tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关文档
当前位置:首页 >> 数学 >>

贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学理试题含解析


2014-2015 学年第一学期高三第二次模拟考试 理科数学
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能,以能力测试为主导,在注重 考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识 考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、不等式、复 数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体

几何、数列、函数 的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换、概率等;考查学生解决实际问题的综合能 力,是份较好的试卷. 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 【题文】1、设全集是 R,函数(x ) f ( x) ? 1 - x 的定义域为 M,则 C R M 为(
2



1? A. ?? 1,

B.?? 1,1?

? ?? C. ?? ?,?1? ? ?1,

D. ( - ?, -1 ) ? (1, ? ?)

【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】D 由 1-x 2 ≥ 0 , 得 -1 ≤ x ≤ 1 , 即 M=[-1 , 1] , 又 全 集 为 R ,
所 以 ? R M= ( - ∞ , -1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) . 故 选 D.

【思路点拨】根据函数的定义域求出范围,再求补集。

(3 - 4i)z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为( 【题文】2 若复数 z 满足
A.-4 B. ?



4 5

C.4

D.

4 5

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】D∵ 复 数 z 满 足 ( 3-4i ) z=|4+3i| , ∴ z=

4 ? 3i 3 ? 4i

=

5 5(3 ? 4i ) = 3 ? 4i 25

=

3 4 + 5 5

i, 故 z 的 虚 部 等 于

4 5

, 故 选 D.

【思路点拨】由 题 意 可 得 z= z=

4 ? 3i 3 ? 4i

=

5 ,再 利 用 两 个 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 法 法 3 ? 4i

则化简为

3 4 + 5 5

i, 由 此 可 得 z 的 虚 部 .

【题文】3、在数列 ?an ? 中,若a1 ? 1, a2 ? 项公式为( A. an ? ) B. an ?

1 2 1 1 (n ? N ?) ,则该数列的通 , ? ? 2 an ?1 an an ? 2 2 n?2 3 n

1 n

2 n ?1

C. an ?

D. an ?

【知识点】等差数列 D2

1

【答案解析】A ∵

2 1 1 ? ? an ?1 an an ? 2

,∴数列{

1 an

} 是 等 差 数 列 , ∵ a 1 =1 , a 2 =

1 , 2



1 an

=n , ∴ a n =

1 , 故 选 A. n
} 是 等 差 数 列 ,即 可 求 出 数 列 的 通 项 公 式 .

【思路点拨】 由

2 1 1 1 ,确 定 数 列 { ? ? an ?1 an an ? 2 an

【题文】4、设 ? 表示平面, a, b 表示两条不同的直线,给定下列四个命题: , 3)a ? ? , a ? b ? b // ? (1)a // ? , a ? b ? b ? ? , (2)a // b, a ? ? ? b ? ? (

(4)a ? ? , b ? ? ? a // b 其 中 正 确 的
是( ) A.(1)(2) B.(2)( 4) C.(3)(4) 【知识点】 空间中的平行关系 ,
空间中的垂直关系 G4 G5

D.(2)(3)

【答案解析】B

如图在长方体

ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 令 直 线 A 1 B 1 =a , B 1 C 1 =b , 底 面 ABCD= α , 显 然 a ∥ α , a⊥ b, 但 b∥ α , 故 ① 假 命 题 ; 类 似 的 令 AA 1 =a , AD=b , 底 面 ABCD= α , 显 然 满 足 a⊥ α , a⊥ b, 但 b ? α , 故 ③ 假 命 题 ; 对 于 ② ④ , 根 据 两 条 平 行 线 中 的 一 条 垂 直 于 某 个 平 面 ,则 另 一 条 也 垂 直 于 这 样 平 面 ;以 及 垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 条 直 线 互相平行.知②④都是真命题.

【思路点拨】对 于 ① 与 ③ , 可 以 利 用 长 方 体 中 的 线 ( 棱 ) 与 面 ( 表 面 、 或 对 角 面 ) 间 的
关系进行判断;对于②与④,根据线面垂直的性质定理判断.

【题文】 5、 在由 y=0,y=1,x=0,x= ? 四条直线围成的区域内任取一点, 这点没有落在 y ? sin x 和 x 轴围成区域内的概率是( A.1) C.

2

?

B.

2

?

1 2

D.

3

?

【知识点】几何概型 K3 【答案解析】 A 设 y=sinx 和 x 轴 所 围 成 区 域 面 积 为 S 1 .则 S 1 =

? ? 0 sinxdx=-cosx
? ?2 2 =1? ?

? 0

=2 .

设 由 y=0 , y=1 , x=0 , x= π 四 条 直 线 围 成 的 区 域 面 积 为 S 2 , 则 S 2 = π 所 以 这 点 没 有 落 在 y=sinx 和 x 轴 所 围 成 区 域 内 的 概 率 是 : p= . 故 选 A.

