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贵州省清华实验学校2010届高三下学期3月月考(数学)


贵州省清华实验学校 2010 届高三下学期 3 月月考 数
考试时间:120 分钟


2010-3 满分:150 分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,只有一个答案正确的) 1.极坐标方程 ? 2 COS 2? ? 1表示的曲线为 ( A. 两条直线 B. 椭圆 ) D. 抛物线

C. 双曲线

2.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 {S n } ,且 S 2 =10, S 5 =55,则过点 P(n, an )和

Q(n+2, an?2 )(n A.(2,

)的直线的一个方向向量的坐标是( B. ( ?

)

1 ) 2

1 ,? 2) 2

C. (-

1 ,-1) 2

D.(-1,-1)

3.已知直线 L 经过点 ( , 2) , 其横截距与纵截距分别为 a、 b(a、 b 均为正数) , 则使 a ? b ? c 恒成立的 c 的取值范围 A. (?? , ] ( ) C. (??,9) D. (??,8] )

1 2

9 2

B. ?0,1?

4.一个容量为 n 的样本, 分成若干组, 已知某组频数和频率分别为 36 和 0.25, 则 n= ( A.9 5. ( x ? B.36 C.72 ) D.144

1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( 3x

A .0 6.已知 sin( A.

B.2

C.4

D.6 ( D. ( )

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5

19 25

B.

16 25

C.

14 25

7 25
) C.

7.已知 sin x ? 2 cos x ,则 A.

6 5

sin x ? cos x ? sin x ? cos x 9 B. 5

4 3

D.

5 3
)

8. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, 若 a4 ? 9 , 则数列 {an } 的通项公式为 ( S5 ? 15 , A. 2n ? 3 B. 2n ? 1 C. 2 n ? 1 D. 2 n ? 3

9.某工厂生产 A.B.C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 3:4:7,现在用分

层抽样的方法抽出容量为 n 的样本, 样本中 A 型产品有 15 件, 那么样本容量 n 为 A.50 B.60 C.70 D.80

(

)

10.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f ( x) ? a x ,且 f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) , g ( x)

15 f (1) f (?1) 5 f (n) ? ? . 则有穷数列{ }( n ? 1, 2,3,?,10 ) 的前 n 项和大于 的概 16 g (1) g (?1) 2 g (n)
率是 ( ) A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) 11.写出命题:“对任意实数 m,关于 x 的方程 x +x+m = 0 有实根”的否定命题为: ___________________ 12.以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________. 13.对于平面 ?,? 和直线 m ,试用“⊥和//”构造条件___________使之能推出 m⊥ ?
2

14.点 P(3,0)在椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线上的一点,过 p 点且方向向量为 a2 b2

a ? (?1,?2) 的光线经直线 y=-2 反射后通过椭圆的右焦点,则这个椭椭圆的离心率为
____________; 15.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积 为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? e ( x ? R 且 e 为自然对数的底数) 。
x ?x

(1)求 f ( x ) 的导数,并判断函数 f ( x ) 的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f ( x ? t ) ? f ( x ? t ) ? 0 对一切 x 都成立,若
2 2

存在,求出 t;若不存在,请说明理由。

17.(本小题满分 13 分)有一批食品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项或两项以上指 标不合格,则这批食品不能出厂.已知每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不 合格的概率都是 0.2. (1)求这批产品不能出厂的概率(保留两位有效数字) ; (2)求必须五项指标全部验完毕,才能确定该批食品能否出厂的概率(保留两位有效 数字) . (3)若每批产品正常出厂,则食品厂可获利 10000 元,否则亏损 5000 元,求该厂生产 一批食品获利的期望(精确到 1 元) 。

18.(本小题满分 13 分)已知向量 m1 =(0,x) , n1 =(1,1) , m2 =(x,0) , n2 =(y ,
2

1) (其中 x,y 是实数) ,又设向量 m ? m1 ? 2 n2 , n ? m2 ? 2 n1 ,且 m // n ,点 P (x,y)的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程;

(2) 设曲线 C 与 y 轴的正半轴的交点为 M, 过点 M 作一条直线 l 与曲线 C 交于另一点 N, 当|MN|=

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

19.(本小题满分 13 分)如图,直二面角 D—AB—E 中, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求二面角 B—AC—E 的正弦值; (3)求点 D 到平面 ACE 的距离.





