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江苏省淮阴中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.三角形的三个内角的度数之比为 1:2:3,其最小内角的弧度数为
a 2.集合 A ? 3, 2 , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ?2? ,则 a+b=

. .

?

?

3.函数 y ?

x ? 2

? lg ? 4 ? x ? 的定义域为

. 个

4.从集合 A 到集合 B 的映射 f : x ? x2 ? 1 ,若 A={-2,-1,0,1,2},则 B 中至少有 元素; 5.角β 的终边和角 α =-1035°的终边相同,则 cosβ = 6.扇形的半径为 2,圆心角为
x

. . .

? ,则此扇形的面积为 3

7.设 x0 是函数 f ? x ? ? 2 ? x 的零点,且 x0 ? ? k , k ?1? , k ? Z ,则 k= 8.如图,点 P 从(1,0)出发,沿单位圆按顺时针方向运动 为 .

? 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标 3

9.函数 f ? x ? ?

? x ? 1?? 3 ? x ? 的单调减区间是

.

2 10.已知关于 x 的 x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 的两个实数根是α ,β ,且有 1<α <2<β <3,则实数 a

的取值范围是

.
1
?2

11.下列幂函数中:① y ? x 2 ;② y ? x ;③ y ? x 3 ;④ y ? x 3 ;其中既是偶函数,又在 区间 ? 0, ??? 上单调递增的函数是 .(填相应函数的序号).
x

4

1

12. 已知函数 y ? loga ? x ?1?? a ? 0, a ? 1? 的图象过定点 A, 若点 A 也在函数 f ? x ? ? 2 ? b 的

图象上,则 f ? log2 3? =

.

13.已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时, f ? x ? ? x ? 2 ,那么不等式

2 f ? x ? ?1 ? 0 的解集是
14. 已知函数 f ? x ? ? ? 取值范围是

.

?| log 3 x |, 0 ? x ? 3 c , 若 a<b<c 且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? , 则 ? ab ? 2 ? 的 ? ? x ? 4, x ? 3
.

二、解答题(共 90 分) 15.(本小题满分 14 分)已知 tanα 是关于 x 的方程 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的一个实根,且 α 是第三 象限角. (1)求

2sin ? ? cos ? 的值;(2)求 cos ? ? sin ? 的值. sin ? ? cos ?

2 16.(本小题满分 14 分)设集合 U=R, A ? ? x || x ? 1|? 1? , B ? x | x ? x ? 2 ? 0 ;

?

?

(1)求: A ? B , ? CU A? ? B ; (2)设集合 C ? ?x | 2 ? a ? x ? a? ,若 C ? ? A ? B ? ,求 a 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分)计算题

(1)求值: 27 3 ?

2

?

3

?125

?

2

1 ? 2log2 3 ? log 2 ? log 2 3 ? log 3 4 8
② log 5 ? x ? 1? ?

(2)求不等式的解集:① 33? x ? 2

1 2

18.(本小题满分 16 分)某投资公司计划投资 A,B 两种金融产品,根据市场调查与预测,A 产 品的利润与投资量成正比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其 关系如图 2, (注:利润与投资量单位:万元)(1)分别将 A,B 两产品的利润表示为投资量的 函数关系式;(2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

19.(本小题满分 16 分)已知 f ? x ? ?

2 ? m ,m 是是实常数, 3 ?1
x

(1)当 m=1 时,写出函数 f ? x ? 的值域; (2)当 m=0 时,判断函数 f ? x ? 的奇偶性,并给出证明; (3)若 f ? x ? 是奇函数,不等式 f

? f ? x?? ? f ? a ? ? 0 有解,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分)已知函数 g ? x ? ? ax ? 2ax ?1 ? b ? a ? 0? 的定义域为,值域为;设
2

f ? x? ?

g ? x? .(1)求 a,b 的值; x

x x (2)若不等式 f 2 ? k ? 2 ? 0 在 x ?? ?1,1? 上恒成立,求实数 k 的取值范围;

? ?

(3)若 f | 2 ? 1| ? k ?
x

?

?

2 ? 3k ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. | 2 ? 1|
x

高一数学参考答案: 一. 1. 填空题: (每题 5 分) 2. 3 3. [-2,4) 4. 3 5.

? 6

2 2
11.③

6.

2? 3

7. -1

8. ? ?

?1 ?2

,?

3? ? 2 ? ?

9.(2,3)

10. ? 2,

? 11 ? ? ? 5?

12. -1 二.解答题:

13. ? ??, ?

? ?

3? 5 ? ? [0, ) 2? 2

14.(27,81)

2 15.解:∵ 2 x ? x ? 1 ? 0 ,∴ x1 ? ? , x2 ? 1 ,∴ tan ? ? ?

1 2

1 或 tan ? ? 1 ,又 α 是第三象 2

限角,………………………………………………………………………………………4 分

(1)

2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 2 ?1 ? 1 1 ? ? ? .…………………………………………9 分 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 1?1 2

? sin ? ? ?sin ? ? ? ?1 ? tan ? ? ? cos ? (2)∵ ? 且 α 是第三象限角,∴ ? ?cos ? ? ? ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? ? ?

2 2 ,∴ 2 2

sin ? ? cos ? ? ? 2 ………………………………………………………………………14 分
16.解: A ? ?x | ?1 ? x ?1 ? 1 ? ? ?0,2? , B ? ?x | ?2 ? x ? 1? ? ? ?2,1? …………………2 分

A ? B ? ? 0,1? , CU A ? (??,0] ? [2, ??) , ?CU A? ? B ? (??,1] ?[2, ??) ……………8 分
(2) A ? B ? ? ?2,2? ,………………………………………………………………………9 分 i) C ? ? 时, 2 ? a ? a, a ? 1 ,…………………………………………………………11 分

?2 ? a ? a ? ii) C ? ? 时, ? 2 ? a ? ?2,1 ? a ? 2 ,综上: a ? 2 .…………………………………14 分 ?a ? 2 ?
17.解:(1) 27 3 ?
2
2

?

