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2014—2015学年上学期烟台市期末考试高二数学文


2014-2015 学年度第一学期高二期末检测 文科数学答案
一.选择题:BBDAB 二.填空题 11. x ? 2 y ? 0 三.解答题 16.解: 若 p 为真,则 0 ? a ? 1 ; ………2 分 ………5 分 ………8 分 ………11 分 ………12 分 ………2 分 CDACB 12. -

1 2e

1

3. x ? 2 y ? 8 ? 0

14. ?

3

?

15.

1 2

1 1 3 ? 1 ,所以 ? a ? . 2 2 2 1 若 p 真 q 假,则 0 ? a ? ; 2 3 若 p 假 q 真,则 1 ? a ? , 2 1 3 综上, 0 ? a ? 或 1 ? a ? . 2 2
若 q 为真,则 0 ? a ?
x 17.解: 由 1 ? 2 ? 8 ,得 0 ? x ? 3 ,

因为 ?p 是 ?q 的必要条件,所以 p 是 q 的充分条件,…………5 分 所以不等式 x ? mx ? 4 ? 0 对 ?x ? ? 0, 3? 恒成立,
2

所以 m ?

x2 ? 4 4 ? x ? 对 ?x ? ? 0, 3? 恒成立. x x

……………9 分

因为 x ?

4 4 ? 2 x ? =4 ,当且仅当 x ? 2 时等号成立,所以 m ? 4 . ……12 分 x x
………2 分

18.解: (1)依题意, f ?(3) ? 0 ,解得 m ? ?6 , 由已知可设 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? n ,
3 2

因为 f (0) ? 0 ,所以 n ? 0 , 则 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x , f ?( x) ? 3x ?12 x ? 9 .
3 2 2

………5 分

列表:

x

1? ? ?? ,
+ 递增

1

3? ?1 ,
递减

3

+?? ?3 ,
+ 递增

f ?( x)

0
极大值 4

0
极小值 0

f ( x)

由上表可知 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值为 f (1) ? 4 ,

f ( x) 在 x ? 3 处取得极小值为 f (3) ? 0 .
(2)当 x ? ? 0 , 1? 时,直线 OM 斜率 k ?

………………8 分

f ( x) x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? ? ( x ? 3)2 , x x

因为 0 ? x ? 1 ,所以 ?3 ? x ? 3 ? ?2 ,则 4 ? ( x ? 3)2 ? 9 , 即直线 OM 斜率的最小值为 4. ………12 分

2) , 19.解:(1)建立如图的直角坐标系,则 P(10,
设椭圆方程为

x2 y 2 + ?1. a 2 b2

将 b ? h ? 3 ? 3 与点 P 代入方程,得

a ? 6 5 , l ? 2a ? 12 5 ,所以隧道的拱宽为 12 5m . ………5 分
(2) 要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小,只需半椭圆面积最小即可. 由

x2 y 2 102 22 + ? 1 + ? 1. ,得 a 2 b2 a 2 b2 102 22 2 ?10 ? 2 + ? ,即 ab ? 40 , a 2 b2 ab

因为

所以半椭圆面积 S ?

? ab
2

? 20? ,

102 22 1 当 S 最小时,有 2 = 2 = ,得 a ? 10 2 , b ? 2 2 , ………10 分 a b 2
此时 l ? 2a ? 20 2 , h ? b ? 3 ? 2 2 ? 3 , 隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 20. 解: (1)设椭圆 C 的方程为 ………………12 分

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c . a 2 b2

?c 1 ? ? 2 2 2 依题意 ? a 2 ,解得 c ? 1 , a ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 3 . ? ?a ? c ? 1
所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

……………4 分

(2)不存在实数 m ,使 | OA ? OB |?| OA ? OB | . 证明如下: 把 y ? ?mx ? 1 代入椭圆 C: 3x2 ? 4 y 2 ? 12 中, 整理得 (3 ? 4m2 ) x2 ? 8mx ? 8 ? 0 .

……………5 分

……………7 分

由于直线 l 恒过椭圆内定点 ? 0, ?1? ,所以判别式 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8m ?8 , x1 ? x2 ? . ……9 分 2 4m ? 3 4m 2 ? 3

依题意,若 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,平方得 OA ? OB ? 0 . 即 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (?mx1 ? 1) ? (?mx2 ? 1) ? 0 , 整理得 (m2 ? 1) x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 , 所以 (m2 ? 1)

?8 5 8m2 ? ? 1 ? 0 ,整理得 m 2 ? ? ,矛盾. 2 2 4 m ? 3 4m ? 3 12
…………13 分

所以不存在实数 m ,使 | OA ? OB |?| OA ? OB | .

21.解:(1)? f ( x) 定义域为 ? 0 , ? ?? ,

…………1 分

? f ?(x) ?

1 ? ln x , x2
………3 分

1 1 f ( ) ? ?e , k ? f ?( ) ? 2e 2 , e e 1 ? 函数 y ? f ( x) 在 x ? 处的切线方程为: e 1 y ? e ? 2e 2 (x ? ) ,即 y ? 2e2 x ? 3e . e
(2)令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e ,

……5 分

? 当 x ? (0 ,e) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0 ,e) 上为增函数,

? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,在 (e , ? ?) 上为减函数, ………7 分 当 x ? (e ,
1 ? f ( x) max ? f (e) ? . e (3)? a ? 0 ,由(2)知:
……………8 分

? ?) 上单调递减, F ( x) 在 (0 ,e) 上单调递增,在 (e ,

2a? 上的最小值 F ( x)min ? min{F (a),F (2a)} . ……10 分 ? F ( x) 在 ?a ,
F (a) ? F (2a) ? 1 a ln , 2 2
…………11 分

? 当 0 ? a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0 , f min ( x) ? F (a) ? ln a ,
当 a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0 , f ( x)min ? F (2a ) ?

1 ln 2a . ………14 分 2


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