【思路点拨】设 y=sinx 和 x 轴 所 围 成 区 域 面 积 为 S 1 ,由 y=0 , y=1 , x=0 , x= π 四 条 直 线
围 成 的 区 域 面 积 为 S 2 , 则 所 求 概 率 p=

S2 ? S1 S2
2

, 由 定 积 分 可 求 得 S1, 又 S2 易 求 .

【题文】 6、 在 ?ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 AD =2 DB ,CD ? 的值为( ) B.

?

?

?

? 1 ? CA? ? CB ,则 ? 3

A.

2 3

1 3

C. ?

1 3

D. ?

2 3
1 3 2 ,故选 3

【知识点】 单元综合 F4 【答案解析】A 在 △ ABC 中 , 已 知 D 是 AB 边 上 一 点 ∵ AD ? 2DB, CD = CA ? ? CB ,


CD ? CA ? AD = CA ?

2 2 1 2 AB = CA + ( CB - CA )= CA + CB ∴ λ 3 3 3 3

=

A.

【思路点拨】本 题 要 求 字 母 系 数 , 办 法 是 把 CD 表 示 出 来 , 表 示 时 所 用 的 基 底 要 和 题 目
中所给的一致,即用

CA 和 CB 表 示 , 画 图 观 察 , 从 要 求 向 量 的 起 点 出 发 , 沿 着 三 角 形

的边走到终点,把求出的结果和给的条件比较,写出λ .

【题文】 7 、下边方框中为一个求 20 个数的平均数的程序,则在横线上应填的语句为 ( A. i ? 20 C. i ? ? 20 ) B. i ? 20 D. i ? ? 20

【知识点】算法与程序框图 L1 【答案解析】A 由 程 序 的 功 能 是 求 20 个 数 的 平 均 数 ,
则 循 环 体 共 需 要 执 行 20 次 , 由 循 环 变 量 的 初 值 为 1 , 步 长 为 1 , 故 当 循 环 20 次 时 ,此 时 循 环 变 量 的 值 为 21 应 退 出 循 环 ,又 因 直 到 型 循 环 是 满 足 条 件 退 出 循 环 , i > 20 时 退 出 循 环 . 故 选 A

【思路点拨】由 程 序 的 功 能 是 求 20 个 数 的 平 均 数 , 则 循 环 体 共 需 要 执 行 20 次 , 由 循 环
变 量 的 初 值 为 1 , 步 长 为 1 , 故 当 循 环 20 次 时 , 此 时 循 环 变 量 的 值 为 21 应 退 出 循 环 , 又由直到型循环是满足条件退出循环,故易得结论.

?2 x ? y ? 2 ? 0 y ?1 ? 【题文】8、设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 S= 的取值范围是( x ?1 ?x ? y -1 ? 0 ?
A. ?1, ?



? 3? ? 2?

B. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

C. ? , 2?

?1 ? ?2 ?

2? D. ?1,

【知识点】简单的线性规划问题 E5

3

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 【答案解析】D 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 的 可 行 域 如 下 图 所 示 : 根 据 题 意 , ? x ? y ?1 ? 0 ?
y ?1 可 以 看 作 是 可 行 域 中 的 一 点 与 点( -1 ,-1 )连 线 的 斜 率 ,由 图 分 析 易 得 :当 x ?1 y ?1 1 y=O 时 , 其 斜 率 最 小 , 即 s= 取 最 小 值 当 x=0 , y=1 时 , 其 斜 率 最 大 , x ?1 2 y ?1 y ?1 1 即 s= 取 最 大 值 2 故 s= 的 取 值 范 围 是 [ , 2] 故 选 D x ?1 x ?1 2
s= x=1 ,

【思路点拨】先 根 据 已 知 中 , 变 量 x , y

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,画 出 满 足 约 束 条 ? x ? y ?1 ? 0 ?

件 的 可 行 域 , 进 而 分 析 s= 即可求出答案.

y ?1 的几何意义,我们结合图象,利用角点法, x ?1
2

【题文】9、已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1, 抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直 线 l1和l2的距离之和的最小值是 ( )

A.

3 5 5

B.2

C.

11 5

D.3

【知识点】抛物线及其几何性质 H7 【答案解析】A 直 线 l 2 : x=-1 为 抛 物 线 y 2 =4x 的 准 线 , 由 抛 物 线 的 定 义 知 , P 到 l 2 的 距
离 等 于 P 到 抛 物 线 的 焦 点 F ( l 2 , 0 ) 的 距 离 , 故 本 题 化 为 在 抛 物 线 y 2 =4x 上 找 一 个 点 P 使得 P 到点 F ( l2, 0) 和 直 线 l2 的 距 离 之 和 最 小 , 最小值为 F ( l2, 0) 到 直 线 l2: 4x-3y+6=0 的 距 离 , 即 d=

4?0?6 ? 2 = 2, 故 选 5

A.

