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(答案解析)2014年江西省文科数学高考题解析版


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
数学(文科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 | z | =( )

A.1

B.2

C. 2

D. 3
<

br />【答案】C 【解析】 :设 Z=a+bi
则(a+bi)( 1+i)=2i? (a-b)( a+b)i=2i a-b=0 a+b=2 解得 a=1 b=1 Z=1+1i

Z = 1 ? 1i = 2
2

2.设全集为 R ,集合 A ? {x | x ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A

(CR B ) ? (

)

A.(?3, 0)
【答案】C

B.(?3, ?1)

C.(?3, ?1]

D.(?3,3)

【解析】 A ? {x | ?3 ? x ? 3}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,所以 A 3.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( )

(CR B) ? ? x ? 3 ? x ? ?1?

A.

1 18

B.

1 9

C.

1 6

D.

1 12

【答案】B 【解析】点数之和为 5 的基本事件有: (1,4) (4,1) (2,3) (3,2) ,所以概率为

4

36

=1

9


?a ? 2 x , x ? 0 (a ? R) ,若 f [ f (?1)] ? 1 ,则 a ? ( 4. 已知函数 f ( x) ? ? ? x ? 2 ,x ?0
A. 1 4 B. 1 2

C.1

D.2

【答案】A 【解析】 f (?1) ? 2 , f (2) ? 4a ,所以 f [ f ( ?1)] ? 4a ? 1 解得 a ?

1 4

5.在在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 3a ? 2b ,则 的值为( )

2sin 2 B ? sin 2 A sin 2 A

A. ?

1 9

B.

1 3

C.1

D.

7 2

【答案】D

2sin 2 B ? sin 2 A 2b 2 ? a 2 7 ?b? ?3? 【解析】 ? ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 2 sin A a 2 ?a? ?2?
6.下列叙述中正确的是( )

2

2

A. 若 a, b, c ? R ,则 " ax 2 ? bx ? c ? 0" 的充分条件是 " b 2 ? 4ac ? 0" B. 若 a, b, c ? R ,则 " ab 2 ? cb 2 " 的充要条件是 " a ? c " C. 命题“对任意 x ? R ,有 x 2 ? 0 ”的否定是“存在 x ? R ,有 x 2 ? 0 ”
D. l 是一条直线, ? , ? 是两个不同的平面,若 l ? ? , l ? ? ,则 ? / / ?
【答案】D 【解析】 当 a ? 0 时, A 是正确的; 当 b ? 0 时, B 是错误的; 命题 “对任意 x ? R , 有 x2 ? 0 ” 的否定是“存在 x ? R ,有 x 2 ? 0 ” ,所以 C 是错误的。所以选择 D。 7.某人研究中学生的性别与成绩、学科 网视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系,随 机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,泽宇性别有关联的可能性最大的变量是

A.成绩 【答案】D

B.视力

C.智商

D.阅读量

52 ? ? 6 ? 22 ? 14 ?10 ? 52 ? 82 ? 【解析】 ? ? , 16 ? 36 ? 20 ? 32 16 ? 36 ? 20 ? 32
2 2 1

?2

2

52 ? ?16 ? 5 ? 16 ?12 ? 52 ? ?16 ? 7 ? , ? ? 16 ? 36 ? 20 ? 32 16 ? 36 ? 20 ? 32
2 2 2 2

52 ? ? 24 ? 8 ? 8 ?12 ? 52 ? ?12 ? 8 ? , ?3 ? ? 16 ? 36 ? 20 ? 32 16 ? 36 ? 20 ? 32
2

?4

2

52 ? ?14 ? 30 ? 2 ? 6 ? 52 ? ? 68 ? 6 ? 。分析判断 ? 4 2 最大,所以选择 D。 ? ? 16 ? 36 ? 20 ? 32 16 ? 36 ? 20 ? 32
2 2