F A E B

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

x (a, b为常数且 a ? 0) 满足 f (2) ? 1 且 ax ? b

f ( x) ? x 有唯一解。

(1) 求 f ( x) 的表达式; (2)记 xn ? f ( xn?1 )(n ? N且n ? 1) ,且 x1 = f (1) ,求数列 {xn } 的通项公式。 (3)记 y n ? xn ? xn?1 ,数列{ y n }的前n项和为 S n ,求证 S n ?

4 3

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 {S n } 满足 {S n?1} =k S n +2.又 a1 =2, (1)求 k 的值; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 {Tn } ; (3)是否存在整数 m、 n, 使 说明理由。

Sn ? m 1 求出这样的正整数; 若不存在, ? 成立?若存在, S n?1 ? m 2

贵州省清华实验学校 2010 届高三下学期 3 月月考 数学参考答案
一、选择题 1-5 CBADB 6-10 DBCCC

二、填空题 11.存在实数 m,关于 x 的方程 x +x+m = 0 没有实根 12.
2

2 或 2 ?1 2

13. m ? ?、? // ?

14.

3 3

15.29π 三、解答题 16. (1)∵ f ( x) ? e x ? e? x
/ x ?x x ∴ f / ( x) ? e x ? e ? x ∵ f ( x ) ? e ? e ? e ?

1 ?0对 ex

x ? R 恒成立,∴ f ( x) 在 x ? R 上是增函数
又∵ f ( x) 的定义域为 R 关于原点对称, f (? x) ? e? x ? ex ? ? f ( x) ∴ f ( x) 是奇函数。 (2)由上面第(1)题结论知: f ( x ) 在 x ? R 上是奇函数又是增函数。 ∴ f ( x ? t ) ? f ( x ? t ) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,
2 2

? f ( x2 ? t 2 ) ? f (t ? x) 对一切 x ? R 恒成立
? x2 ? t 2 ? t ? x 对 x ? R 恒成立
1 ? (t ? ) 2 ? 0 2 1 ?t?? 2
17. (1)五项指标检测相当于 5 次独立重复试验,当有二项及二项以上不合格时,该批食品 不能出厂,故不能出厂的概率为:
5 3 P ? C5 ? ? 0.2 ? ? C54 ? ? 0.2 ? ? 0.8 ? C5 ? ? 0.2 ? ? 0.82 5 4 3

?C52 ? ? 0.2 ? ? 0.83 ? 0.26
2

或 P ? 1 ? C5 ? 0.2 ? 0.8 ? C5 ? ? 0.8?
1 4 5

?

5

? ? 0.26

(2)若须五项全部检测完毕,才能确定能否出厂,则相当于前四项检测中恰有一项不合 格的情形,故所求概率为:
1 P ? C4 ? 0.2 ? ? 0.8 ? ? 0.4096 ? 0.41 3

(3)由(1)知该批食品能出厂的概率为 0.74 不能出厂的概率为 0.26 故该厂生产一批食品获利 ? 的分布列为

?
P

10000 0.74

-5000 0.26

? 获利的期望为 E? ? 0.74 ?10000 ? 5000 ? 0.26 ? 6100 ?元?
18.(1)由已知 m ? (0, x) ? ( 2 y 2 , 2 ) ? ( 2 y 2 , x ? 2 )

n ? ( x,0) ? ( 2, 2 ) ? ( x ? 2,? 2 )
∵ m // n. ∴ 2 y 2 (? 2 ) ? ( x ? 2 )(x ? 2 ) ? 0

即所求曲线方程是:

x2 ? y2 ? 1 2

(2)由(1)求得点 M(0,1) 。显然直线 l 与 x 轴不垂直。 故可设直线 l 的方程为 y=kx+1 ,设 M , N(x2,y2) (x1,y1)

? x2 ? 4k ? ? y2 ? 1 由 ?2 消去 y 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0 解得 x1 ? 0, x 2 ? 1 ? 2k 2 ? y ? kx ? 1 ?
由 | MN |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k |
2 2

4k 4 2 |? 2 3 1 ? 2k

解得:k=±1 ∴所求直线的方程为

x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 1 ? 0

19.解法一: (1)∵BF⊥平面 ACE。 ∴BF⊥AF ∵二面角 D—AB—E 为直二面角。且 CB⊥AB。

∴CB⊥平面 ABE

∴CB⊥AE

∴AE⊥平面 BCE

(2)连结 BD 交 AC 交于 G,连结 FG ∵正方形 ABCD 边长为 2。∴BG⊥AC BG= 2 ∵BF⊥平面 ACE。 由三垂线定理的逆定理得 FG⊥AC。 ∴∠BGF 是二面 B—AC—E 的平面角 由(1)和 AE⊥平面 BCE 又∵AE=EB ∴在等腰直角三角形 AEB 中,BE= 2 又∵Rt△BCE 中, EC ?