【思路点拨】先 确 定 x=-1 为 抛 物 线 y 2 =4x 的 准 线 ,再 由 抛 物 线 的 定 义 得 到 P 到 l 2 的 距 离
等 于 P 到 抛 物 线 的 焦 点 F( l 2 , 0 ) 的 距 离 , 进 而 转 化 为 在 抛 物 线 y 2 =4x 上 找 一 个 点 P 使 得 P 到 点 F( l 2 , 0 )和 直 线 l 2 的 距 离 之 和 最 小 ,再 由 点 到 线 的 距 离 公 式 可 得 到 距 离 的 最 小值.
m 【题文】 10、 设函数 f ( x) ? x ? ax 的导函数为 f ?( x) ? 2 x ? 1 , 则数列 ?

? 1 ? ? ?(n ? N ) 的 ? f ( n) ?

前 n 项和是( A.

) B.

n n ?1

n?2 n ?1

C.

n n ?1

D.

n ?1 n

【知识点】数列求和 D4 【 答 案 解 析 】 A f ′ ( x ) =mx m - 1 +a=2x+1 , ∴ a=1 , m=2 , ∴ f ( x ) =x ( x+1 ) ,

4

1 1 1 = = f ( n ) n(n ? 1) n

-

1 n , 用 裂 项 法 求 和 得 Sn= , 故 选 A. n ?1 n ?1

【思路点拨】函 数 f ( x ) =x m +ax 的 导 函 数 f ′ ( x ) =2x+1 , 先 求 原 函 数 的 导 数 , 两 个 导
数 进 行 比 较 即 可 求 出 m, a, 然 后 利 用 裂 项 法 求 出

1 的前 f (n)

n 项和,即可.

【题文】11、设 a, b, m为整数(m ? 0) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模
1 2 20 m 同余,记作 a ? b(mod m) ,已知 a ? 1 ? 2C20 ? 2 2 C20 ? ? ? 2 20 C20 , 且a ? b(mod10),

则 b 的值可为( ) A.2011 B.2012 【知识点】二项式定理 J3

C.2009

D.2010

1 2 20 【答案解析】 A a=1+2 C20 +2 2 C20 + … +2 2 0 C20 = ( 1+2 )2 0 =3 2 0 = ( 80+1 )5 ,∵ a ≡ b ( mod10 ),

∴ b 的 个 位 必 须 为 1. 故 选 A.

【思路点拨】利 用 二 项 式 定 理 可 得 a= ( 1+2 ) 2 0 = ( 80+1 ) 5 , 要 满 足 a ≡ b ( mod10 ) ,则
b 的 个 位 必 须 为 1.

【题文】12、函数 f ( x) ? cos ?x与函数g ( x) ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为 ( ) A.0 B.2 【知识点】函数与方程 B9 C.4 D.6

【答案解析】C 由 图 象 变 化 的 法 则 可 知 :
y=log 2 x 的 图 象 作 关 于 y 轴 的 对 称 后 和 原 来 的 一 起 构 成 y=log 2 |x| 的 图 象 , 在 向 右 平 移 1 个 单 位 得 到 y=log 2 |x-1| 的 图 象 , 再 把 x 轴 上 方 的 不 动 , 下 方 的 对 折 上 去 可 得 g ( x ) =|log 2 |x-1|| 的 图 象 ; 又 f ( x ) =cos π x 的 周 期 为 两 图 象 都 关 于 直 线 x=1 对 称 , 且 共 有 ABCD4 个 交 点 , 由 中 点 坐 标 公 式 可 得 : x A +x D =2 , x B +x C =2 故 所 有 交 点 的 横 坐 标 之 和 为 4, 故选 C

2? ?

=2 , 如 图 所 示 :

【思路点拨】 . 由图象变化的法则和余
弦函数的特点作出函数的图象,由 对称性可得答案.

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 【题文】13.三棱锥 D-ABC 及三视图 中的主视图和左视图分别是如图所示,则棱 BD 的长为_________.

5

【知识点】 空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案解析】4

2

由 主 视 图 知 CD ⊥ 平 面 ABC ,设 AC 中 点 为 E ,则 BE ⊥ AC ,且 AE=CE=2 ;

由 左 视 图 知 CD=4 , BE=2 在 Rt △ BCD 中 , BD=

3 ,在

Rt △ BCE 中 , BC=

BE2 ? EC2

=

(2 3) 2 ? 22 =4,

BC 2 ? CD2 = 42 ? 42 ? 4 2 , 故 答 案 为 : 4 2 .

【思路点拨】由 主 视 图 知 CD ⊥ 平 面 ABC 、 B 点 在 AC 上 的 射 影 为 AC 中 点 及 AC 长 ,
左 视 图 可 知 CD 长 及 △ ABC 中 变 AC 的 高 , 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 出 棱 BD 的 长 .

【题文】14.当 x ? 1时,不等式x ? 【知识点】基本不等式 ab ?

a?b 2

1 ? a 恒成立,则实数 a 的最大值为_________. x ?1
E6

【答案解析】3 由 已 知 , 只 需 a 小 于 或 等 于 x +

1 的最小值当 x ?1

x > 1 时 , x-1 > 0 ,

x+

1 1 1 1 = x ? 1+ +1 ≥ 2 ( x ? 1) ? , ?1 ? 3 , 当 且 仅 当 x?1= x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

x=2 时 取 到 等 号 , 所 以 应 有 a ≤ 3 , 所 以 实 数 a 的 最 大 值 是 3 故 答 案 为 3

【思路点拨】由 已 知 ,只 需 a 小 于 或 等 于 x +
根据结构形式,可用基本不等式求出.