8.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(



A.7

B.9

C.10

D.11

【答案】B 【解析】当 i ? 1 时, S ? 0 ? lg

1 ? ? lg 3 >-1, 3

3 i ? 1 ? 2 ? 3 , S ? ? lg 3 ? lg ? ? lg 5 >-1, 5 5 i ? 3 ? 2 ? 5 , S ? ? lg 5 ? lg ? ? lg 7 >-1 7 7 i ? 5 ? 2 ? 7 , S ? ? lg 7 ? lg ? ? lg 9 >-1 9 9 i ? 7 ? 2 ? 9 , S ? ? lg 9 ? lg ? ? lg11 <-1 11
所以输出 i ? 9

x2 y2 9.过双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A .若以 C 的右 a b
焦点为圆心、 半径为 4 的圆经过 A、O两点(O为坐标原点), 则双曲线 C 的方程为 ( )

A.

x2 y2 ? ?1 4 12

B.

x2 y2 ? ?1 7 9

C.

x2 y2 ? ?1 8 8

D.

x2 y2 ? ?1 12 4

【答案】A 【解析】 以 C 的右焦点为圆心、 半径为 4 的圆经过 坐标原点O, 则 c=4.且 CA ? 4 .设右顶点 为 B ? a, 0 ? ,C ? a, b ? , Q ?ABC为Rt? ,? BA2 ? BC 2 ? AC 2 ,? ? 4 ? a ? ? b 2 ? 16, 又
2

Q a 2 ? b 2 ? c 2 ? 16 。得 16 ? 8a ? 0, a ? 2, a 2 ? 4, b 2 ? 12, 所以双曲线方程
10.在同一直角坐标系中, 函数 y ? ax 2 ? x ? 能的是( )

x2 y2 ? ?1。 4 12

a 与y ? a 2 x 3 ? 2ax 2 ? x ? a (a ? R ) 的图像不可 2

【答案】B 【解析】当 a ? 0 时,D 符合;当 a ? 0 时,函数 y ? ax 2 ? x ?
' 2 2

a 1 的对称轴为 x ? ,对函 2 2a

2 3 2 数 y ? a x ? 2ax ? x ? a ,求导得 y ? 3a x ? 4ax ? 1 ? ? 3ax ? 1?? ax ? 1? ,令

y ' ? 0 , x1 ?

1 1 1 1 1 介于两个极值点 x1 ? 之间, 所以 B , x2 ? .所以对称轴 x ? , x2 ? , 3a a 2a 3a a

是错误的。所以选择 B。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若曲线 y ? x ln x上点P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0, 则点P 的坐标是_______. 【答案】(e,e) 【解析】 y ? 1? ln x ? x ?

1 ? ln x ? 1 x

切线斜率 K=2 则 ln x0 ? 1 ? 2 , ln x0 ? 1 ,? x0 ? e 所以 P(e,e) 12.已知单位向量 e1 , e2的夹角为? , 且cos? ? 【答案】3

? f ? x0 ? ? e

1 , 若向量a ? 3e1 ? 2e2 , 则 | a |? _______. 3

【解析】 a ? a 2 ? ? 3e1 ? 2e2 ? ? ? 3e1 ? ? ? 2e2 ? ? 12e1 ? e2 ? 9 ? 4 ? 12 cos ? ? 9
2 2 2 2

解得 a ? 3 13. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前 n 项和为 S n ,当且仅当 n ? 8 时 S n 取

最大值,则 d 的取值范围_________. 【答案】 ?1 ? d ? ?

7 8

【解析】 因为 a1 ? 7 ? 0 ,当且仅当 n ? 8 时 S n 取最大值,可知 d ? 0 且同时满足

a8 ? 0, a9 ? 0 ,
所以, ?

?a8 ? 7 ? 7 d ? 0 7 ,易得 ?1 ? d ? ? 8 ?a9 ? 7 ? 8d ? 0
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点为 F1, F2 ,作 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 a 2 b2

14. 设椭圆 C :

A, B 两点, F1 B 与 y 轴交于点 D ,若 AD ? F1 B ,则椭圆 C 的离心率等于________.
【答案】

3 3

2b 2 【解析】 因为 AB 为椭圆的通径,所以 AB ? ,则由椭圆的定义可知: a AF1 ? 2a ? b2 , a 2b 2 b2 b2 2 c ? 2a ? ,得 2 ? ,又离心率 e ? ,结合 a a a 3 a

又因为 AD ? F1 B ,则 AF1 ? AB ,即

a 2 ? b 2 ? c 2 得到: e ?

