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学案1、2集合与简易逻辑


高三文科第一轮复习考点汇编系列

学案 1
考点梳理: 1、集合的基本概念: (1)集合的概念: (2)集合中元素的三个特性: (3)集合的三种表示方法: 2、集合间的基本关系

集合及其运算

。 、 、描述法、 、 。 ;

(1)子集:若对 x ? A, 都有 x ? B ,则 A ?

B ; (2)真子集:若 A ? B ,但 (3)相等:若 A ? B ,且 (4) ? 是 3、集合的运算: 集合的子集,是 ,则 A? B ; 则 A=B; 集合的真子集。

并集 符号 表示 图形 表示 意义 A B

交集

补集 若全集为 U,则集合 的补集为

?x x ? A, 且x ? B?

2 2 思考:1、集合 A ? y y ? x ? 1 , B ? ( x, y ) y ? x ? 1 是否是相同的集合?

?

?

?

?

2、若全集 U ? A ? B ,则 CU B ? A 成立吗? 典例剖析: 题型一:集合的基本概念 例 1、 2013 洛阳模拟) P, Q 为两个非空实数集合, ( 设 定义集合 P ? Q ? a ? b a ? P, b ? Q , 若 P ? ?0,2,5?, Q ? ? ,2,6?,则 P ? Q 中元素的个数为( ) 1 A、 9 B、 8 C 、 7
2

?

?

D 、

6 。

2、 (2013 连云港模拟)已知集合 A ? m ? 2,2m ? m,?3 ,若 3 ? A ,则 m 的值为

?

?

变式训练:1、 (2011 济南质检) A ? B ? z z ? xy, x ? A, y ? B . ,设 A ? ? ,2?, B ? ?0,2?, 1 则集合 A? B 的所有元素之和为( A 0 B 2 C ) 3
1

?

?

D

6

高三文科第一轮复习考点汇编系列

2 2、已知集合 A ? x ax ? 3 x ? 2 ? 0 ,若 A ? ? ,则实数 a 的取值范围为

?

?



考点二:集合间的基本关系 例 2、 (1)若集合 A ? ? x,

? ?

y ? ,1?, B ? x 2 , x ? y,0 ,若 A ? B ,则 x 2013 ? y 2013 ? x ?

?

?

2 (2) 已知集合 A ? x x ? 3 x ? 10 ? 0 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 , A ? B ? A ,则实数 m 若

?

?

?

?

的取值范围为

2 变式训练:若集合 M ? x x ? x ? 6 ? 0 , N ? x ax ? 2 ? 0, a ? R ,若 M ? N ? N ,则实

?



?

?

?

数 a 的取值集合是 。 考点三:集合的基本运算 例 3、 (1) 【2012 高考山东】已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2, 3}, B ? {2, 4} ,则

(CU A) B 为( ?



(A){1,2,4}

(B){2,3,4}

(C){0,2,4}

(D){0,2,3,4}

( 2 ) 2012 天 津 高 考 ) 已 知 集 合 A ? x x ? 2 ? 3 , B ? x ( x ? m)( x ? 2) ? 0 , 且 (

?

?

?

?

A ? B ? (?1, n) ,则 m ?

, n?



2 变式训练:1、 (2010 山东文数) (1)已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0 ,则 CU M =

?

?

A.

? x ?2 ? x ? 2?
(A)A?B ?

B.

? x ?2 ? x ? 2?

C. x x ? ?2或x ? 2

?

?

D.

? x x ? ?2或x ? 2?

2、 【2012 高考新课标文 1】已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 (B)B?A ? (C)A=B (D)A∩B=?

考点四:创新探究题--以集合为背景的新定义题 例 4、 (2012 课标全国卷)已知集合 A ? ? ,2,3,4,5? , B ? ( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A , 1 则 B 中所含元素的个数为( 巩固训练: )A、3 B、 6 C 、 8 D 、10

?

?

2 1、(2011 江西高考) A ? x x ? 1 , B ? y y ? x ,则 A ? B =(

?

?

?

?

) D

A

?x ?1 ? x ? 1? ?

B

?x x ? 0?

C

?x 0 ? x ? 1?

?


2 2、(2010 山东高考)已知全集 U ? R ,集合 M ? x x ? 4 ? 0 ,则 CU M =(

?

?

A x?2? x ? 2

?

B

?x ? 2 ? x ? 2?

C

?x x ? ?2或x ? 2?

D

?x x ? 2或x ? ?2?

2 3、已知全集 U ? R 则正确表示集合 M ? ?? 1,0,1?和 N ? x x ? x ? 0 关系的韦恩(Venn)

?

?

图是图中的: (



2

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U N M MM

U M N

U M N

U N M

A B C D 4、已知全集 U ? x ? N ? x ? 6 , 集合 A ? ? ,3?, B ? ?3,5?,则 CU ( A ? B) ? ( 1 A

?