1 的 最 小 值 ,转 化 为 求 不 等 式 的 最 小 值 , x ?1

【题文】15.已知函数 f ( x)的导函数f ?( x) ? a ( x ? 1)( x ? a ). 若 f ( x)在x ? a 处取得极大值, 则 a 的取值范围是_________. 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】 ( -1 , 0 ) . ∵ f ′ ( x ) =a ( x+1 ) ( x-a ) 且 f ( x ) 在 x=a 处 取 到 极 大 值 ,
则 必 有 x < a 时 , f ′ ( x ) =a ( x+1 ) ( x-a ) > 0 , 且 x > a 时 , f ′ ( x ) =a ( x+1 ) ( x-a ) < 0 ,当 a ≥ 0 时 , 不 成 立 ,当 -1 < a < 0 时 ,有 x < a 时 , f ′( x ) > 0 , x > a 时 , f ′( x ) < 0 , 符 合 题 意 ; 当 a ≤ -1 时 , 有 x < a 时 , f ′ ( x ) < 0 , x > a 时 , f ′ ( x ) > 0 , f ( x ) 在 x=a 处 取 到 极 小 值 , 综 合 可 得 : 1 < a < 0 , 故 答 案 为 ( -1 , 0 ) .

【思路点拨】根 据 题 意 , 由 f ( x ) 在 x=a 处 取 到 极 大 值 , 分 析 可 得 有 x < a 时 , f ′ ( x )
> 0, x> a 时 , f′ ( x) < 0, 分 3 种 情 况 讨 论 x> a 时 与 x< a 时 的 f ′ ( x) 的 符 号 , 综 合可得答案
2 2 【题文】 16.直线 y ? kx ? 3与圆(x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 相较于 M、 N 两点, 若 MN ? 2 3 ,

则 k 的取值范围是________.
6

【知识点】直线与圆 H4 【答案解析】[-

3 4

, 0] 设 圆 心 ( 3 , 2 ) 到 直 线 y=kx+3 的 距 离 为 d , 由 弦 长 公 式 得 , MN=2

4? d2
∴-

≥2

3 ,故

d≤ 1, 即

3k ? 2 ? 3 k ?1
2

≤ 1 , 化 简 得 8k ( k+

3 ) ≤ 0, 4

3 4

≤ k ≤ 0 , 故 答 案 为 [-

3 4

, 0] .

【思路点拨】由 弦 长 公 式 得 , 当 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 1 时 , 弦 长 等 于 2
长大于或等于 2

3 ,故当弦

3 时,圆心到直线的距离小于或等于

1,

解此不等式求出 k 的取值范围.

三、解答题(17~21 题每小题 12 分,共 60 分) 【题文】17.已知函数 f ( x) ? (1)求 f (?

2 cos( x ?

?
12

), x ? R.

?
6

) 的值: 3 3? ? , ? ? ( ,2? ), 求f (2? ? ) 5 2 3
17 25

(2) 若 cos ? ?

【知识点】 两角和与差的正弦、余弦 C5 【答案解析】( 1 ) 1 ( 2 )

( 1 ) f (?

? ? ? ? 2 ) = 2 cos(? ? ) = 2 cos(? ) = 2 × =1 6 6 12 4 2
cosθ =

3 3? 4 , θ∈ ( , 2π) 所 以 sinθ = ? 1 ? cos? 2 = ? 5 2 5 4 3 24 所 以 sin2θ = 2sinθcosθ = 2×( ? )× = ? 5 5 25 3 4 7 cos2θ = cos 2 θ? sin 2 θ = ( ) 2 ?(? ) 2 = ? 5 5 25 ? ? ? ? 7 所 以 f (2θ+ ) = 2 cos(2θ+ ? ) = 2 cos(2θ+ ) = cos2θ?sin2θ = ? 3 3 12 4 25 24 17 ?(? )= 25 25
( 2) 因 为

【思路点拨】( 1 ) 把 x=-

? 6

直接代入函数解析式求解.

( 2 ) 先 由 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 出 sin θ 的 值 以 及 sin2 θ , 然 后 将 x=2 θ + 代入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果.