BC2 ? BE2 ? 6
2 3 BF 6 ∴Rt△BFG 中 sin BGF ? ? 3 ? BG 3 2

BF ?

BC ? BE 2 ? 2 2 3 ? ? EC 3 6

∴二面角 B—AC—E 的正弦值等于

6 3

(3)过点 E 作 ED⊥AB 交 AB 于点 O, OE=1 ∵二面角 D—AB—E 为直二面角 设点 D 到平面 ACE 的距离为 h。 ∴EO⊥平面 ABCD ∵VD-ACE=VE-ACD



1 S ?ACE 3

1 AD ? DC ? EO 1 2 3 ? h ? S ?ACD ? EO ? h ? 2 ? 1 3 3 AE ? EC 2
2 3 3

即点 D 到平面 ACE 的距离为 20. (1)由 f ? x ? ?

x ? x 即 ax2 ? ?b ?1? x ? 0 有唯一解 ax ? b

?b ? 1

2 1 ?1 ?a ? ax ? 1 2 x 2x ? f ? x? ? ? 1 x ?1 x ? 2 2
又 f ? 2? ?
2

(2)由 xn ? f ? xn?1 ? ?

xn?1 1 xn?1 ? 1 2
1 3 ? x1 2

?

1 1 1 ? ? xn xn ?1 2

又 x1 ? f ?1? ?

2 3

?

?1? 3 1 ? 数列 ? ? 是以首项为 ,公差为 的等差数列 2 2 ? xn ?

?

1 3 1 n?2 ? ? ? n ? 1? ? ? xn 2 2 2

? xn ?

2 n?2

(3)由 y n ? x n ? x n ?1 ?

2 2 1 1 ? ? 4( ? ) n?2 n?3 n?2 n?3

? Sn ? y1 ? y2 ? y3 ? ... ? yn = x1 x2 ? x2 x3 ? ?? ? xn xn?1

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? 4 ?? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ?? ? n ? 2 n ? 3 ?? ?? 3 4 ? ? 4 5 ?
1 ? 4 ?1 ? 4? ? ?? ?3 n?3? 3
21. (1)由 S2 ? kS1 ? 2 得 k ? (2) S n ?1 ?

1 2

1 1 S n ? 2,? S n ?1 ? 4 ? (S n ? 4) 2 2 1 所以数列 {S n ? 4} 是以-2 为首项, 为公比的等比数列, 2 1 n ?1 1 n?2 S n ? ?2 ? ( ) ? 4,? a n ? ( ) , 2 2 1 ?1 1 0 1 1 1 1 Tn ? ( ) ? 2( ) ? 3( ) ? 4( ) 2 ? ? ? ? n( ) n ? 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n -1 Tn ? ( ) 0 ? 2( )1 ? 3( ) 2 ? 4( ) 3 ? ? ? ? (n ? 1 ) ( ) n ? 2 ? n( ) 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 0 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ? 2 ? n( ) n ?1 ? 4 ? (n ? 2)( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 n -2 ? Tn ? 8 ? (n ? 2)( ) 2

3 Sn ? 2 ? m Sn ? m 1 2 ? 0, (3)假设存在整数 m、n,使 ? 成立,则 ( 2 S n ?1 ? m) S n?1 ? m 2

因为 S n ? 4(1 ? 只要

1 3 1 3 ) ? 4,? S n ?1 ? ( S n ? 2) ? S n ? 2 ? ( S n ? 2) ? 4 ? S n ? 0, n 2 2 2 2

3 S n ? 2 ? m ? S n ?1即可。 2 3 3 又 S n ? 2 ? S1 ? 2 ? 1,S n ?1 ? 4, ,因此 m 只可能为 2 或 3 2 2 3 5 当 m=2 时,n=1 显然成立。n≥2 有 S n ? 2 ? , 故不合。 2 2
当 m=3 时,n=1, S 2 ? 3, 故不合。n=2 符合要求。 n≥3,

3 13 Sn ? 2 ? ? 3, 故不合。 2 4

综上可知:m=2,n=1 或 m=3, n=2。


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