?



?1,4?

B ? ,5? 1

C

?2,4?

D

?2,5?

5、 (2010 天津高考)设集合 A ? x x ? a ? 1 , B ? x 1 ? x ? 5 若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( A a0? a ? 6 )

?

?

?

?

?

?

B

?a a ? 2或a ? 4?
?

C a a ? 0或a ? 6

?

?

D

?a 2 ? a ? 4?

6、 (2011 青岛模拟)设全集 U ? A ? B ? x ? N lg x ? 1 ,

?

A ? ?CU B? ? ?m m ? 2n ?1, n ? 0,1,2,3,4?,则集合 B=



7、已知集合 A 中有 10 个元素,集合 B 中有 6 个元素,全集 U 中有 18 个元素, A ? B ? ? 设集合 CU ( A ? B) 中有 x 个元素,则 x 的取值范围是
2 8、已知集合 A ? x mx ? 3 x ? 2 ? 0 若 A 中最多有一个元素, m 的取值范围是 则

?

?



9、已知全集 S ? 1,3, x3 ? x2 ? 2x , A ? 1, 2x ?1 如果 CS A ? ?0? ,则这样的实数 x 是否存 在?若存在,求出 x,若不存在,说明理由。

?

?

?

?

10、(2011 泰安模拟)已知集合 A ? ? x (1)当 m=3 时,求 A ? (CR B) ;

?

? 6 ? 1?, B ? x x 2 ? 2 x ? m ? 0 , ? x ?1 ?

?

?

(2)若 A? B ? x ?1 ? x ? 4 ,求实数 m 的取值范围。

?

?

2 2 2 11、已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 2mx ? m ? 4 ? 0

?

?

?

?

(1)若 A ? B ? ?0,3?,求实数 m 的值;

3

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(2)若 A ? CR B 求实数 m 的取值范围。

学案 2

简易逻辑
的陈

考点梳理: 1、命题的概念:在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断 述句叫做命题,其中 的语句叫做真命题, 的语句叫做 2、四种命题及其关 系 (1)四种命题 命题 表述形式 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 (2)四种命题间的关系 (3)四种命题的真假关系: ①两个命题互为逆否命题,它们有 ②两个命题互为逆命题或互为 3、充分条件与必要条件: (1)如果 p ? q ,则 p 是 q 的 (2)如果 p ? q, q ? p ,则 p 是 q 的 4、简单的逻辑联结词 逻辑联结词 符号表示 5、全称量词与特称量词 (1)常见的全称量词有 (2)常见的存在量词有 (3)全称命题: 6、命题 p ? q, p ? q, ?p 的真假判断 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 或 且 非 若p则q

真假性; 它们的真假性 ,q 是 p 的 。 ;

符号表示: 符号表示: 特称命题:

p?q

p?q

?p

7、含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定

?x ? R, P( x)

?x ? M , P( x)
思考:1、 “命题的否定”就是“否命题”这种判断是否正确?为什么?
4

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2、命题“若 p ,则 q ”的逆命题为真,逆否命题为假,则 p是q 的什么条件? 3、 p ? q ”与“ p ? q ”如何否定? “ 典例分析 题型一:四种命题及其关系 例 1 (1)命题 p : “若 a ? b, 则a ? b ? 2012 a ? ?b ”的逆否命题是( 且 A、若 a ? b ? 2012 且 a ? ?b ,则 a ? b C、若 a ? b ? 2012 或 a ? ?b ,则 a ? b (2)下列命题为真命题的是( ) )

B、若 a ? b ? 2012 且 a ? ?b ,则 a ? b D、若 a ? b ? 2012 或 a ? ?b ,则 a ? b

A、命题“若 x ? y, 则x ? y ”的逆命题 B、命题“ x ? 1, 则x 2 ? 1 ”的否命题 C、命题“若 x ? 1, 则x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的否命题 D、命题“ x 2 ? 0, 则x ? 1”的逆否命题 变式训练:1、 【山东省济南市】 下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 xy ? 0 错误!未找到引用源。 ,则 x ? 0 错误!未找到引用源。”的否命题 为:“若 xy ? 0 错误!未找到引用源。 ,则 x ? 0 错误!未找到引用源。” B.“若 x ? y ? 0 ,则 x , y 互为相反数错误!未找到引用源。”的逆命题为真命题 C.命题“ ?x ? R 错误!未找到引用源。 ,使得 2 x ? 1 ? 0 错误!未找到引用源。”的
2

否定是: ?x ? R 错误! “ 未找到引用源。 均有 2 x ? 1 ? 0 错误! , 未找到引用源。 ”
2

D.命题“若 cos x ? cos y 错误!未找到引用源。 ,则 x ? y 错误!未找到引用源。 ”的 逆否命题为真命题 2、 (2013 启东模拟)已知命题 p : 若a ? 0, 则方程 ax ? 2 x ? 0 有解,则其原命题、否命题、
2

逆命题及逆否命题中真命题的个数为 题型二:充分、必要、充要条件的概念与判断



例 2、 (2013 郑州模拟)已知条件 p : (1 ? x)(x ? 1) ? 0 ,条件 q : lg( 1 ? x ? 1 ? x 2 ) 有 (1) 意义,则 ?p是?q 的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2 (2)(2013 泰安模拟)设集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x mx ? 1 ? 0 。则 B 是 A 的真子

?