? 3

【题文】18.某电视台举办的闯关节目共有五关,只有通过五关才能获得奖金,规定前三关 若有失败即结束, 后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯关的机会, 已知某人

7

前三关每关通过的概率都是

2 1 ,后两关每关通过的概率都是 。 3 2

(1)求该人获得奖金的概率。 (2) 设该人通过的关数为 ? , 求随机变量 ? 的分布列及数学期望。 【知识点】离散型随机变量及其分布列 K8 【答案解析】( 1 )

4 16 (2) 27 9

( 1 ) 设 A n ( n=1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 表 示 该 人 通 过 第 n 关 ,则 A n( n=1 ,2 ,3 ,4 ,5 ) 相 互 独 立 , 且 P( An) =

2 1 ( n=1 , 2 , 3 ) , P ( A 4 ) =P ( A 5 ) = 3 2
( A 1 A 2 A 3 A 4 A5 A 5 ) A4 A 4 A 5 )+P

∴ 该 人 获 得 奖 金 的 概 率 为 P=P ( A1A2A3A4A5) +P ( A1A2A3 =(

2 3 1 2 2 1 4 ) ×( ) +2 × ( ) 3 ×( ) 3 = ; 3 2 3 2 27

( 2) ξ 的 可 能 取 值 为 0, 1, 2, 3, 4, 5, 则

1 2 1 2 2 2 1 4 ; P ( ξ =1 ) = × = ; P ( ξ =2 ) = × × = ; 3 3 3 9 3 3 3 27 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 P ( ξ =3 ) = × × × × = ; P ( ξ =4 ) = × × × × × ×2 = ; 3 3 3 2 2 27 3 3 3 2 2 2 27 4 P ( ξ =5 ) = , 27
P ( ξ =0 ) = ξ 的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5

P

1 3

2 9

4 27

2 27

2 27

4 27

∴ E ξ =1 ×

2 4 2 2 4 16 +2 × +3 × +4 × +5 × = . 9 27 27 27 27 9

【思路点拨】( 1 )设 A n( n=1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 表 示 该 人 通 过 第 n 关 , 则 该 人 获 得 奖 金
的 概 率 为 P=P ( A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ) +P ( A 1 A 2 A 3 结论; ( 2) 确 定 变 量 的 取 值 , 求 出 相 应 的 概 率 , 即 可 求 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 及 数 学 期 望 .

A4 A 4 A 5 ) +P ( A 1 A 2 A 3 A 4 A5 A 5 ) , 即 可 求 得

【题文】19.如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1中,点O、E分别是A1C1、AA1的中点,

AO ? 面A1 B1C1 .已知 ?BCA ?

?
2

, AA1 ? AC ? BC ? 2.

8

(1)证明: OE // 面AB1C1 ; (2)求异面直线 AB1与A1C 所成的角; (3)求 A1C1与面AA1 B1所成角的正弦值 。 【知识点】空间角 空间中的平行关系 G11 G4 【答案解析】 (Ⅰ) 略 (Ⅱ) 90 ° (Ⅲ)

21 7

( Ⅰ ) 证 明 : ∵ 点 O 、 E 分 别 是 A 1 C 1 、 AA 1 的 中 点, ∴ OE ∥ AC 1 , 又 ∵ EO ? 平 面 AB 1 C 1 , AC 1 ? 平 面 AB 1 C 1 , ∴ OE ∥ 平 面 AB 1 C 1 . ( Ⅱ ) 如 图 建 系 O-xyz , A (0 , 0 ,

3 ),

A 1 (0 , ? 10) , E (0 , ?

1 3 , ), 2 2

C 1 ( 0 , 1 , 0 ) , B 1 ( 2 , 10 ) , C (0 , 2 , (Ⅱ)∵

3 ).

AB1 = (2 , 1 , ? 3 ) , AC1 = (0 , 3 , - 3 ) , ∴ AB1 ? AC1 = 0 ,

即 ∴ AB 1 ⊥ A 1 C , ∴ 异 面 直 线 AB 1 与 A 1 C 所 成 的 角 为 90 °. ( Ⅲ )设 A 1 C 1 与 平 面 AA 1 B 1 所 成 角 为 θ ,∵

AC 1 1 = (0 ,2 ,0) , A 1B 1 = (2 ,2 ,0) ,

A1 A1 = (0 , 1 , 3 ) 设 平 面 AA 1 B 1 的 一 个 法 向 量 是 n = ( x , y , z )


? A1 B1 ? n ? 0 ? 3 ?2 x ? 2 y ? 0 ? 即? 不 妨 令 x=1 , 可 得 n = (1 , ? 1 , ), ? 3 y ? 3 ? z ? A A ? n ? 0 ? ? ? 1 1

∴ sinθ = cos <

AC 1 1 ,n >=
2

2 7 3

?

21 21 ,∴ A 1 C 1 与 平 面 AA 1 B 1 所 成 角 的 正 弦 值 7 7

【思路点拨】 ( Ⅰ ) 证 明 OE ∥ AC 1 , 然 后 证 明 OE ∥ 平 面 AB 1 C 1
( Ⅱ )通 过

AB1 ? AC1 = 0 ,证 明 AB 1 ⊥ A 1 C ,推 出 异 面 直 线 AB 1 与 A 1 C 所 成 的 角 为 9 °.
n = ( x , yz )

( Ⅲ ) 设 A 1 C 1 与 平 面 AA 1 B 1 所 成 角 为 θ , 设 平 面 AA 1 B 1 的 一 个 法 向 量 是

利用

? 3 2 21 ? A1 B1 ? n ? 0 推 出 n = (1 ,? 1 , ) ,通 过 sinθ = cos < AC , ? ? 1 1 ,n > 3 7 7 A A ? n ? 0 ? ? 1 1 2 3
9

求 出 A 1 C 1 与 平 面 AA 1 B 1 所 成 角 的 正 弦 值 .