3 3

15. x, y ? R ,若 x ? y ? x ? 1 ? y ? 1 ? 2 ,则 x ? y 的取值范围为__________.

【答案】 0 ? x ? y ? 2 【解析】? x ? x ? 1 ? 1

y ? y ?1 ? 1

要使 x ? x ? 1 ? y ? y ? 1 ? 2

只能 x ? x ? 1 ? y ? y ? 1 ? 2

x ? x ?1 ? 1
?0 ? x ? 1

y ? y ?1 ? 1

0 ? y ?1

? 0? x? y?2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ? 2 cos x cos?2 x ? ? ? 为奇函数, 且 f?
2

?

?

?? ? ? ? 0, ?4?

? ? ?0, ? ?. 其中 a ? R,
(1)求 a, ? 的值; (2)若 f ?

2 ?? ?? ? ?? ? ? ? ?? , ? ? ,求 sin ? ? ? ? 的值. ??? , 5 3? ?4? ?2 ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? a ? 1? cos ? ? ? ? ? ? ? a ? 1? sin ? ? 0 ?4? ?2 ?

【解析】解;(1) f ?

? ? ,? sin ? ? 0 ,? a ? 1 ? 0,? a ? ?1 ??????????????2 分 Q ? ? ? 0,
Q 函数 f ?x ? ? ?a ? 2 cos 2 x ?cos?2 x ? ? ? 为奇函数
? f ? 0 ? ? ? a ? 2 ? cos ? ? cos ? ? 0 ??????????????4 分
?? ?

?
2

??????????????5 分

(2)有(1)得

?? 1 ? f ? x ? ? ? ?1 ? 2 cos 2 x ? cos ? 2 x ? ? ? ? cos 2 xgsin 2 x ? ? sin 4 x ??????7 分 2? 2 ?
1 2 ?? ? Q f ? ? ? ? sin ? ? ? 2 5 ?4?
? sin ? ?

4 ??????????????8 分 5

3 ?? ? Q ? ?? , ? ? ,? cos ? ? ? ??????????????10 分 5 ?2 ?

?? ? ? 4 1 3 3 4?3 3 ? ?????12 分 ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? ? ? ? 3? 3 3 5 2 5 2 10 ?

17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? (1)求数列 ?an ?的通项公式;

3n 2 ? n ,n ? N ? . 2

(2)证明:对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ? ,使得 a1,an , am 成等比数列. 解析: (1)当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 1 当n ? 2时
an ? S n ? S n ?1 3n 2 ? n 3 ? n ? 1? ? n ? 1 ? ? ? 3n ? 2 2 2
2

检验 当 n ? 1 时 a1 ? 1
? an ? 3n ? 2

(2)使 a1,an , am 成等比数列. 则 an 2 = a1am
? ? 3n ? 2 ? =3m ? 2
2

即满足 3m ? ? 3n ? 2 ? ? 2 ? 9n 2 ? 12n ? 6
2

所以 m ? 3n 2 ? 4n ? 2

则对任意 n ? 1 ,都有 3n 2 ? 4n ? 2 ? N ?

所以对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ? ,使得 a1,an , am 成等比数列. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (4 x 2 ? 4ax ? a 2 ) x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? ?4 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 8,求 a 的值. 【解析】解:(1)当 a ? ?4 时, f ? x ? ? ? 2 x ? 4 ?
2

x ? 2 ? x ? 2?

2

x,

f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ?
f
'

? x ? ? 4 ? x ? 2?
'

? x ? 2? x?
x

2

=

? x ? 2 ?? 5 x ? 2 ?
x

令f

? x? ? 0 得 0 ? x ?

2 ,x ? 2 5

所以当 a ? ?4 时, f ( x) 的单调递增区间为 ? 0, (2) f ? x ? ? ? 2 x ? a ?
2

? 2? +? ? ? 和 ? 2, ? 5?

x

f

'

? x? ? 2 ? 2x ? a ?
'

? 2x ? a ? x?
2 x

2

?