?

?

?

集的一个充分不必要条件是

。 )

变式训练:1、 【山东省济宁市】 x ? 1 ”是“ log2 x ? 0 ”的( “
5

高三文科第一轮复习考点汇编系列

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2、 【山东省青岛十九中】3.在锐角△ABC 中, A ? “

?
3

”是“sinA=

3 ”成立的( 2



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、 【山东省青州市】若不等式 | x ? 1|? a 成立的充分条件是 0 ? x ? 4 ,则实数 a 的取值 ( )A. ?3, ?? ? B. ? ??,3? C. ?1, ?? ? D. ? ??,1?

考点三:含有逻辑联结词的命题的真假判断 例 3(1)已知命题 p : ?x ? R, 使 sin x ? 下列结论:①命题“ p ? q ”是真命题 ③命题“ ? p ? q ”是真命题

5 2 ;命题 q : ?x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0 。给出 2
②命题“ ? p ? ? q ”是假命题 ④命题“ p ? ? q ”是假命题, D ①②③ ) D

其中正确的是( )A ②③ B ②④ C ③④ p ? q ”与“ ? p ? q ”均为假命题,则( (2)若“ A p真q假 Bp假q真 C p 与 q 均为真

p 与 q 均为假 ? 变式训练:1、 【2012 高考山东文】设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 2

y ? cos x 的图象关于直线 x ?

?
2

对称.则下列判断正确的是(



(A)p 为真 (B) ?q 为假 (C) p ? q 为假 (D) p ? q 为真 2、 【山东省聊城一中】已知命题 p : 若 m ? 0 ,则关于 x 的方程 x ? x ? m ? 0 有实根.q 是
2

p 的逆命题,下面结论正确的是(



A.p 真 q 真 B.p 假 q 假 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 3、 【山东省临清三中】给出如下四个命题:①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 均为假命题 ②命题“ 若a ? b, 则2 ? 2 ? 1 ”的否命题为“ 若a ? b, 则2 ? 2 ? 1”
a b a b

③“ ?x ? R, x ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 1 ”
2 2

④在 ?ABC 中, A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件 “ 其中不正确的命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 ... 考点四:含有一个量词的命题及其真假判断 例 4:下列命题中,真命题是( )
2 A ?m? R, 使函数 f ( x) ? x ? mx( x ? R) 是偶函数 2 B ?m? R, 使函数 f ( x) ? x ? mx( x ? R) 是奇函数 2 C ?m ? R, 使函数 f ( x) ? x ? mx( x ? R) 都是偶函数 2 D ?m ? R, 使函数 f ( x) ? x ? mx( x ? R) 都是奇函数

6

高三文科第一轮复习考点汇编系列

变式训练: (2013 长春模拟)已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

), g ( x) ? cos( x ? ), 设 2 2

?

hx( x) ? f ( x) g ( x) ,则下列说法不正确的是(
A、 ?x0 ? R, f ( x0 ?



?
2

) ? g ( x0 )

B、 ?x ? R, f ( x ?

?
2

) ? g ( x)

C、 ?x ? R, h(? x) ? h( x)

D、 ?x ? R, h( x ? ? ) ? h( x)

考点五:含有一个量词的命题的否定 例 3:写出下列命题的“否定” ,并判断其真假。 (1) p : ?x ? R, x ? x ?
2

1 ? 0 ; (2) q : 所有的正方形都是矩形; 4
(4) s : 至少有一个实数,使 x ? 1 ? 0
3

(3) r : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ;
2

变式训练:1、 【山东临沂市】 命题"?x ? R, x 2 ? 2x ? 3 ? 0"的否定是 (

)

A.?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 C.?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

B.?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 D.?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0
2

2、 【山东省潍坊市】2.命题“ ?x ? 0, x ? x ? 0 ”的否定是(
2 2 2


2

A.?x ? 0, x ? x ? 0 B.?x ? 0, x ? x ? 0 C.?x ? 0, x ? x ? 0 D.?x ? 0, x ? x ? 0 巩固练习: 1、下列命题中正确的是(
2 2



①“若 x ? y ? 0, 则 x、y 不全为 0”的否命题; ②“正多边形都相似”的否命题; ③“若 x ? 3 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题; ④“若 m>0,则 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题。
2