【题文】20.已知椭圆 C:

x2 y2 2 以原点为圆心,椭圆的 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率为 , 2 a b 2

短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切.过点(m,0)作圆的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)将 ?OAB的 面积表示为 m 的函数,并求出面积的最大值。 【知识点】直线与圆锥曲线 H8 【答案解析】( 1 )

x2 2 2 +y = 1( 2) 2 2
c 2 a 2 ? b2 1 ? , 则 a 2 =2b 2 ; 又 ∵ b= ) = 2 a a 2

( 1) 由 题 意 , e2=(

2 1?1
=1 ,

∴ b 2 =1 , a 2 =2 ; ∴ 椭 圆 C 的 方 程 为

x2 2 +y = 1; 2

? x2 ? ? y 2=1 ( 2 )由 题 意 ,设 直 线 l 的 方 程 为 x=ky+m ,( |m| ≥ 1 ),由 ? 2 ? x ? ky ? m ?
( k 2 +2 ) y 2 +2kmy+m 2 -2=0 . 设 A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) , 则 y 1 +y 2 =-

消去 x 得,

2km m2 ? 2 , y ; 1y2= k2 ? 2 k2 ? 2

又 由 l 与 圆 x 2 +y 2 =1 相 切 , 得

m k ?1
2

=1 , 即 m 2 =k 2 +1 , ∴ |AB|=

k 2 ?1 ? |y 1 -y 2 |

=

? 8k 2 ? 8m 2 ? 16 ? 2 2 (k 2 ? 1) ? . 又 ∵ 原 点 到 直 线 l 的 距 离 d=1 , ?= 2 2 2 ? (k ? 2) ? m ?1

∴ S△ OAB=

2m 2m 1 2 2 |AB| ? d= 2 ( m≥ 1) . 又 ∵ 2 = , ? 2 2 m ?1 m ?1 m ? 1 m
2 2

( 当 且 仅 当 m= ± 1 时 , 等 号 成 立 ) . ∴ m= ± 1 时 , △ OAB 的 面 积 最 大 , 最 大 值 为

【思路点拨】 ( 1 )由 离 心 率 及 椭 圆 的 短 半 轴 长 为 半 径 的 圆 与 直 线 x-y+
出 a, b, 从 而 得 到 椭 圆 的 方 程 ;

2 =0 相 切 求

10

( 2 ) 设 出 直 线 方 程 , 与 椭 圆 方 程 联 立 , 求 出 |AB| 的 距 离 , 表 示 出 △ OAB 的 面 积 , 利 用基本不等式求最值.

【题文】 21. 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,函数

g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? bx 。 2

(1)求实数 a 的值 (2)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】( 1 ) 1 ( 2 ) {b|b > 3} (3)
( 1 ) ∵ f ( x ) =x+alnx , ∴

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值。 2

15 ? 2 ln 2 8 a f ′ ( x ) = 1+ , x

∵ f ( x ) 在 x=1 处 的 切 线 l 与 直 线 x+2y=0 垂 直 , ∴ k=f ′ ( x ) | x = 1 =1+a=2 , 解 得 a=1 . ( 2 ) ∵ g ( x ) =lnx+

1 2 1 x 2 ? (b-1)x+1 x - ( b-1 ) x , ∴ g ′ ( x ) = + x ? ( b ? 1) = , x> 0, 2 x x

由 题 意 知 g ′ ( x ) < 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上 有 解 , 即 x+ ∴ x+

1 x

+1-b < 0 有 解 , ∵ 定 义 域 x > 0 ,

1 x

≥ 2 , x+

1 x

< b-1 有 解 , 只 需 要 x+

1 x

的 最 小 值 小 于 b-1 ,

∴ 2 < b-1 , 解 得 实 数 b 的 取 值 范 围 是 {b|b > 3} . ( 3 ) ∵ g ( x ) =lnx+

1 2 1 x 2 ? (b-1)x+1 x - ( b-1 ) x , ∴ g ′ ( x ) = + x ? ( b ? 1) = 2 x x

x > 0 ,由 题 意 知 g ′( x )< 0 在( 0 , + ∞ )上 有 解 ,∵ x > 0 ,设 μ ( x ) =x 2 -( b-1 ) x+1 , 则 μ ( 0 ) =[ln ( x 1 +