? 2 x ? a ??10 x ? a ?
2 x

令f

? x ? ? 0 ,得 x1 ? ?

a a , x2 ? ? 2 10

Q a ? 0 ,? x1 ? x2 ? 0
所以,在区间 ? 0, -

? ?

a ? ? a ? ' ? , ? - , ?? ? 上, f ? x ? ? 0 , f ( x) 的单调递增; 10 ? ? 2 ?

在区间 ? -

? a a? ,- ? 上, f ' ? x ? ? 0 , f ( x) 的单调递减; 10 2? ?
2

又易知 f ? x ? ? ? 2 x ? a ? ① 当?

? a? x ? 0 ,且 f ? ? ? ? 0 ? 2?

a ? 1 时,即 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 f ?1? ,由 2

f ?1? ? 4 ? 4a ? a 2 =8,得 a ? ?2 ? 2 2 ,均不符合题意。
② 当1 ? ? 符合题意 ③当 ?

? a? a f ? ??0 ,不 ? 4 时,即 ?8 ? a ? ?2 时, f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 ? ? 2? 2

a ? 4 时,即 a ? ?8 时, f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值可能为 x ? 1 或 x ? 4 处取到, 2

而 f ?1? ? 8 ,

f ? 4 ? ? 2(64 ? 16a ? a 2 ) ? 8 ,得 a ? ?10 或 a ? ?6 (舍去) ,当 a ? ?10 时, f ( x) 在区
间 [1,4] 上单调递减, f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值 f ? 4 ? ? 8 符合题意, 综上, a ? ?10

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? BC , A1 B ? BB1 . (1)求证: A1C1 ? CC1 ; (2)若 AB ? 2, AC ? 3 , BC ? 大,并求此最大值。 19.(1)证明:三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

7 ,问 AA1 为何值时,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 体积最

AA1 ? BC ? BB1 ? BC ,
又 BB1 ? A1 B 且

BC

A1 B ? C

? BB1 ? 面BCA1,
又 BB1∥CC1

? CC1 ? 面BCA1,
又? AC1 ? 面BCA1,

,所以A1C ? CC1. (4 分)
(2)设 AA1 ? x, 在 Rt△ A1 BB1 中, AB = A1 B1 -BB1 = 4 ? x
2 2

同理, A1C= A1C1 ? CC1 ? 3 ? x ,在△ A1 BC 中
2 2 2

A1 B 2 ? A1C 2 ? BC 2 x2 ?? , cos ? BA1C = 2 A1 B A1C (4 ? x 2 )(3 ? x 2 )

sin ? BA1C =

12 ? 7 x 2 , (6 分) (4 ? x 2 )(3 ? x 2 )

所以 S△A1BC ?

1 12 ? 7 x 2 A1 B A1C sin ? BA1C ? , (7 分) 2 2

x 12 ? 7 x 2 从而三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V ? S ? l ? S△A1BC ? AA1 ? (8 分) 2

(x - )+ 因 x 12 ? 7 x = 12 x ? 7 x = -7
2 2 4
2 2

6 7

36 (10 分) 7

故当 x =

42 42 3 7 即 AA1 = 体积 V 取到最大值 (12 分) 时, 时, 7 7 7

试题分析:本题第一小问考查了立体几何空间垂直关系,属于容易题,大部分考生可以轻松 解决, 第二小问考查了棱柱体积的求法并且与解三角形和二次函数结合考查最值问题, 有一 定的综合性,属于中档题,解决该类问题关键在于合适的引入变量,建立函数模型,另外在 计算过程中应谨慎小心,避免粗心。 20.(本小题满分 13 分 ) 如图, 已知抛物线 C : x
2

? 4 y ,过点 M (0, 2) 任作一直线与 C 相

交于 A, B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D ( O 为坐标原点). (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l (不含 x 轴)与直线 y 相交于点 N 2 ,证明: | MN 2

? 2 相交于点 N1 ,与(1)中的定直线

|2 ? | MN1 |2 为定值,并求此定值.