A

①②③④

B

①③④

C

②③④

D ①④ )

2 2、命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(

A 若 x ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1
2

2 B 若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

C 若 x ? 1 ,或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

D 若 x ? 1 ,或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2 2 2 2

3、已知 a, b, c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3 ”的否命题是( A 若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2



B 若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

C 若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

D 若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2

7

高三文科第一轮复习考点汇编系列

4、已知 a、b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5、设 ?an ?是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是“数列 ?an ?是递增数列”的( )

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6、对于函数 y ? f ( x), x ? R , y ? f (x) 的图像关于 y 轴对称”是“ y ? f (x) 是奇函数” “ 的( ) A 充分而不必要条件 C 充要条件 B 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 ( )

7、若集合 P ? ? ,2,3,4? Q ? x 0 ? x ? 5 ,则 1 ,

?

?

A “ x ? P ”是 x ? Q 的充分条件但不是必要条件 B“ x ? P ”是 x ? Q 的必要条件但不是充分条件 C “ x ? P ”是 x ? Q 的充要条件 D“ x ? P ”是 x ? Q 的既不充分也不必要条件 8、设集合 A ? x x ? 2 ? 0 , B ? x x ? 0 , C ? x x( x ? 2) ? 0 , “ x ? A ? B ” “ x ? C ” 则 是 的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

?

?

?

?

?

?

9、“ x ? 2k? ?

?
4

( k ? Z ) ”是“ tan x ? 1 ”成立的(

) D 既不充分也不必要条件

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 10、如果命题“ ?( p ? q ) ”是真命题,则正确的是( A p、q 均为真命题 C p、q 均为假命题 11、下列命题中的假命题是( A B D ) )

p、q 中至少有一个为真命题 p、q 中至少有一个为假命题 D ?x ? R,2 ? 0
x

?x ? R, lg x ? 0

B
2

?x ? R, tan x ? 1 C ?x ? R, x3 ? 0

12、对命题“ ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0 ”的否定正确的是( A ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0
2



B ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

C

?x ? R, x 2 ? 2x ? 4 ? 0

D ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

13、设集合 A ? x ? 2 ? ?a ? x ? a, a ? 0 ,命题 p : 1? A ,命题 q : 2 ? A 。若 p ? q 为真 命题, p ? q 为假命题,则 a 的取值范围是( A ) C

?

?

0 ? a ? 1或 a ? 2

B

0 ? a ? 1或 a ? 2

0?a?2

D

1? a ? 2

8

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学案 3

函数及其表示

考点梳理 1、映射: 2、函数: 3、函数的三要素: 4、函数的表示法: 5、求函数定义域的主要依据是:①分式的分母不得为 ;②偶次方根的被开方数 ;③对数函数的真数必须 ;④对数函数、指数函数的底数必须 ;⑤ y ? tan x, x ? ,k ?Z

6、求函数解析式的一般方法是: 和 7、二次函数解析式的三种形式: (1)一般式: (2)顶点式: (3)两根式: 好如果两个函数的 相同,并且 完全一致,则这两个函数为相等 8、函数的表示 (1)函数有三种表示法: 、 和列表法。 (2)如果在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有不同的对应关系,这样 的函数通常叫做 。 思考:1、若两个函数的定义域与值域相同,则一定是相等函数,这种说法对吗? 2、如何判断坐标平面上的曲线是否为函数的图象? 典例分析 考点一:函数的基本概念 例 1、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|,g(x)= ? ④f(x)= 1 ? x 2 ? A.①③

? x( x ? 0) x2 ? 4 2 ②f(x)= ,g(x)=x+2③f(x)= x ,g(x)=x+2 x?2 ? x( x ? 0) ?

x 2 ? 1 g(x)=0 x∈{-1,1}
C.②④ D.①④ )

B.①

变式训练:直线 x ? a 与函数 y ? f (x) 的图像交点的个数为( A、0 个 B、1 个、 考点二:求函数的定义域 C、0 个或 1 个 D、以上都不对

例 2(1) (2013 大连模拟)求函数 f ( x) ?

lg( x 2 ? 2 x) 9 ? x2

的定义域;

9

高三文科第一轮复习考点汇编系列

(2)已知函数 f (2 x ) 的定义域是 ?? 1,1? ,求 f (x) 的定义域。 变式训练:已知函数 f (x) 的定义域为 ?1,2? , g ( x) ? 考点三:求函数的解析式 例 3、1、已知 f (x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f (x ) 的解析 式; 2、已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f (x ) 的解析式。

f (2 x) 的定义域为 ( x ? 1) 0



3、已知 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, ( x ? 0) ,求 f (x ) 的解析式。 变式训练: 1、已知 f (x) 是二次函数,且 f (0) ? 2, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1, 求 f (x ) 的解析式

1 x

2、已知 f ( ? 1) ? lg x, 求 f (x) 的解析式。 3、已知 2 f ( x) ? f (? x) ? lg(1 ? x), x ? (?1,1) ,求 f (x) 的解析式。

2 x

考点四:分段函数及其应用

? x 2 ( x ? 0) ? 例 4、已知 f ( x ) ? ?e( x ? 0) ,则 f ? f ? f ?? 2??? ? ?0( x ? 0) ?
变式训练: (1)设函数 f ( x) ? ?



