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利用导数处理不等式问题


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备考方略 63

利用导数处理不等式问题
■李金华
导数是研究函数性质的一种重要工具,例如,求 函数的单凋区间、求最大(小)值、求函数的值域等。 在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用 函数的性质,很多时候可以利用导数作为工具研究 函数的性质,从而解决不等式问题。下面具体讨论 导数在解决与不等式有关的问题时的作用。 一、利用导数证明不等式 (一)利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区l’日J上的导数大于(或小 于)0时,则该函数在该区问上单调递增(或递减)。 因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以 构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函 数单调性达到证明不等式的目的,即把证明不等式 转化为证明函数的单调性。具体有如F)L种形式: 1.直接构造函数,然后用导数证明该函数的单 调性;再利用函数在它的同一单凋递增(减)区间,自 变量越大,函数值越大(小),来证明不等式成立。 例1 当茁>0时,求证:菇一-4-4"一In(1+茹)<0。
。2

∈(0,+∞)恒成立。

设JII(茹)=五菇一菇压,则^’(菇):拓一号^。 令∥(茹):o,解之,得茗:譬。 令^,(髫)>o时,解之,得o<茗<訾, 令∥(髫)>o时,解之,得膏>訾。

.?.^(茗)在(o,雩)上递增,在(訾,+∞)上递 减,故IIl(z)的最大值为|II(警):告。所以d≥

9。

三、利用导数解不等式 例4函数.厂(石)= ̄/菇2+1一似(口>0),解不 等式.厂(茗)≤1。’

证明:设厂(茹)=菇一等一In(1+髫)(髫>o),则
。2

f髫)=一。丁{一。‘.‘省>0,.‘.厂(茗)<0,故.厂(菇)在(o,
+00)上递减,所以菇>0时,.厂(菇)<.厂(o)=o,即茗一

解:由题可知,,’(善)27}毒一口。
 ̄/l+∥

号一h(1+茹)<o成立。

①?.?一1<—刍<1,...口≥1时,,’(互)<1一
a<0恒成立.故“筇)在R匕单调递减。

2.把不等式变形后再构造函数,然后利用导数 证明该函数的单调性,达到证明不等式的目的。 例2已知口,b∈R,b>口>e,求证:矿>60(e 为自然对数的底)。 证:要证ab>酽,只需证IIlab>Inba,即证blna
—ahb>0。

设“茹)=xlna—alnx(善>口>e),贝Ⅱ.厂,(菇)=

ha一号。’.‘口>e,茹>口.?.1na>1,蕾a<l’-..,’(茹)
名 互


>0,因而f(髫)在(e,+∞)上递增。‘.‘b>口’...厂 (b)>厂(口),故blna—alnb>alna—if,ha=0,即 blna>ahb,所以扩>ba成立。 (二)利用导数求出函数的最值(或值域)后,再 证明不等式 导数的另一个作用是求函数的最值。因而在证 明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函 数,用导数求出该函数的最值,由“当该函数取最大 (或最小)值时不等式都成立”可得该不等式恒成立。 从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。 二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题,一般都会涉及求参数范围, 往往把变量分离后可以转化为m>,(z)(或m< fCx))恒成立,于是m大于.厂(戈)的最大值(或/n小 于“石)的最小值),从而把不等式恒成立问题转化 为函数求最值问题。因此,利用导数求函数最值是 解决不等式恒成立问题的一种重要方法。 例3已知函数厂(膏)=(旦+√茗)9(a∈R),对 “x)定义域内任意的茗的值,f(石)≥27恒成立,求 。口的取值范围。

5而甄一一丽。 厂(菇)>o时,解得茗∈(一∞,一7南’u (志,+比 “出。时滑疋(-志,志)o
 ̄/1一口‘√1一if,2


②o<口<1时,若,’(茗)=—忐一口=0,贝4并
即口≥时,.厂(茗)≤的解为{算算
 ̄/l+石o

}。 昴怨’1苗:爱翳姜≥1燥凳伫融I I>00l;1’

故“髫)在(一了再a ,■与)上单调递减,., 兀茹)在(一∞,一7南)或‘7南,+∞)
、/
一口2 l一口。

上单调递增。又.厂(髫)=1时,得茗=o或菇=—毛, 1一a‘
151

0<Ⅱ<l时o<者1与<尚

所以0<口<1时f(菇)≤1的解为{并IO≤菇≤
2a 1—0.2’o

o<口<l时以茗)≤l的解为{筇Io≤膏≤尚}。
总之,无论是证明不等式,还是解不等式,只要 在解题过程巾需要用到函数的单凋性或最值,我们 都日f以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转

由上得,口≥1时以菇)≤1的解为{茹I髫≥Q}。

27对一切*∈(o,4-∞)恒成立知,旦+^≥物:

解:函数.厂(茗)的定义域为(o,+∞),由.厂(茗)≥

了3对一切茗∈(0,+∞)恒成立,即o≥了3算一茗也对茗

化与化归思想在中学数学中的重要体现。.



(作者单位:河南省荥阳高中)

万方数据

利用导数处理不等式问题
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 李金华 河南省荥阳高中 试题与研究(教学论坛) SHITI YU YANJIU 2010(20)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_styyj-jx201020069.aspx


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