20(1)解:根据题意可设 AB 方程为 y=kx+2,代入 x =4y ,得 x 2 =4 , (kx+2) 即 x 2 -4kx-8=0 ,设 A ,B ,则有: x1 x2 =-8, (2 分) (x1,y1) (x2,y 2)

2

? x =x2 y1 ? 直线 AO 的方程为 y= x ;BD 的方程为 x =x2 ,解得交点 D 的坐标为 ? y1 x2 x1 ? y= x ? 1
(4 分) ,注意到 x1 x2 =-8 及 x12 =4y1 ,则有 y=

y1 x1 x2 -8y1 = =-2, (5 分) x12 4y1

因此 D 点在定直线 y=-2 上( x ? 2 ) (6 分)

(2)依据题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax+b (a ? 0) 代入 x =4y 得 x 2 =4 ,即 x 2 -4ax-4b=0 ,由 ? =0 得 16a ? 16b ? 0, (ax+b)
2 2

化简整理得 b ? ? a 2 , (8 分) 故切线 l 的方程可写为 y ? ax ? a .分别令 y=2、y=-2 得
2

2 2 (11 分) N1 , N 2 的坐标为 N1 ( ? a, 2), N 2 (? ? a, ?2) , a a 2 2 2 2 则 MN 2 ? MN1 ? ( ? a ) 2 ? 42 ? ( ? a ) 2 ? 8, a a
即 MN 2 ? MN1 为定值 8.(13 分) 21.(本小题满分 14 分)将连续正整数1, 2,
2 2

, n(n ? N *) 从小到大排列构成一个数

123

n , F (n) 为这个数的位数(如 n ? 12 时,此数为123456789101112 ,共有 15
f (12) ? 15 ) ,现从这个数中随机取一个数字, p ( n) 为恰好取到 0 的概率.

个数字, (1)求

p (100) ;

(2)当 n ? 2014 时,求 F ( n) 的表达式;

h( n) ? (3) 令 g ( n) 为这个数字 0 的个数,f ( n) 为这个数中数字 9 的个数, S ? {n | h(n) ? 1, n ? 100, n ? N *} ,求当 n ? S 时 p (n) 的最大值.

f ( n) ? g ( n) ,

21.解: (1)当 n=100 时,这个数中总共有 192 个数字,其中数字 0 的个数为 11,所以恰好 取到 0 的概率为 p(100)=

11 ;(2 分) 192

?n,1 ? n ? 9, ?2n ? 9,10 ? n ? 99, ? (2) F (n) ? ? (5 分) ?3n ? 108,100 ? n ? 999, ? ?4n ? 1107,1000 ? n ? 2014.
(3)当 n=b( 1 ? b ? 9,b ? N + ),g(n)=0; 当 n=10k+b (1 ? k ? 9, 0 ? b ? 9, k ? N ? , b ? N )时, g(n)=k;

?0,1 ? n ? 9, ? n=100 时 g(n)=11, 即 g (n) ? ?k , n ? 10 k ? b,1 ? k ? 9, 0 ? b ? 9, k ? N ? ,b ? N ,(8 分) ?11, n ? 100 ?

?0,1 ? n ? 8, ?k , n ? 10k ? b,1 ? k ? 9, 0 ? b ? 9, k ? N b ? N , ? ?, 同理有 f (n) ? ? (10 分) ?n ? 80,89 ? n ? 98, ? ?20, n ? 99,100
由 h(n)=f(n)-g(n)=1,可知 n=9,19,29,29,49,59,69,79,89,90 所以当 n ? 100 时,S= 9,19, 29,39, 49,59, 69, 79,89,90 当 n=9 时,p(9)=0, 当 n=90,p(90)=

?

? (11 分)

g (90) 1 = F (90) 19 g (n) k k (13 分) ? ? F (n) 2n ? 9 20k ? 9

当 n=10k+9( 1 ? k ? 8, k ? N ? , )时,p(n)= 由 y=

k 关于 k 单调递增,故当当 n=10k+9( 1 ? k ? 8, k ? N ? , )时, 20k ? 9 8 8 1 1 P(n)的最大值为 p(89)= ,又 < ,所以最大植为 .(14 分) 169 169 19 19


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