? x ? 3,( x ? 10) ,则 f (5) = ? f ( f ( x ? 5)),( x ? 10)
若 f (a) ? f (1) ? 0, 则实数 a 的值等于( D、3



(2) 已知函数 f ( x) ? ? A、 ? 3 B、 ? 1

?2 x , x ? 0, ? x ? 1, x ? 0
C、1



? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 (3) (2011 天津卷)设函数 f ( x) ? ? ,则不等式 f ( x) ? f (1) ? x ? 6, x ? 0
的解集是 巩固练习: 1、(2010 山东高考)定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f ( x) ? ? 则 f (3) 的值为( )A、 -4
10

?4 ? 2 x, x ? 0 , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
D、4

B、 -2 C、 2

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2、函数 y ?

1 的定义域为( 4x ? 3
B



A

3 ( ,1) 4

3 ( ,?? ) 4

C

(1,??)

D ( ,1) ? (1,?? )

3 4

3、已知 f : x ? sin x 是集合 A( A ? ?0,2? ?) 到集合 B ? ?0, ? 的一个映射,则集合 A 中的 元素最多有( 4、若 f(x)= ? A. -x 5、设 f ( x ) ? (A) x )A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 )

? 1? ? 2?

? x 2 ( x ? 0) ? x( x ? 0)

? ( x) ? ?
2

? x( x ? 0)
2 ?? x ( x ? 0)

,则当 x<0 时,f[ ? (x)]=( D.x
2

B. -x

C.x

1 ,则 f [ f ( x)] 的表达式为 1? x





(B)

1 (1 ? x) 2

(C) ? x

(D)

1 1? x
( )

2 6、已知 f ( x ? 1) ? x ? 5x ? 4 ,则 f (x) 等于

(A) x ? 5x ? 3
2

(B) x ? 7 x ? 10
2

(C) x ? 7 x ? 10
2

(D) x ? 4 x ? 6
2

7、设 f ( x) ? 2 x ? 3 , g ( x) ? 4 x ? 5 ,若 f [h( x)] ? g ( x) 则 h(x) ? 8、函数 f (x) 的定义域是[-1,4],则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 9、设函数 f ( x) ? ?

。 。

? x ? 3,( x ? 10) ,则 f (5) = ? f ( f ( x ? 5)),( x ? 10)



10、设函数 f(x)= ?

? x 2 ? 2, ( x ? 2) ?2 x, ( x ? 2)

则 f(-4)=___________,若 f(x0)=8,则 x0=________

11、函数 f (x) 满足条件 2 f ( x) ? f ( ) ?

1 x

1 ,求 f (x) 的解析式 x

12、若函数 f ( x) ? mx2 ? mx?1 的定义域是 R,求 m 的取值范围.

? 3 x ? 5 ( x ? 0) ? 13、已知函数 f (x) 的解析式为 f ( x) ? ? x ? 5 (0 ? x ? 1) ? ? 2 x ? 8 ( x ? 1) ?
11

高三文科第一轮复习考点汇编系列

(1)画出这个函数的图象;

(2)求函数 f (x) 的最大值。

学案 4 考点梳理: 1、函数的单调性 (1)单调函数的定义: 增函数

函数的单调性与最值

减函数

一般地,设函数 f (x) 的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上任 意两个自变量 x1 , x2 定义 当 x1 ? x2 时,都有 ,那么就 当 x1 ? x2 时,都有 ,那么就

说函数 f (x) 在区间 D 上是增函数

说函数 f (x) 在区间 D 上是减函数

图象描述

自左向右看图象是 (2)单调区间的定义 若函数 f (x) 在区间 D 上是 有(严格的)单调性, 2、函数的最值 或



自左向右看图象是



,则称函数 f (x) 在这一区间具

叫做 f (x) 的单调区间。

前提

设函数 y ? f (x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x ? I ,都有 (3)对于任意 x ? I ,都有 (4)存在 x0 ? I ,使得 M 为最小值

条件 结论

(2)存在 x0 ? I ,使得 M 为最大值

思考:1、单调区间与函数定义域有何关系?

2、 函数 f (x) 在区间[a,b]上单调递增, 与函数 f (x) 的单调递增区间为[a,b]含义相同吗?

3、函数的最值与函数值域有何关系? 典例分析: 题型一:利用定义判断函数的奇偶性
12

高三文科第一轮复习考点汇编系列

例 1、证明函数 f ( x ) ? x ?

