ? 4my ? 4 ? 0 ,则 ? , ? 2 2 ?x ? 2 y ? 8 ? 0 ? y ? y ? ?4 1 2 ? m2 ? 2 ?

? m ? 0?

PQ ? 1 ? m

2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ? 1 ? m

2

16 ? ?4m ? 4 2 m2 ? 1 ? ? 2 ? 2 ?m ?2? m ?2 ? m2 ? 2

2

?

?

又弦 PQ 的中点为 ?

?2m ? ? 4 , 2 ? , 2 ?m ?2 m ?2?

所以直线 x ? my ? 2

? m ? 0? 的垂直平分线为 y ?

2 令 y ? 0, 得 x ? 2 m ?2

2 ? m2 ? 1? 2 所以 FE ? 2 ? 2 ? m ?2 m2 ? 2
7

?2m 4 ? ? ? ?m ? x ? 2 ? 2 m ?2 m ?2? ?



EF PQ

?

2 得证. 4
1 2

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? 2 x . (Ⅰ)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围 (Ⅱ)当 a ? ? 时,关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在 [1, 4] 上恰有两个不相等的实数根, 求实数 b 的取值范围. 解: (Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ? ? ) ,依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立, 即 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立. 则a?

1 2

1 2

1 ? 2x 1 ? ( ? 1)2 ? 1在 x ? 0 时恒成立, x2 x
∴ a 的取值范围是 (??, ? 1] .

即 a ? ?1 .

(Ⅱ) a ? ? , f ( x) ? ? x ? b 即

1 1 1 2 3 x ? x ? ln x ? b ? 0 . 2 2 4 2 1 3 ( x ? 2)( x ? 1) 设 g ( x) ? x2 ? x ? ln x ? b ( x ? 0) .则 g ?( x) ? . 4 2 2x
列表:

x
g ?( x)

(0,1)
+

1 0

(1, 2)
-

2 0

(2, 4)
+

4

g ( x)



极大值 ?b ?

5 4



极小值 ln 2 ? b ? 2

2ln 2 ? b ? 2



∵ 方程 g ( x) ? 0 在 [1, 4] 上恰有两个不相等的实数根.

? g (1) ? 0 5 ? 则 ? g (2) ? 0 ? ln 2 ? 2 ? b ? ? . 4 ? g (4) ? 0 ?

∴ b 的取值范围为 (ln 2 ? 2, ? ] .

5 4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答 时请写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,BC 是圆 O 的直径,点 F 在弧 BC 上,点 A 为弧 BF 的中点, 作 AD ? BC 于点 D ,BF 与 AD 交于点 E ,BF 与 AC 交于点 G .
8

第 22 题图

(Ⅰ)证明: AE ? BE ;

(Ⅱ)若 AG ? 9, GC ? 7 ,求圆 O 的半径.

? 的中点, 证明: (1)连接 AB ,因为点 A 为 BF

? ?? 故 BA AF ,??ABF ? ?ACB
又因为 AD ? BC , BC 是 ? O 的直径,

?????2 分 ?????4 分

??BAD ? ?ACB

?? A B F ? ?B A D
?????5 分

? AE ? BE

2 (2)由 ?ABG ? ?ACB 知 AB ? AG ? AC ? 9 ?16

AB ? 12
直角 ?ABC 中由勾股定理知 BC ? 20 圆的半径为 10

?????8 分 ?????9 分 ?????10 分

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 ? sin ? ? ? cos ? ? 10 , 将曲线 C1 : ?

? x ? cos? ( ? 为参 ? y ? sin?

数)经过伸缩变换 ?

? x? ? 3 x 后得到曲线 C 2 . ? y? ? 2 y
(Ⅱ)若点 M 在曲线 C 2 上运动,试求点 M 到曲线 C 的距离的

(Ⅰ)求曲线 C 2 的参数方程; 最小值.

(1)曲线 C1 的普通方程是:

x2 y2 ? ?1 9 4

?????4 分 ?????5 分

(2)曲线 C 的普通方程是: x ? 2 y ? 10 ? 0

设点 M (3cos ? , 2sin ? ) ,由点到直线的距离公式得:

d?

3cos ? ? 4sin ? ? 10 5

?

3 4 1 5cos(? ? ? ) ? 10 其中 cos ? ? ,sin ? ? ???9 分 5 5 5

9

9 8 ?? ? ? ? 0 时, dmin ? 5 ,此时 M ( , ) 5 5
(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

???10 分

已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ?| x ? m | ? | x | , m ? N* ,存在实数 x 使 f ( x) ? 2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 ? , ? ? 1 , f (? ) ? f ( ? ) ? 4 ,求证: 解: (Ⅰ)因为 | x ? m | ? | x |? ( x ? m) ? x ? m . 要使不等式 | x ? m | ? | x |? 2 有解,则 | m |? 2 ,解得 ?2 ? m ? 2 . 因为 m ? N* ,所以 m ? 1 . (Ⅱ)因为 ? , ? ? 1 , 所以 f (? ) ? f ( ? ) ? 2? ? 1 ? 2? ? 1 ? 4 ,即 ? ? ? ? 3 .

4 1 ? ? 3. ? ?

所以

4

?

?

1? 4 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3?? ? ? 1
4? ? ? 1 ? 4? ? ? 1 ? 5 ? 2 . ? ? 3. ? ?5 ? ? ?? ? ? ?? 3? ? ? ? 3? ? ?

(当且仅当

4?

?

?

? 时,即 ? ? 2 , ? ? 1 等号成立) ?



4

?

?

1

?

? 3.

10


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