3

?125

?

2

1 ? 2log2 3 ? log 2 ? log 2 3 ? log 3 4 8

? ? 33 ? 3 ? ? ?5? ? 3 ? log 2 2?3 ?
2

lg 3 2lg 2 ? lg 2 lg 3

? 9 ? 25 ? 3? ? ?3? ? 2 ? ?5 .…………………………………………………………………5 分
3? x 3? x (2) ① 3 ? 2 ,∴ 3 ? 3 log3 2

,∴ 3 ? x ? log3 2 ,∴ x ? 3 ? log3 2 ,解集为

?3 ? log3 2, ??? .………………………………………………………………………………9 分
② log 5 ? x ? 1? ?

为 1, 5 ? 1 .………………………………………………………………………………14 分 18.解:(1)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f ? x ? 万元,B 产品的利润为 g ? x ? 万元,由条 件知: f ? x ? ? k1 x, g ? x ? ? k2 x ,………………………………………………………2 分 由图知 f ?1? ?

?

?

1 ,∴ log5 ? x ? 1? ? log5 5 ,∴ 0 ? x ?1 ? 5 ,∴ 1 ? x ? 5 ? 1 ,解集 2

1 1 4 ,故 k1 ? ;又 g ? 4? ? 1.6 ,∴ k 2 ? 5 5 5

从而 f ? x ? ?

1 4 x ? x ? 0? , g ? x ? ? x ? x ? 0 ? ……………………………………………6 分 5 5 1 4 x? 10 ? x ? 0 ? x ? 10 ? …………………………………10 分 5 5

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元,

y ? f ? x ? ? g ?10 ? x ? ?

令 t ? 10 ? x ,则 x ? ?t 2 ? 10 ,则 y ? 当 t ? 2 时, ymax ?

10 ? t 2 4 1 14 2 ? t ? ? ? t ? 2 ? ? ……………13 分 5 5 5 5

14 ? 2.8 ,此时 x=6. …………………………………………………15 分 5 2 2 ? 1 ,定义域为 R, 3x ? 1? ?1, ?? ? , x ? ? 0, 2 ? , 3 ?1 3 ?1
x

答:A 产品投入 6 万元,B 产品投入 4 万元,利润最大为 2.8 万元. …………………16 分 19.解:(1)当 m=1 时, f ? x ? ?

f ? x? ?

2 ? 1? ?1,3? ,即函数的值域为(1,3). ……3 分 3 ?1
x

(2) f ? x ? 为非奇非偶函数. ………………………………………………………………5 分 当 m=0 时,f ? x ? ?

2 2 1 2 3 因为 f ? ?1? ? f ?1? , 所以 f ? x ? , f ?1? ? ? , f ? ?1? ? ? , 1 3 ?1 4 2 ?1 2 3
x

不是偶函数;又因为 f ? ?1? ? ? f ?1? ,所以 f ? x ? 不是奇函数;即 f ? x ? 为非奇非偶函 数. ………………………………………………………………………………………8 分 (3)因为 f ? x ? 是奇函数,所以 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 恒成立,即 恒成立,化简整理得 ?2m ?

2 2 ?m?? x ?m对x?R 3 ?1 3 ?1
x

2 ? 3x 2 ? x ? 2 ,即 m ? ?1 .……………………10 分 x 1? 3 3 ?1

(若用特殊值计算 m,须验证,否则,酌情扣分。) 下用定义法研究 f ? x ? ?

2 ? 1 的单调性: 3 ?1
x

设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2

2 3x2 ? 3x1 2 2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? 1 ? x2 ?1 ? x ? 0 ,……………………13 分 3 ?1 3 ?1 3 1 ? 1 3x2 ? 1

?

?

??

?

?

所以函数 f ? x ? 在 R 上单调递减. ∵ f

? f ? x?? ? f ? a ? ? 0 有解,且函数为奇函数,∴ f ? f ? x?? ? ? f ? a? ? f ? ?a? 有解,又

因为函数 f ? x ? 在 R 上单调递减,所以 f ? x ? ? ?a 有解,即 fmax ? x ? ? ?a 有解,又因为函数

f ? x? ?

2 ? 1 的值域为(-1,1),所以 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 .………………………16 分 3 ?1
x

(3)当

x ? 0 时, 2x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解;
当 x ? 0 时,令 | 2 x ?1|? t ,则 t ? ? 0, ?? ? ,原方程有三个不等的实数解可转化为

t 2 ? ?3t ? 2? t ? ? 2k ?1? ? 0 有两个不同的实数解 t1 , t2 ,其中 0 ? t1 ? 1, t2 ? 1,或
0 ? t1 ? 1, t2 ? 1.……………………………………………………………………13 分
? ? 2k ? 1 ? 0 ? ? ? 2k ? 1 ? 0 2 记 h ?t ? ? t ? ?3t ? 2? t ? ? 2k ? 1? ,则① ? 或② ?h ?1? ? ? k ? 0 ,解不等组①得 ? ?h ?1? ? ?k ? 0 ? ?0 ? 3k ? 2 ? 1 ? 2
k ? 0 ,而不等式组②无实数解.所以实数 k 的取值范围是 ? 0, ??? .………………16 分


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