1 在 ?1,??? 上为增函数。 x

变式训练:用定义讨论函数 f ( x ) ?

ax (a ? 0) 在 (?1,1) 上的单调性。 x ?1

题型二:求函数的单调区间 例 2、求函数 y ?

x2 ? 5x ? 6 的单调递增区间为



变式训练:函数 y ? ?( x ? 3) x 的递增区间是



思考:确定函数单调区间的方法: 题型三:函数单调性的应用



例 3、已知函数 y ? f (x) 在 R 上是减函数,A(0,-2) 、B(-3,2)在其图象上,则不等式

? 2 ? f ( x) ? 2 的解集为
2



变式训练:1、已知 f ( x) ? x ? 2(a ?1) x ? 2 的单调递减区间是 ?? ?,3? ,则实数 a 的 值是 2、已知 f ( x) ? x ? 2(a ?1) x ? 2 在 ?? ?,3? 上单调递减,则实数 a 的取值连范围
2

是 题型四:利用函数的单调性求最值(值域) 例 4、求函数 y ? x ?

1 在 ?1,3?上的值域 x

变式训练:求函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在 ?1,3?的最小值。
2

13

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题型五:函数的单调与抽象函数问题 例 5、已知定义在区间 ?0,??? 上的函数 f (x) 满足 f ? 1 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,且当 x ? 1 时, ?x ? ? 2?

?x ?

f ( x) ? 0
(1)求 f (1) 的值; (2)判断 f (x) 的单调性; (3)若 f (3) ? ?1 ,求 f (x) 在[2,9]上的最小值。

变式训练:已知函数 f (x) 的定义域为 D ? x x ? 0 ,且满足对于任意 x1 , x2 ? D ,都有

?

?

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。
(1)求 f (1) 的值; (2)如果 f (4) ? 1, f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 ,且 f (x) 在 ?0,??? 上是增函数, 求 x 的取值范围。

巩固练习: 1、下列函数 f (x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? ?0,??? ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ” 的是( )

A、 f ( x ) ?

1 x

B、 f ( x) ? ( x ? 1)

2

C、 f ( x) ? x ? 3x
2

D、 f ( x) ? 2 x ? 1

14

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2、下列函数中,在区间 ?0,2? 上为增函数的是( A、 y ? ? x ? 1 B、 y ?

) D、 y ?

x

C、 y ? x 2 ? 4 x ? 5

2 x


3、已知函数 f (x) 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? A、

?1 ?x

? ? ? f (1) 的实数 x 的取值范围是( ? ?
D、 (??,?1) ? (1,??) )

?? 1,1?
2

B、 ?0,1?

C、 (?1,0) ? (0,1)

4、函数 y ? log1 (2 x 2 ? 3x ? 1) 的递减区间为( A、 ?1,??? B、 ? ? ?, ? 4

? ?

3? ?

C、 ? ,?? ?

?1 ?2

? ?

D、 ? ,?? ? )

?3 ?4

? ?

5、若函数 y ? ax 与 y ? ? A、增函数

b 2 在 ?0,??? 上都是减函数, y ? ax ? bx 在 ?0,??? 上是 则 ( x
C、先增后减 D、先减后增 )

B、减函数

6、“若函数 f (x) 在[0,1]上单调”是“函数 f (x) 在[0,1]上有最大值”的( A、必要非充分条件 B、充分非必要条件 C、充要条件

D、既不充分也不必要条件 。

1 7、函数 f ( x ) ? 在[2,3]上的最小值为 x ?1
8、函数 y ? x ?1 ? 2 ? x 的递增区间是 9、函数 f ( x) ? x ? 2 x, x ? a ? 1,4 上的最大值为
2 2

,最大值为 。 。

?

?

10、若函数 f ( x) ?

4x 在区间 ?m,2m ? 1? 上是单调递增函数,则 m 的取值范围是 x ?1
2

11、函数 f (x) 对任意 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且 x ? 0 时,恒有

f ( x) ? 1 。 求证: f (x) 在 R 上是增函数; 若 f (3) ? 4 ,解不等式 f (a 2 ? a ? 5) ? 2 (1) (2)

15

高三文科第一轮复习考点汇编系列

学案 5 考点梳理: 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义

函数的奇偶性与周期性

图象特点

如果对于函数 f (x) 的定义域 偶函数 内任意一个 x, 都有 么函数 f (x) 是偶函数。 如果对于函数 f (x) 的定义内 奇偶性 域任意一个 x, 都有 么函数 f (x) 是偶函数。 那 关于 对称 那 关于 对称

2、奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有 区间上有 的单调性。 (2)如果奇函数 f (x) 在原点有意义,则 f (0) ? 数又是偶函数,则有 。

的单调性;偶函数在对称的两个

;如果函数 f (x) 既是奇函

3、周期函数:若 f (x) 对于定义域中的任意 x 均有

(T 为不等于 0 的

常数) ,则 f (x) 为周期函数。若 T 是函数 y ? f (x) 的一个周期,则 nT ?n ? Z , 且n ? 0? 也是

f (x) 的周期,即



思考:1、奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什么条件? 2、 (1)若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,那么 y ? f (x) 的图象有什么对称性? (2)如果函数 y ? f ( x ? b) 是奇函数,那么 y ? f (x) 的图象有什么对称性?