1 2 1 x 1 - ( b-1 ) x 1 ]-[lnx 2 + x 2 2 - ( b-1 ) x 2 ] 2 2

=ln

x1 x2

+

1 x 1 ( x 1 2 ? x 2 2 )?( b ? 1)( x 1 ? x 2 ) = ln 1 + ( x 1 2 ? x 2 2 )?( x 1 + x 2 )( x 1 ? x 2 ) 2 x2 2

x1 1 x12 ? x2 2 x 1 x x = ln ? ( ) = ln 1 ? ( 1 - 2 ) , x2 2 x2 2 x2 x1 x1 x2
∵ 0 < x 1 < x 2 , ∴ 设 t=

x1 x2

, 0 < t < 1 , 令 h ( t ) =lnt-

1 1 ( t- ) , 0 < t < 1 , 2 t



1 1 1 (t ? 1) 2 h ′ ( t ) = ? (1+ )= ? < 0, t 2 t 2t 2

11

∴ h( t) 在 ( 0, 1) 上 单 调 递 减 , 又 ∵ b≥ ∵ 0 < t < 1 , ∴ 4t 2 -17t+4 ≥ 0 , ∴ 0< t≤

7 2

, ∴ ( b-1 ) 2 ≥

25 , 4

1 4

, h( t) ≥ h(

【思路点拨】( 1 ) 由

15 15 -2ln2 , 故 所 求 的 最 小 值 为 ? 2 ln 2 . 8 8 a f ′ ( x ) = 1+ , 利 用 导 数 的 几 何 意 义 能 求 出 实 数 a 的 值 . x
)=

1 4

( 2) ) 由 已 知 得

g ′(x)=

1 x 2 ? (b-1)x+1 + x ? ( b ? 1) = , x> 0, x x

由 题 意 知 g ′ ( x ) < 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上 有 解 , 即 x+ 的取值范围. ( 3) 由

1 x

+1-b < 0 有 解 , 由 此 能 求 出 实 数 b

g ′(x) =

1 x 2 ? (b-1)x+1 + x ? ( b ? 1) = , x> 0, x x

由 题 意 知 g ′ ( x ) < 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上 有 解 , x > 0 , 设 μ ( x ) =x 2 - ( b-1 ) x+1 , 由 此 利 用 构 造 成 法 和 导 数 性 质 能 求 出 g ( x 1 ) -g ( x 2 ) 的 最 大 值 .

四、选做题(从 22~24 题中任选一题,在答题卡相应的位置涂上标志,多涂、少涂以 22 题计分) 【题文】22、 (满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知△ ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,
?B ? 60? ,F 在 AC 上,且 AE ? AF .

(1) 证明:B,D,H,E 四点共圆; (2) 证明: CE 平分 ?DEF . 【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1 【答案解析】 ( I ) 略 ( II ) 略
( I ) 在 △ ABC 中 , 因 为 ∠ B=60 °所 以 ∠ BAC+ ∠ BCA=120 ° 因 为 AD , CE 是 角 平 分 线 所 以 ∠ AHC=120 ° 于 是 ∠ EHD= ∠ AHC=120 °因 为 ∠ EBD+ ∠ EHD=180 °, 所 以 B , D , H , E 四 点 共 圆 ( II ) 连 接 BH , 则 BH 为 ∠ ABC 得 平 分 线 , 得 ∠ HBD=30 ° 由 ( I ) 知 B , D , H , E 四 点 共 圆 所 以 ∠ CED= ∠ HBD=30 °又 ∠ AHE= ∠ EBD=60 ° 由 已 知 可 得 , EF ⊥ AD , 可 得 ∠ CEF=30 °所 以 CE 平 分 ∠ DEF

【思路点拨】 ( I) , 要 证 明 B , D , H , E 四 点 共 圆 , 根 据 四 点 共 圆 定 理 只 要 证 ∠ EBD+ ∠
EHD=180 °即 可 ( II ) 由 ( I ) 知 B , D , H , E 四 点 共 圆 可 得 ∠ CED=30 °,要 证 CE 平 分 ∠ DEF ,只 要 证 明 ∠ CEF=30 °即 可

【题文】23、 (满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 : ?
? x ? ?4 ? cos t ? y ? 3 ? sin t

(t 为参数) ,C 2 : ?

? x ? 8cos? , ( ? 为参数). ? y ? 3sin ?

12

(1) 化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2) 若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= (t 为参数)距离的最小值. 【知识点】 选修 4-4 参数与参数方程 N3 【答案解析】( 1 )
?
2

, Q 为 C2 上的动点, 求 PQ 中点 M 到直线 C3: ?

? x ? 3 ? 2t , ? y ? ?2 ? t

x2 y 2 8 5 ? ? 1 ( 2) 64 9 5

( 1) 把 曲 线 C1:

?x=-4 ? cos t (t 为参数) ? ? y ? 3 ? sin t ? x ? 8cos ? (θ ? ? y ? 3sin ?
x2 y 2 ? ?1, 64 9

化 为 普 通 方 程 得 : ( x+4 ) 2 + ( y-3 ) 2 =1 , 所 以 此 曲 线 表 示 的 曲 线 为 圆 心 ( -4 , 3 ) , 半 径 1 的 圆 ; 把 C2: 为参数)化为普通方程得:

所 以 此 曲 线 方 程 表 述 的 曲 线 为 中 心 是 坐 标 原 点 , 焦 点 在 x 轴 上 , 长 半 轴 为 8, 短 半 轴 为 3 的椭圆; ( 2 ) 把 t=