典例分析: 题型一:函数奇偶性的判定 例 1、判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 1? x

16

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(2) f ( x) ?

lg(1 ? x 2 ) x?2 ?2
1? x 1? x

(3) f ( x ) ? lg

题型二:函数的周期性 例 2、 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 设 且对任意实数 x 恒有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , x ? ?0,2? 当 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 (1)求证: f (x) 是周期函数; (2)当 x ? ?2,4? 时,求 f (x) 的解析式;

) (3)计算 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2013 的值。

题型三:函数性质的综合应用 例 3、
2 (1)已知 f (x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? x ? 1,求 f (x) 的解析式;

ex a ? 是 R 上的偶函数,求实数 a 的值; (2)设 a ? 0 , f ( x) ? a ex
(3)已知奇数 f (x) 的定义域为 ?? 2,2? ,且在区间 ?? 2,0? 内递减,求满足:

f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的取值范围。

巩固练习: 1、已知 f ( x) ? ax ? bx 是定义在 ?a ? 1,2a ? 上的偶函数,那么 a ? b 的值是(
2



17

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A、 ?

1 3

B、

1 3

C、

1 2

D、 ?

1 2


2、若函数 f ( x) ? 3x ? 3? x 与 g ( x) ? 3x ? 3? x 的定义域均为 R,则( A、 f ( x)与g ( x) 均为偶函数 C、 f ( x)与g ( x) 均为奇函数 B、 f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数 D、 f (x) 为奇函数, g (x) 为偶函数

3、已知 f (x) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ,当 x ? ?0,2? 时, f ( x) ? 2 x 2 ,

) 则 f (2011 ? (

) A、 ? 2

B、2

C、 ? 98

D、98

5、设偶函数 f (x) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 x f ( x ? 2) ? 0 =( A、 x x ? ?2或x ? 4

?

?

) D、 x x ? ?2或x ? 2

?

?

B、 x x ? 0或x ? 4

?

?

C、 x x ? 0或x ? 6

?

?

?

?

6、若 f (x) 是 R 上的周期为 5 的奇函数,且满足 f (1) ? 1, f (2) ? 2 ,则 f (3) ? f (4) ? 等于 ( )A、 1 B、 ? 1 C、 2 D、 ? 2 )

7、若偶函数 f (x) 在 (??,0) 内单调递减,则不等式 f (?1) ? f (lg x) 的解集为( A、 (0,10) B、 (

1 ,10) 10

C、 (

1 ,?? ) 10

D、 (0,

1 ) ? (10,?? ) 10

8、已知函数 f (x) 是 (??,??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当

) ) x ? ?0,2? 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,则 f (?2011 ? f (2012 的值为(
A、 ? 2 B、 ? 1 C、 1 D、



2
。 。

9、若函数 f ( x) ? log a ( x ?
x

x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则实数 a 的值是
?x

10、设函数 f ( x) ? x(e ? ae )(x ? R) 是偶函数,则实数 a 的值为 11、如果函数 y ? ?

?2 x ? 3, x ? 0 是奇函数,则 f (x) ? ? f ( x) , x ? 0



12、函数 f (x) 的定义域为 D ? x x ? 0 ,且满足对于任意 x1 、 x2 ? D ,都有

?

?

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。
(1)求 f (1) 的值; (2)判断 f (x) 的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f (4) ? 1, f ( x ? 1) ? 2, 且 f (x) 在 (0,??) 上是增函数,求 x 的取值范围。
18

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学案 6 指数与指数函数 考点梳理: 1、n 次根式的定义: 2、n 次根式的性质: (1)当 n 为奇数时, n a n ? (2)当 n 为偶数时, n a n ? 3、有理指数幂的意义: (1)正整数指数幂 a ?
n

。 。 。 。 ( a ? 0)
?p

(2)零指数幂 a ?
0

(3)负整数指数幂 a

?

(a ? 0, p ? N ? )
( a ? 0, m, n ? N , m ? 1 )
?

n

(4)正分数指数幂 a m ?
n m

(5)正分数指数幂 a

?

?

( a ? 0, m, n ? N , m ? 1 )

?

4、有理指数幂的运算性质:设 a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ,则: (1) a ? a ?
r s

(2) (a ) ?
r s

(3) (ab) ?
r

5、指数函数的定义:函数 叫指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R。 6、根据图像和性质,填写下表:

y ? ax

0 ? a ?1

a ?1

图像 定义域 值域 性质 (1)过定点( (2) R 上是 在
?x

) 函数 (增、 减) (2)在 R 上是 函数(增、减)

7、函数 y ? a 与 y ? a
x

的图像关于

对称。

19

高三文科第一轮复习考点汇编系列

思考: y ? a x , y ? a (a ? 0, a ? 1) 二者之间有何关系?
x

典例分析: 考点一:指数式的化简、求值。 例 1、计算: 73 3 ? 33 24 ? 63

1 4 3 ? 3 3 9
? 1 2

变式训练: (0.0081 )

?

1 4

?1 1 7 0 ? ? ?0.25 27 ? 3 ? ? ? ?3 ? ( ) ? ? ?81 ? ( ) ? 8 ? ? 8 ? ?

1

? 10? 0.0273

考点二:指数函数图象的应用 例 2、已知指数函数 f ( x) ? a (1)求 f (x) 的解析式; (3)求函数的值域;
x ?1

3 (a ? 0, a ? 1) , f (x) 的图像过 ( 0, ) 2
(2)判定函数的奇偶性; (4)确定函数的单调区间。

x 变式训练:已知 f ( x ) ? 2 ? 1 ,

(1)求 f (x) 的单调区间; (2)比较 f ( x ? 1) 与 f (x) 的大小; (3)试确定函数 g ( x) ? f ( x) ? x 零点的个数。
2

考点三:指数函数性质的应用 例 3、已知 f ( x) ?

a (a x ? a ? x )( a ? 0 且 a ? 1). a ?1
2

(1)判断 f (x) 的奇偶性;

(2)讨论 f (x) 的单调性;

(3)当 x ? ?? 1,1?时, f ( x) ? b 恒成立,求 b 的取值范围。

变式训练:1、函数 f ( x ) ? ( ) 2、已知 f ( x) ? (

1 3

? x 2 ?4 x ?3

的单调区间为

,值域为



1 1 ? ) x 3 (a ? 0 且 a ? 1) a ?1 2
x

(1)求函数 f (x) 的定义域;

(2)讨论 f (x) 的奇偶性;
20

高三文科第一轮复习考点汇编系列

(3)求 a 的取值范围,使 f ( x) ? 0 在定义域上恒成立。
8 4 巩固练习:1、化简 4 16 x y ( x ? 0, y ? 0) 得(



A、 2 x 2 y

B、 2 xy

C、 4 x 2 y

D、 ? 2 x 2 y )

1、已知 a ? 30.2 , b ? (0.2)?3 , c ? 3?0.2 ,则 a、b、c 的大小关系是( A、 a ? b ? c B、 b ? a ? c C、 c ? a ? b ) D、 b ? c ? a

4x ?1 2、函数 f ( x) ? 的图像 ( 2x

A、关于原点对称 B、关于直线 y ? x 对称 C、关于 x 轴对称 D、关于 y 轴对称
m

4、设 m, n 是正整数, a 是正整数,观察下列各式:① a n ? ③a
? m n

n

a m ② a0 ? 1
C、2 个 D、3 个

?

1
n

其中正确的有 (



am
2 x

A、0 个

B、1 个

5、函数 y ? (a ? 1) 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A、 a ? 1 B、 a ? 2 C、 a ? 2 D、 1 ? a ? 2



x 6、 若函数 f (x) 、g (x) 分别为 R 上的奇函数、 偶函数, 且满足 f ( x) ? g ( x) ? e , ( 则有



A、 f (2) ? f (3) ? g (0) B、 g (0) ? f (3) ? f (2) C、 f (2) ? g (0) ? f (3) 7、函数 f ( x) ? 2 y -1 0 8、设 3 ?
x

D、 g (0) ? f (2) ? f (3) ( y -1 0 x ) y 0 1 x

x?1

的图像是 y

x

0 1

1 , 则( 7
x

) A、 ? 2 ? x ? ?1 B、 ? 3 ? x ? ?2 C、 ? 1 ? x ? 0 D、 0 ? x ? 1 )

9、若函数 f ( x) ?

1 ,则该函数在 (??,??) 上是 ( 2 ?1
的定义域为 ,值域为

A、单调递减无最小值 B、单调递减无最大值 C、单调递增无最小值 D、单调递增无最大值 10、函数 y ? 3 11、函数 y ? a
x ?2

。 。

x ? 2012

? 2013 a ? 0 且 a ? 1) 的图像恒过定点 (
2x

12、已知函数 f ( x) ? a

? 2a x ?1(a ? 0 且 a ? 1) 在区间 ?? 1,1? 上的最大值为 14,求实数 a
21

高三文科第一轮复习考点汇编系列

的取值。

22


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