? 代入到曲线 2

C 1 的 参 数 方 程 得 : P ( -4 , 4 ) ,

把 直 线 C3:

? x ? 3 ? 2t ( t 为 参 数 ) 化 为 普 通 方 程 得 : x-2y-7=0 , ? ? y ? ?2 ? t
3 2
sin θ )

设 Q 的 坐 标 为 Q ( 8cos θ , 3sin θ ) , 故 M ( -2+4cos θ , 2+

所 以 M 到 直 线 的 距 离 d=

4cos ? ? 3sin ? ? 13 5

=

5sin(? ? ? ) ? 13 5



( 其 中 sin α =

4 3 4 3 8 5 , cos α = ) 从 而 当 cos θ = , sin θ =- 时 , d 取 得 最 小 值 5 5 5 5 5

【思路点拨】 ( 1) 分 别 消 去 两 曲 线 参 数 方 程 中 的 参 数 得 到 两 曲 线 的 普 通 方 程 , 即 可 得 到
曲 线 C1 表 示 一 个 圆 ; 曲 线 C2 表 示 一 个 椭 圆 ; ( 2) 把 t 的 值 代 入 曲 线 C1 的 参 数 方 程 得 点 P 的 坐 标 , 然 后 把 直 线 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ,根 据 曲 线 C 2 的 参 数 方 程 设 出 Q 的 坐 标 , 利 用 中 点 坐 标 公 式 表 示 出 M 的 坐 标 ,利 用点到直线的距离公式表示出 M 到已知直线的距离,利用两角差的正弦函数公式化简 后,利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.

【题文】24、 (满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原 点的距离,y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1) 将 y 表示成 x 的函数; (2) 要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?
13

【知识点】选修 4-5 不等式选讲 N4

? 160? 10x x ? ? 0,10 ? ? 【答案解析】( 1 ) y= ? 80 ? 2x x ? (10, 20]( 2 ) x ∈ [9 , 23] ?10x ? 160  x ? (20, 30] ?
( 1 ) 由 题 设 , CO=x , CA=|10-x| , CB=|20-x| ,

故 y=4 × |10-x|+6 × |20-x| , x ∈ [0 , 30] 即

? 160? 10x x ? ? 0,10 ? ? y= ? 80 ? 2x  x ? (10, 20] ?10x ? 160  x ? (20, 30] ?

( 2 ) 令 y ≤ 70 , 当 x ∈ [0 , 10] 时 , 由 160-10x ≤ 70 得 x ≥ 9 , 故 x ∈ [9 , 10] 当 x ∈ ( 10 , 20] 时 , 由 80-2x ≤ 70 得 x ≥ 5 , 故 x ∈ ( 10 , 20] 当 x ∈ ( 20 , 30] 时 , 由 10x-160 ≤ 70 得 x ≤ 23 , 故 x ∈ ( 20 , 23] 综 上 知 , x ∈ [9 , 23]

【思路点拨】 ( 1 ) 由 题 设 描 述 CO=x , CA=|10-x| , CB=|20-x| , 由 y 表 示 C 到 A 距 离 4
倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和,直接建立函数关系即可,由于解析式含有绝对值号,故 可以将解析式转换成分段函数. ( 2) 对 ( 1) 中 的 函 数 进 行 研 究 利 用 其 单 调 性 与 值 域 探 讨 x 的 取 值 范 围 即 可 .

14


推荐相关:

贵州省遵义航天高级中学2015届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理(含解析)

贵州省遵义航天高级中学2015届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年第一学期高三第二次模拟考试 理科数学【试卷...


贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学理试题(解析版)

贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学理试题(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。贵州省遵义航天高级中学 2015 届高三上学期第二次模拟...


贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学文试题含解析

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学试题含解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年第一学期高...


贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第三次模拟考试数学理试题含解析

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第次模拟考试数学理试题含解析_数学_高中教育_教育专区。贵州省遵义航天高级中学 2015...


贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第二次模拟考试政治试题 Word版含答案

贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第二次模拟考试政治试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。12. 并购已成为企业迅速扩张和财富重组的重要手段, 你觉得下列选项...


贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第三次模拟考试政治试题含解析

贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第次模拟考试政治试题含解析_政史地_高中教育_教育专区。贵州省遵义航天高级中学 2015 届高三上学期第次模拟考试 政治试...


贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第五次模拟考试理科综合试题

贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第次模拟考试理科综合试题_数学_高中教育...2 2 23.(每空 2 分,共 10 分) ·17· 【解析】本题考查多用电表的...


贵州省遵义航天中学2015届高三上第二次模拟考试数学理

贵州省遵义航天中学2015届高三上第二次模拟考试数学理_高三数学_数学_高中教育_...【答案解析】 在 VABC 中 ,已知 D 是 AB 边上一点,∵ A D = 2DB ,...


贵州省遵义航天高级中学2015届高三最后一次模拟数学(理)试题 Word版含答案

贵州省遵义航天高级中学2015届高三最后一次模拟数学(理)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。遵义航天高级中学 2014~2015 第二学期高三最后一次模拟考试 数学...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com